Лекція № 12 Апроксимація експериментальних залежностей методом найменших квадратів
Теоретичні відомості
Нехай у результаті експерименту одержано залежність, зображену у таблиці 8.1.
Таблиця 8.1
Вихідні дані
t | ![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | … | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | … | ![]() |
Необхідно знайти аналітичну формулу , апроксимуючу експериментальну (табличну) залежність.
Виберемо залежність у вигляді поліному другого ступеня, тобто
![]() | (8.1) |
У виразі (8.1) коефіцієнти a0, a1, a2 підлягають визначенню, причому ці коефіцієнти повинні бути підібрані таким чином, щоб залежність найкраще наближала експериментальну залежність. Назвемо відхилом
відмінність між табличним значенням
у точці
і значенням у тій самій точці, тобто
![]() | (8.2) |
Згідно з методом найменших квадратів (МНК) "найкращими" коефіцієнтами залежності (8.1) будуть ті, для яких сума квадратів відхилень буде мінімальна, тобто
![]() | (8.3) |
Використовуючи необхідні умови існування екстремуму для функції декількох змінних , знайдемо рівняння для визначення коефіцієнтів залежності (8.1):
![]() | (8.4) |
З умов (8.4) одержимо нормальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
![]() | (8.5) |
Розв'язавши систему (8.5), знайдемо коефіцієнти апроксимуючої залежності (8.1).
Приклади
Приклад 8.1. Залежність температури досяжного перегріву рідин Ts для різних значень тиску P і фіксованій частоті зародкоутворення J, m-3c-1 подана у табл. 8.2.
Таблиця 8.2
Залежність температури досяжного перегріву рідин Ts для різних значень тиску P
Ts,0С | 36,5 | 78,3 | 100,1 | 114,0 | 122,8 | 131,5 | 138,2 |
P, МПа | 0,2 | 0,98 | 2,00 | 3,04 | 3,92 | 5,00 | 6,00 |
Необхідно узагальнити експериментальні дані у вигляді аналітичної залежності P=f(T).
Розв’язок
Для проведення аналізу вихідних даних з метою вибору вигляду апроксимуючого многочлена подамо у вигляді графіку експериментальні дані з табл. 8.2. Графік наведений на рис. 8.1.
У результаті аналізу даних виберемо за апроксимуючий многочлен параболу, яка задана залежністю
P2(x)=a0+a1x+a2x2. | (8.6) |
Для спрощення обчислень зробимо наступну заміну
![]() | (8.7) |
Для визначення коефіцієнтів a0, a1, a2 необхідно записати систему рівнянь (8.5). Для складання системи зручно скористатися даними, наведеними в табл. 8.3.
Рис. 8.1. Експериментальна залежність P=f(T) прикладу 8.1.
Таблиця 8.3
Допоміжні дані до складання системи лінйних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів параболічної апроксімації
i | Ti | Xi | Yi | XiYi | Xi2 | Xi2Yi | Xi3 | Xi4 |
0 | 36,5 | 0,365 | 0,20 | 0,0730 | 0,13323 | 0,02665 | 0,04863 | 0,01775 |
1 | 78,3 | 0,783 | 0,98 | 0,7673 | 0,61309 | 0,60083 | 0,48004 | 0,37587 |
2 | 100,1 | 1,001 | 2,00 | 2,0020 | 1,00200 | 2,00400 | 1,00300 | 1,00401 |
3 | 114,0 | 1,140 | 3,04 | 3,4656 | 1,29960 | 3,95078 | 1,48154 | 1,68896 |
4 | 122,8 | 1,228 | 3,92 | 4,8138 | 1,50798 | 5,91128 | 1,85179 | 2,27401 |
5 | 131,5 | 1,315 | 5,00 | 6,5750 | 1,72920 | 8,64613 | 2,27393 | 2,99020 |
6 | 138,2 | 1,382 | 6,00 | 8,2920 | 1,90992 | 11,45954 | 2,63951 | 3,64781 |
N=7 | S | 7,214 | 21,14 | 25,9887 | 8,19804 | 32,59921 | 9,77846 | 11,99862 |
Використовуючи дані, які наведені у останньому рядку табл.8.3, систему рівнянь (8.5) запишемо у вигляді
![]() | (8.8) |
У результаті розв’язання системи (8.8) одержимо наступні значення коефіцієнтів
a0=1,82743;
a1=-6,89062;
a2=7,08440.
Отже, шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд
.
За допомогою формул (8.6) перейдемо до вихідних позначень та одержимо
.
Після спрощення виразу
![]() | (8.9) |
Отримана аналітична залежність (8.9) узагальнює експериментальні дані табл. 8.2.
Для оцінки похибки апроксимуючої залежності складемо таблицю значень P. Для цього визначимо тиск P за формулою (8.9). Результати занесемо до табл. 8.4.
Таблиця 8.4
Розрахункові значення Р
T | 36,5 | 78,3 | 100,1 | 114 | 122,8 | 131,5 | 138,2 |
P | 0,256 | 0,775 | 1,953 | 3,179 | 4,049 | 5,072 | 5,835 |
Для оцінки точності параболічної апроксимації необхідно порівняти значення Р з табл.8.1 і табл.8.4.
Модуль різниці відповідних значень дає DP‑похибку апроксимації, значення якої подані в табл.8.5. У таблиці наведена також відносна похибка dР, яка дорівнює відношенню DР до Р.Таблиця 8.5
Абсолютна та відносна похибки апроксімації
Т | 36,5 | 78,3 | 100,1 | 114 | 122,8 | 131,5 | 138,2 |
DР | 0,056 | 0,205 | 0,047 | 0,139 | 0,129 | 0,072 | 0,165 |
dP,% | 28 | 21 | 2,4 | 4,6 | 3,3 | 1,4 | 2,8 |
Порівняльний аналіз похибок показує, що отримана аналітична залежність задовільно узагальнює вихідні експериментальні дані.
Для інтегральної оцінки апроксимації можна скористати формулу
На рис. 8.2 наведені два графіки, один із яких побудований за даними апроксимації (табл.8.4), а другий - за вихідними даними (табл. 8.1).
Рис. 8.2. Крива апроксимації і вихідні дані прикладу 8.1.
Порівнюючи ці графіки, можна також відзначити задовільну збіжність теоретичних і експериментальних даних.
Приклад 8.2. Залежність теплоємності Ср фториду магнію від температури Т подано в табл. 8.6. Необхідно апроксимувати ці дані многочленом і оцінити похибку апроксимації.
Таблиця 8.6
Вихідні дані
T | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
Ср | 70,35 | 75,38 | 80,53 | 85,81 | 91,26 | 96,83 | 102,53 | 108,27 |
Розв’язок
Для вибору апроксимуючого многочлена доцільно побудувати графік залежності Cр=f(T) і проаналізувати його (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Вихідні дані прикладу 8.2
Апроксимуємо дану табличну залежність многочленом першого ступеню (лінійна апроксімація)
P1(x)=a0+a1x. | (8.10) |
Щоб не оперувати з великими числами, зробимо наступну заміну
![]() | (8.11) |
Функцію Ср позначимо y.
Для визначення коефіцієнтів а0, а1 необхідно скласти систему рівнянь
![]() | (8.12) |
Складемо табл. 8.7, що містить допоміжні дані для складання системи рівнянь.
Таблиця 8.7
Допоміжні дані до складання системи лінйних алгебраїчних рівнянь для
визначення коефіцієнтів лінійної апроксімації
i | Ti | Xi | yi | xi2 | xiyi |
1 | 300 | 0 | 70,35 | 0 | 0 |
2 | 400 | 1 | 75,38 | 1 | 75,38 |
3 | 500 | 2 | 80,53 | 4 | 161,06 |
4 | 600 | 3 | 85,81 | 9 | 257,43 |
5 | 700 | 4 | 91,26 | 16 | 365,04 |
6 | 800 | 5 | 96,83 | 25 | 484,15 |
7 | 900 | 6 | 102,53 | 36 | 615,18 |
8 | 1000 | 7 | 108,27 | 49 | 757,89 |
S | 28 | 710,96 | 140 | 2716,13 |
Підставивши дані з останнього рядка табл. 8.7 в систему рівнянь (8.12), одержимо:
![]() | (8.13) |
Знайдемо а0 і а1 за формулами Крамера.
.
Отже, шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд
![]() | (8.14) |
За допомогою формули (8.11) перейдемо до вихідних позначень. Одержимо
,
після перетворень
![]() | (8.15) |
Формула (8.15) є аналітичною залежністю, що узагальнює експериментальні дані табл. 8.6.
Для оцінки лінійної апроксимації необхідно порівняти значення yi з табл. 8.6 зі значеннями, які отримані за формулою (8.15) для всіх точок (i=1, 2, ..., 8). Результати порівняння подані в табл. 8.8.
Таблиця 8.8
Абсолютна та відносна похибки апроксімації
і | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
yi | 70,35 | 75,38 | 80,53 | 85,81 | 91,26 | 96,83 | 102,53 | 108,27 |
аналіт. залежність | 69,89 | 75,31 | 80,74 | 86,16 | 91,58 | 97,00 | 102,43 | 107,85 |
абс. похибка | 0,46 | 0,07 | 0,21 | 0,35 | 0,32 | 0,17 | 0,10 | 0,42 |
dy, % | 0,65 | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,4 |
Проаналізувавши dy з табл. 8.7, можна зробити висновок, що формула (8.15) є аналітичною залежністю, що узагальнює експериментальні дані табл. 8.6.
На рис. 8.4 наведені графік функції (8.15) і вихідні дані. Порівняльний аналіз показує задовільну збіжність лінійної апроксимації.
Рис. 8.4. Графік лінійного апроксимуючого многочлена і вихідні дані
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
Лекція № 12 Апроксимація експериментальних залежностей методом найменших квадратів
- Методы и средства метрологического обеспечения измерений параметров теплообмена и теплоносителей Черепанов Виктор Яковлевич | Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Новосибирск - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 10.41 Мб05.11.15- Метрология и метрологическое обеспечение; 05.11.01 - Приборы и методы измерений (измерение параметров теплоносителей) Введение 4 Раздел 1 Теоретические аспекты теплометрии и задачи
- Методы математического моделирования для трехмерной рекострукции и функционального анализа желудочков сердца человека поданным эхокардиографии Алпатов Алексей Викторович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Рязань - 2003 | Диссертация | 2003 | Россия | docx/pdf | 9.96 МбСпециальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы програм; Специальность 05.11.17 - Приборы, системы и изделия медицинского назначения. Введение 4 ГЛАВА 1 МЕТОДЫ
- Методы, критерии и алгоритмы управления процессом обеспечения промышленной безопасности нефтегазовых предприятий, основанные на теории нечетких множеств Глухов Сергей Владимирович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Оренбург - 2006 | Диссертация | 2006 | Россия | docx/pdf | 4.61 МбСпециальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики. Введение 4 Глава 1 Риски в нефтегазовой отрасли 12 1.1 Современное состояние нефтегазовых предприятий 12 1.2 Концепция
- Развитие методов управления надежностью сложных технических систем с зависимыми отказами элементов Назарян Сергей Арович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Липецк - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | doc/pdf | 3.05 МбСпециальность 05.13.06 — Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность). ВВЕДЕНИЕ Управление надежностью технических систем промышленного производства — одна
- Оценка качества виноградных вин на основе определения органических кислот методом ионоэксклюзионной хроматографии Селиверстова Ирина Васильевна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | doc/pdf | 6.17 МбСпециальность 05.18.07 - Биотехнология пищевых продуктов (пивобезалкогольная, спиртовая и винодельческая промышленности) Специальность 05.02.23 - Стандартизация и управление качеством продукции
- Оптимальные методы решения интегральных уравнений вольтерра й их приложения Тында Александр Николаевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Пенза - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 2.51 МбСпециальность 05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Актуальность темы. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности
- Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования в задачах обработки дискретных сигналов Нго Кыу Фук | Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 6.81 МбСпециальность 05.13.11 - математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей. ВВЕДЕНИЕ Вейвлет-преобразование (wavelet transformation) в настоящее время
- Поощрение как метод правового регулирования Киселева Ольга Михайловна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук. САРАТОВ - 2000 | Диссертация | 2000 | Россия | docx/pdf | 4.06 МбСпециальность 12.00.01 - Теория права и государства; история права и государства; история политических и правовых учений. Актуальность темы исследования. Специфика развития современных общественных
- Развитие методов расчета процесса ромелт и его моделирование с целью совершенствования технологии Бабкин Дмитрии Геннадьевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 14.05 МбСпециальность 05.16,02 - Металлургия черных, цветных и редких металлов. Актуальность работы. Московским государственным институтом стали и сплавов с участием рада организаций отрасли разработан и
- Разработка логистических методов выбора вариантов складских распределительных систем Перведенцев Павел Александрович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата экономических наук. Санкт-Петербург - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 7.17 МбСпециальность 08.00.05 - Экономика и управление народным хозяйством: логистика. Актуальность темы исследования. Функционирование любого российского предприятия в рыночных условиях обусловлено