ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЫБОРОЧНОГО МЕТОДА

Структура главы «Описательная статистика. Основные понятия выборочного метода» представлена на рис. 2.

Ы} йели

Иметь представление:

• об основных задачах математической статистики (МС);
• этапах статистической обработки эмпирических данных.

Знать и уметь различать понятия:

• малая, большая и репрезентативная выборки;

•формы представления выборки (негруппированная, группированная, вариационный ряд);

• функционные и числовые характеристики случайных величин [6, 8];
• точечные и интервальные оценки характеристик случайной величины;
• характеристики положения, рассеяния, формы распределения;
• характеристики порядковых статистик.

Уметь:

• получать по выборке из генеральной совокупности оценки начальных и центральных моментов, оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса, оценки характеристик порядковых статистик (медиану, квантили, процентили, квартили, децили, размахи), оценки функции и плотности распределения вероятностей случайной величины;
• строить полигон частот, гистограмму и график накопленных частот.

Рис.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Обозначим количество всех подлежащих обследованию объектов N (/ = ],N). Допустим, что каждому объекту /' соответствует значение X/. Согласно данному ранее определению, совокупность всех возможных значений (теоретически домысливаемых) N объектов называется генеральной совокупностью, а N - объемом генеральной совокупности.

• каждый элемент х, выбран случайно;
• все Xj имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;
• п должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выборка должна быть репрезентативной, представительной).

В дальнейшем будем иметь дело с выборкой, обладающей такими свойствами.

Принято считать, что при п gt; 60 выборка большая, или репрезентативная, а при п lt; 60 - малая. Такое деление выборки на большую и малую условно. Разные авторы используют разное пограничное п, делящее выборки на малые и большие, которое к тому же зависит от решаемой статистической задачи.

Понятие репрезентативная выборка не всегда можно связать с ее объемом п. Чаще это зависит от реально исследуемого объекта или явления, объема генеральной совокупности, трудоемкости и стоимости получения наблюдений или измерений для формирования выборки.

Возможны ситуации, когда генеральная совокупность мала. Например, исследуется время наработки до отказа уникального оборудования, когда в эксплуатации находится заведомо малое количество его экземпляров (N). Доступного для исследования оборудования (и) может быть еще меньше. Поэтому выборка объемом п, близким к объему генеральной совокупности N, может считаться репрезентативной и одновременно малой (п lt; 60).

tBC Пример 1. Количество зарегистрированных малых предприятий торговли продуктами питания в городе Новосибирске равно 2436. Для исследования предприятий по объему товарооборота взято 136 предприятий. В данном случае N= 2436 - объем гене-

ральной совокупности (все мыслимые предприятия данной категории), а п = 136 - объем выборки из генеральной совокупности.

Рассмотрим некоторые формы представления выборки из генеральной совокупности.

1. Представление выборки из генеральной совокупности в не-

груннированном виде xh і = 1, п . Такая форма связана с наличием сведений о каждом элементе выборки.

ЯНП Пример 2. Исследование ежедневного простоя (в часах) ¦**?-gt; бригады каменщиков из-за отсутствия строительных материалов в течение 10 дней представлено в виде: 1,3 0,7 2,8 2,3 1,15 0,25 1,17 0,8 2,4 0,45, п- 10. Здесь имеет место негруппирован- ная выборка.

2. Представление выборки в виде вариационного ряда (в упорядоченном виде)

Х(])lt;Х(2)lt; ... lt;Х(,)lt;... lt;Х(И) .

В этом случае - член вариационного ряда, или варианта. Часто Х(,-) называют порядковой статистикой [1, 4]. Индекс (г) указывает на порядковый номер элемента в вариационном ряду. Часто X(j) обозначают где R - ранг порядковой статистики. Иногда используют обозначение где R, - ранг і-го наблюдения в исходной (неупорядоченной) выборке. Любую функцию порядковых статистик также называют порядковой статистикой.

Форма представления выборки из генеральной совокупности в виде вариационного ряда не приводит к потере информации о каждом элементе выборки, но искажает информацию, устанавливая зависимость между соседними элементами выборки.

"•“At-1 Необходимо помнить! Члены вариационного ряда, в отличие от элементов исходной выборки, уже не являются взаимно независимыми (по причине их предварительной упорядоченности).

3. Представление выборки в группированном виде. Такая форма представления выборки из генеральной совокупности связана с разбиением области задания случайной величины X на L интервалов группирования. При этом известны только количество

элементов выборки п:, j = \,L, попавших в j интервал, и последовательность границ интервалов разбиения. Для определения числа

L интервалов искусственного группирования пользуются формулой Старджеса [5]

(1)

L= 1 + 3,322-lg п.

Иногда L может быть задано природой исследуемого явления или условиями проведения эксперимента.

На некоторых этапах статистического анализа необходимо исходную выборку представлять в группированном виде.

Рассмотрим последовательность процедуры группирования неупорядоченной выборки из генеральной совокупности.

1. Формирование вариационного ряда.
2. Выделение минимального и максимального элементов выборки:

3. Определение числа интервалов группирования осуществляется из соображения точности и устанавливается либо эмпирическим путем в зависимости от объема выборки, либо по формуле Старджеса [5], либо определяется природой явления или условиями проведения эксперимента. Округление При нахождении L осуществляется до ближайшего целого числа.
4. Определение ширины интервалов группирования (при равноточном группировании)

(2)

Если при вычислении h необходимо округлить результат, следует помнить, что последний интервал группирования будет меньше ширины h при округлении в большую сторону и больше h при округлении в меньшую сторону.

5. Формирование последовательности границ интервалов разбиения.

Образуемый вариационный ряд границ интервалов группирования будет выглядеть как

^(і)? ?^(i) h9 X(i) “Ь 2h, ... , “Ь (L 1) 'И, хщ).

Иногда для того, чтобы x(i) и х(п) попали внутрь соответственно 1-го и 1-го интервалов группирования, границы хП) и х{п) корректируют следующим образом:

' _ h х(і) -*(і) ~ 2 5

- _ h

Х(п) Х(п) + 2 '

Следовательно, число интервалов разбиения увеличивается на 1

L' = L+ 1.

При этом последовательность границ интервалов разбиения будет представлена в виде

х'(1), х'(1) + h,x\i)+2h, ... , х'(1) + L-h, х' (п).

6. Определение количества элементов выборки nh попавших в каждый j интервал.

Ж Пример 3. Ниже приведены объемы выработки за месяц (в тыс. руб.) пятидесяти продавцов молочных изделий, работающих в разных районах города.

15. 19              6              18              21              16              20              17              15              10
16. 20              7              19              22              17              21              19              16              11

19 10              8              18              20              8              18              16              20              12

16 21              21              9              19              19              14              18              19              19

12 20              20              8              13              10              18              17              22              18.

Представим выборку в группированном виде.

1. Формируем вариационный ряд

6. 9              12              15              16              18              19              19              20              21 ,
7. 10              12              16              17              18              19              19              20              21
8. 10              13              16              17              18              19              19              20              21

8. 10              14              16              17              18              19              20              20              21
9. 11              15              16              18              18              19              20              21              22.

2. Находим х(1)= 22, х(п) = 6.
3. Определяем число интервалов разбиения по формуле Стард- жеса(1)

L= 1 +3,322-lg50 = 6,6, 1 = 7.

4. Находим ширину интервала разбиения h по формуле (2)

h = 2?-JL = 2,2857.

7

Ограничимся двумя знаками после запятой и получим h = 2,28.

Поскольку h округлено в сторону уменьшения, то последний интервал будет шире предыдущих.

5. Строим вариационный ряд границ интервалов группирования (без корректировки границ первого и последнего интервалов): [6; 8,28], [8,28; 10,56], [10,56; 12,84], [12,84; 15,12], [15,12; 17,4], [17,4; 19,68], [19,68; 22].

Та же процедура, но с корректировкой границ первого и последнего интервалов, даст следующие результаты:

L' = L+ 1 =7+1 = 8;

/і) = /і) — — = 6 —1,14“4,86 ;

х[п) = х(п) + — = 22 + 1,14 = 23,14 .

Получаем последовательность границ интервалов разбиения для L = 8: [4,86; 7,14], [7,14; 9,42], [9,42; 11,7], [11,7; 13,98], [13,98; 16,26], [16,26; 18,54], [18,54; 20,82], [20,82; 23,14].

Ширина последнего интервала в том и другом случае (1 = 7 и L = 8) равна h = 2,32.

6. Находим количество элементов выборки r»j, попавших в j интервал, j -l,L (случай без корректировки границ интервалов)

Находим rij, j = 1, L +1 (случай корректировки границ интервалов разбиения)

Группированная форма представления случайной величины не содержит информации о каждом элементе выборки. При этом часто в качестве значения случайной величины на каждом интервале принимается его середина.

Это важно! От негруппированной выборки всегда можно перейти к группированной, но не наоборот. Необходимо помнить, что переход к группированной форме представления выборки сопряжен с потерей информации об исследуемом объекте, процессе или явлении.

Любые характеристики случайной величины, полученные по выборке из генеральной совокупности, называются выборочными, или эмпирическими, характеристиками, а характеристики, полученные по генеральной совокупности, - теоретическими, или генеральными, характеристиками.

Задачи математической статистики. Основная задача математической статистики состоит в определении свойств генеральной совокупности по выборке ограниченного объема п с использованием по возможности априорных предположений.

К задачам математической статистики относятся следующие:

• разработка и применение методов оценивания числовых и функционных характеристик генеральной совокупности по выборке из нее;
• описание эмпирических данных вероятностными моделями;
• проверка статистических гипотез;
• определение взаимосвязи между характеристиками исследуемых объектов, процессов, явлений;
• выявление согласия наблюдаемых (эмпирических) данных с теорией;
• принятие решений;
• другие задачи.

Все методы математической статистики можно разделить на параметрические методы, основанные на использовании знаний о вероятностной модели, и непараметрические, когда априорных представлений о виде модели нет или она не используется.

Параметрические методы рекомендуется применять для объема выборки п gt; 60.