Задачи

1. За базис пространства пусть выбраны векторы

а) вычислить компоненты обоих метрических тензоров

б) найти ковариантные компоненты вектора

в) получить формулу для вычисления длины произвольного вектора через его координаты.

2. Решить задачу 1 при условии, что за базис приняты векторы

.

3. Точки с координатами называются базисными. Доказать, что расстояние до базисных точек до начала координат определяется равенствами .

4. Доказать, что косинусы углов между координатными осями определяются уравнениями

.

5. Доказать, что если через обозначим углы, которые орт образует с координатными осями, то

.

6. Доказать, что в косоугольной декартовой системе координат определяется следующим образом

7. Доказать, что если – направляющие орта , то в косоугольных декартовых координатах (векторы нормированы) они удовлетворяют условию

8. Доказать, что .

9. Определить , где , .