<<
>>

Лекція № 12 Апроксимація експериментальних залежностей методом найменших квадратів

Теоретичні відомості

Нехай у результаті експерименту одержано залежність, зображену у таблиці 8.1.

Таблиця 8.1

Вихідні дані

t

Необхідно знайти аналітичну формулу , апроксимуючу експериментальну (табличну) залежність.

Виберемо залежність у вигляді поліному другого ступеня, тобто

. (8.1)

У виразі (8.1) коефіцієнти a0, a1, a2 підлягають визначенню, причому ці коефіцієнти повинні бути підібрані таким чином, щоб залежність найкраще наближала експериментальну залежність. Назвемо відхилом відмінність між табличним значенням у точці і значенням у тій самій точці, тобто

. (8.2)

Згідно з методом найменших квадратів (МНК) "найкращими" коефіцієнтами залежності (8.1) будуть ті, для яких сума квадратів відхилень буде мінімальна, тобто

. (8.3)

Використовуючи необхідні умови існування екстремуму для функції декількох змінних , знайдемо рівняння для визначення коефіцієнтів залежності (8.1):

(8.4)

З умов (8.4) одержимо нормальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь

(8.5)

Розв'язавши систему (8.5), знайдемо коефіцієнти апроксимуючої залежності (8.1).

Приклади

Приклад 8.1. Залежність температури досяжного перегріву рідин Ts для різних значень тиску P і фіксованій частоті зародкоутворення J, m-3c-1 подана у табл. 8.2.

Таблиця 8.2

Залежність температури досяжного перегріву рідин Ts для різних значень тиску P

Ts,0С 36,5 78,3 100,1 114,0 122,8 131,5 138,2
P, МПа 0,2 0,98 2,00 3,04 3,92 5,00 6,00

Необхідно узагальнити експериментальні дані у вигляді аналітичної залежності P=f(T).

Розв’язок

Для проведення аналізу вихідних даних з метою вибору вигляду апроксимуючого многочлена подамо у вигляді графіку експериментальні дані з табл. 8.2. Графік наведений на рис. 8.1.

У результаті аналізу даних виберемо за апроксимуючий многочлен параболу, яка задана залежністю

P2(x)=a0+a1x+a2x2. (8.6)

Для спрощення обчислень зробимо наступну заміну

(8.7)

Для визначення коефіцієнтів a0, a1, a2 необхідно записати систему рівнянь (8.5). Для складання системи зручно скористатися даними, наведеними в табл. 8.3.

Рис. 8.1. Експериментальна залежність P=f(T) прикладу 8.1.

Таблиця 8.3

Допоміжні дані до складання системи лінйних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів параболічної апроксімації

i Ti Xi Yi XiYi Xi2 Xi2Yi Xi3 Xi4
0 36,5 0,365 0,20 0,0730 0,13323 0,02665 0,04863 0,01775
1 78,3 0,783 0,98 0,7673 0,61309 0,60083 0,48004 0,37587
2 100,1 1,001 2,00 2,0020 1,00200 2,00400 1,00300 1,00401
3 114,0 1,140 3,04 3,4656 1,29960 3,95078 1,48154 1,68896
4 122,8 1,228 3,92 4,8138 1,50798 5,91128 1,85179 2,27401
5 131,5 1,315 5,00 6,5750 1,72920 8,64613 2,27393 2,99020
6 138,2 1,382 6,00 8,2920 1,90992 11,45954 2,63951 3,64781
N=7 S 7,214 21,14 25,9887 8,19804 32,59921 9,77846 11,99862

Використовуючи дані, які наведені у останньому рядку табл.8.3, систему рівнянь (8.5) запишемо у вигляді

(8.8)

У результаті розв’язання системи (8.8) одержимо наступні значення коефіцієнтів

a0=1,82743;

a1=-6,89062;

a2=7,08440.

Отже, шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд

.

За допомогою формул (8.6) перейдемо до вихідних позначень та одержимо

.

Після спрощення виразу

. (8.9)

Отримана аналітична залежність (8.9) узагальнює експериментальні дані табл. 8.2.

Для оцінки похибки апроксимуючої залежності складемо таблицю значень P. Для цього визначимо тиск P за формулою (8.9). Результати занесемо до табл. 8.4.

Таблиця 8.4

Розрахункові значення Р

T 36,5 78,3 100,1 114 122,8 131,5 138,2
P 0,256 0,775 1,953 3,179 4,049 5,072 5,835

Для оцінки точності параболічної апроксимації необхідно порівняти значення Р з табл.8.1 і табл.8.4.

Модуль різниці відповідних значень дає DP‑похибку апроксимації, значення якої подані в табл.8.5. У таблиці наведена також відносна похибка dР, яка дорівнює відношенню DР до Р.

Таблиця 8.5

Абсолютна та відносна похибки апроксімації

Т 36,5 78,3 100,1 114 122,8 131,5 138,2
0,056 0,205 0,047 0,139 0,129 0,072 0,165
dP,% 28 21 2,4 4,6 3,3 1,4 2,8

Порівняльний аналіз похибок показує, що отримана аналітична залежність задовільно узагальнює вихідні експериментальні дані.

Для інтегральної оцінки апроксимації можна скористати формулу

На рис. 8.2 наведені два графіки, один із яких побудований за даними апроксимації (табл.8.4), а другий - за вихідними даними (табл. 8.1).

Рис. 8.2. Крива апроксимації і вихідні дані прикладу 8.1.

Порівнюючи ці графіки, можна також відзначити задовільну збіжність теоретичних і експериментальних даних.

Приклад 8.2. Залежність теплоємності Ср фториду магнію від температури Т подано в табл. 8.6. Необхідно апроксимувати ці дані многочленом і оцінити похибку апроксимації.

Таблиця 8.6

Вихідні дані

T 300 400 500 600 700 800 900 1000
Ср 70,35 75,38 80,53 85,81 91,26 96,83 102,53 108,27

Розв’язок

Для вибору апроксимуючого многочлена доцільно побудувати графік залежності Cр=f(T) і проаналізувати його (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Вихідні дані прикладу 8.2

Апроксимуємо дану табличну залежність многочленом першого ступеню (лінійна апроксімація)

P1(x)=a0+a1x. (8.10)

Щоб не оперувати з великими числами, зробимо наступну заміну

(8.11)

Функцію Ср позначимо y.

Для визначення коефіцієнтів а0, а1 необхідно скласти систему рівнянь

(8.12)

Складемо табл. 8.7, що містить допоміжні дані для складання системи рівнянь.

Таблиця 8.7

Допоміжні дані до складання системи лінйних алгебраїчних рівнянь для

визначення коефіцієнтів лінійної апроксімації

i Ti Xi yi xi2 xiyi
1 300 0 70,35 0 0
2 400 1 75,38 1 75,38
3 500 2 80,53 4 161,06
4 600 3 85,81 9 257,43
5 700 4 91,26 16 365,04
6 800 5 96,83 25 484,15
7 900 6 102,53 36 615,18
8 1000 7 108,27 49 757,89
S 28 710,96 140 2716,13

Підставивши дані з останнього рядка табл. 8.7 в систему рівнянь (8.12), одержимо:

(8.13)

Знайдемо а0 і а1 за формулами Крамера.

.

Отже, шуканий апроксимуючий многочлен має вигляд

. (8.14)

За допомогою формули (8.11) перейдемо до вихідних позначень. Одержимо

,

після перетворень

. (8.15)

Формула (8.15) є аналітичною залежністю, що узагальнює експериментальні дані табл. 8.6.

Для оцінки лінійної апроксимації необхідно порівняти значення yi з табл. 8.6 зі значеннями, які отримані за формулою (8.15) для всіх точок (i=1, 2, ..., 8). Результати порівняння подані в табл. 8.8.

Таблиця 8.8

Абсолютна та відносна похибки апроксімації

і 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 0 1 2 3 4 5 6 7
yi 70,35 75,38 80,53 85,81 91,26 96,83 102,53 108,27
аналіт. залежність 69,89 75,31 80,74 86,16 91,58 97,00 102,43 107,85
абс. похибка 0,46 0,07 0,21 0,35 0,32 0,17 0,10 0,42
dy, % 0,65 0,1 0,3 0,4 0,4 0,2 0,1 0,4

Проаналізувавши dy з табл. 8.7, можна зробити висновок, що формула (8.15) є аналітичною залежністю, що узагальнює експериментальні дані табл. 8.6.

На рис. 8.4 наведені графік функції (8.15) і вихідні дані. Порівняльний аналіз показує задовільну збіжність лінійної апроксимації.

Рис. 8.4. Графік лінійного апроксимуючого многочлена і вихідні дані

<< | >>
Источник: Конспек лекцій з курсу «Чисельні методи». 2016

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

Лекція № 12 Апроксимація експериментальних залежностей методом найменших квадратів

релевантные научные источники: