Вопросы синтеза оптимальных ЛДС

Dy = min - критерий минимума дисперсии помехи;

Dy/Dx = min - критерий наилучшей помехозащищенности;

пусть Yu(t) — идеальное значение выходного сигнала, величина Y(t) - Yu(t) характеризует отклонение поведения системы от идеала, для практических целей ее использовать неудобно, так как она знакопеременна, поэтому воспользуемся другой, положительной: {Y(t) - Yu(t)} , но она случайна, так что для характеристики отклонения возьмем ее математическое ожидание:

{) - Yu(t)}

M

A — среднеквадратическая

погрешность.

A = min (1211)

Соотношение (1.211) определяет так называемый среднеквадратический критерий.

Кроме перечисленных критериев можно использовать интегральный среднеквадратический критерий:

(1.212)

dt = min

J M[{Y(t) - Yu(t)}

критерий максимального быстродействия и пр.

Можно решать две оптимизационные задачи:

параметрическая оптимизация;

строгая оптимизация.

Поставим задачу в общем виде. Есть полезный сигнал S(t),

о

который искажается аддитивной помехой X(t), то есть входной сигнал имеет вид:

X(t) = S(t) + X(t).

В идеале выходной сигнал определяется выражением

ж

Yu(t) = J h(T)S(t - x)dx (1.213)

0

В качестве критерия адекватности будем использовать критерий минимума среднеквадратической погрешности.

Определим вид импульсной переходной характеристики системы h(т), исходя из условия А = min, а далее по h(т) станем строить структуру ЛДС.

ж

Y(t) = J h(т)X(t -т)dT 0

А - функционал от т .

Пусть ho( т) - ИПХ оптимальной системы.

ж

Yo(t) = J ho(т)X(t -т)dт (1.214) 0

Задачу будем решать методом неопределенных множителей Лагранжа:

h( т) = ho( т) + Xhn( т), (1.215)

здесь X - произвольная величина, - ж < X < ж - , h n (т) -произвольная функция.

h(т)|x=o = ho(т), Y(t) = Yo(t) + XYn(t)

ж

где Yn(t) = J hn(т)X(t -т^т Y (t) (1.216)

o

A = M

(1.217)

{(t) + AYn(t) - Yu(t)}

Рассмотрим A как функционал от X : A = f(X)

dA dx

0

A min

X = 0

A|x=о = M [{) - Yn(t)}

Если это условие выполняется для любых hn(т), то ho(т) ИПХ оптимальной системы.

dA

dA = M [2{Yo(t) + XYn(t) - Yu(t)}Yn(t)] = 0,

но X = 0,тогда

dA dA

X=0

= M [{) - Yu(t)}Yn(t)] = 0,

M [Y0(t)Yn(t)]- M [Yn(t)Yu(t)] = 0.

Подставим выражения для Y0(t) (1.214) и Yn(t) (1.216):

Y0(t)Yn(t) = J J h0(u)hn(т)X(t - u)X(t - т)dudт, 00

ж ж

Yn(t)Yu(t) = JJ h0(u)Yn(t)X(t - u)du, 00

ж ж жж

JJ h0(u)hn( т)X(t - u)X(t - т)dudт - J J h0(u)Yn(t)X(t - u)du =0

00

00

ж

ж

du = 0

J hn(u)j J h0(т)M [X(t - т)X(t - u)]dт - M [Yu(t)X(t - u)]

Это условие выполняется при любом виде h n (т) ,если внутренний интеграл равен нулю.

ж

J h0(т)M [X(t - т)X(t - u)]dт - M [Yu(t)X(t - u)]=0 (1.218)

Это - условие синтеза оптимальных динамических систем, из

его определяется h( т) -оптимальная ИПХ. Уравнение (1.218) справедливо как для стационарных, так и для нестационарных случайных сигналов.

В частном случае, когда полезный сигнал и помеха стационарны, математические ожидания, стоящие в левой части, не будут зависеть от времени, а лишь от разности временных аргументов.

M [X(t - u)X(t - т)] = у(т - u) = y(u - т) (1.219)

M [Yu(t)X(t - u)] = Y(u) (1.220)

В этом случае наше уравнение примет вид:

J h0(т)y(u -т^т = у(u) (1.221)

Это - классическое уравнение Винера-Хопфа. Оно имеет совершенно определенную физическую интерпретацию и может быть решено в явном виде, тогда величина у (t) рассматривается как

входной сигнал динамической системы, а Y (t) - как выходной.

В изображениях Лапласа соотношение между этими величинами будет выглядеть как

Y (p) = W(p) у(р), отсюда Y (Р)

W(p) =

У(Р)

где :

Y (Р) = J exp( - pu) Y (u)du; 0

ж

y(p) = Jy(u)exp( - pu)du.

Положим т = 0 , тогда

M [X(t)X(t - u)] = y(u);

(1 222) M [Yu(t)X(t - u)] = Y(u).

Итак, если на вход системы подается аддитивная смесь

о

полезного сигнала и помехи X(t)=S(t)+ X(t), то для синтеза

оптимальной системы необходимо знать: сам полезный сигнал S(t), автокорреляционную функцию помехи, кроме того, нужно достаточно определенно знать, что именно мы хотим на - Yu(t). По этим данным можно найти функции у(u) и y(u). Затем находим

изображения по Лапласу у (p) и y(p). По этим изображениям отыскиваем передаточную функцию W(p) оптимальной системы, на основе которой и осуществляется ее техническая реализация.