Нормализация стационарных случайных процессов линейными динамическими системами

В установившемся режиме работы выходной сигнал системы определяется выражением

7 fh( т), 0 <т<т u

Y(t) = J h(^X(t — т^т , h(т) = J u

0 l0, т>т u

т u — длительность ИПХ, то есть

т u

Y(t) = J h(т)X(t — т)dт. (1.206)

0

Разобьем т u на отдельные промежутки A (шаг дискретизации) N = т u / A — число промежутков разбиения.

Для дискретизированного по времени сигнала процесс на выходе системы определится соотношением

N

Y(t) = I h(kA)X(t — kA) (1.207)

k=1

Выберем шаг дискретизации, равный т k, тогда N = т u / т k,

N

Y(t) = I h(kтk)тkyX(t — kтky)

k=1

(1.208) (1.209)

или

Yk = h(ta k)X(t — k т k),

N

Yk = CkX(t — kтk), Y = I Yk,

k=1

то есть выходной сигнал представляется в виде суммы случайных величин.

Yk = CkX(t — ^ k)

Yk = Ck X(t — kтk)

Рассмотрим другое сечение сигнала :

Ym = Cm X(t — mтk) о о Yk Ym = CkCmM и корреляционный момент между ними:

о о

X(t — kт k)X(t — тт k)

C2mR(0) = C2mDy, k = m

R [Yk,Ym ] = M

k Ф m

0,

= CkCmR [(m — k) т k]

То есть Ry(т k),Ry(2т k), ... = 0 при k Ф m , таким образом отсчёты Y некоррелированы.

N

Y(t) = I Yk , пусть N = ——> да ,тогда по центральной

k

k=1

предельной теореме Ляпунова

lim f(y) = f(y) N

(1.210)

т

т u т u

, , ^ 0. т k т k т k

Если длительность ИПХ системы намного превышает значение интервала корреляции входного сигнала, то закон распределения выходного сигнала можно считать нормальным при любом законе распределения входного. Чем больше, тем лучше

нормализация и, естественно, тем хуже быстродействие.

тuAwn = const; тkAwс = const

IiL = C Awn

c

т k Aw

То есть, чем уже полоса пропускания ЛДС по сравнению с эквивалентной шириной спектра мощности входного сигнала, тем лучше эта система осуществляет нормализацию.