МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ КОМПОНЕНТ СОСТАВЛЯЮЩИХ ОБЪЕКТА ИЗМЕРЕНИЯ

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ (СИГНАЛЫ) МОГУТ ИМЕТЬ РАЗЛИЧНЫЙ ВИД. ПОЭТОМУ ЕСТЕСТВЕННО СТРЕМИТЬСЯ ПРЕДСТАВИТЬ ЛЮБУЮ ДЕТЕРМИНИРОВАННУЮ ФУНКЦИЮ В КАНОНИЧЕСКОМ ВИДЕ ЧЕРЕЗ КАКИЕ-ТО СТАНДАРТНЫЕ ФУНКЦИИ.
ОДНИМ ИЗ РАСПРОСТРАНЕННЫХ, КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ЯВЛЯЕТСЯ РАЗЛОЖЕНИЕ ИХ В РЯД ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ:
Q(T) = Z AK Ф K(T), (2.32)
K=0
ГДЕ АК - КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЯ;
ТАКИЕ, ЧТО [ P(T)QK(T)QI(T)DT = J '
J I1, П
ФO(T),..., QK(T) - ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИНАТНЫЕ ФУНКЦИИ, Т. Е. B Г0, ПРИ I ф K
РИ I = K
A ^ I
ЗДЕСЬ Р^) - ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ.
В КАЧЕСТВЕ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ МОГУТ ВЫСТУПАТЬ САМЫЕ РАЗНООБРАЗНЫЕ ФУНКЦИИ. ТАК, ЕСЛИ ФУНКЦИЯ Q(T) РАССМАТРИВАЕТСЯ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ ОТ Т1 ДО Т2, ТО В КАЧЕСТВЕ КООРДИНАТНЫХ ФУНКЦИЙ МОГУТ БЫТЬ ВЫБРАНЫ РАЗЛИЧНЫЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА, ЛЕЖАНДРА И ДР.
НАИБОЛЕЕ ЧАСТА В КАЧЕСТВЕ КООРДИНАТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВЫБИРАЮТСЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. В ЭТОМ СЛУЧАЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ФУНКЦИЯ Ф(^, РАССМАТРИВАЕМАЯ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ ОТ Т ДО Т2, МОЖЕТ БЫТЬ ПРЕДСТАВЛЕНА В ВИДЕ ТАК НАЗЫВАЕМОГО РЯДА ФУРЬЕ:
H ГС
Ф(0 = B0 + ^(AK SIN KRAT + BK COSKRAT). (2.33)
2 K=1
0 2N
ЗДЕСЬ RA = КРУГОВАЯ ЧАСТОТА ПЕРВОЙ ГАРМОНИКИ;
(T2 - T1)
^(T - T1) SIN KRATDT;
T2 22
AK = K T2 - T1T
2
T2 T T1
T2
BK = ^ " ^ JФ(T - T1) COSKRATDT.
T1
ФОРМУЛУ (33) ПЕРЕПИШЕМ В ВИДЕ
H ГС
фШ = "B0 + ZAK SIN(KraT + фK), (2.34)
2 K=1
ГДЕ
AK = V AJK + BK; Ф K = ARCTG-BK
K
КАК ВИДНО ИЗ ФОРМУЛЫ (34), СИГНАЛ Ф(^ ПРЕДСТАВЛЕН В ВИДЕ СУММЫ ЕГО ПОСТОЯННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ -B0 И БЕСКОНЕЧНОГО
ЧИСЛА ГАРМОНИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ AK SIN (KRAT + Ф K). НА ПРАКТИКЕ ОЧЕНЬ ЧАСТО ЧИСЛО ЧЛЕНОВ РЯДА (34) ОГРАНИЧИВАЮТ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ N ВЫБИРАЯ ВЕЛИЧИНУ И ТАК, ЧТОБЫ 95% ЭНЕРГИИ СИГНАЛА БЫЛО СОСРЕДОТОЧЕНО В ДИАПАЗОНЕ ЧАСТОТ ОТ 0 ДО NRA .
ЭНЕРГИЯ СИГНАЛА (1), СУЩЕСТВУЮЩЕГО НА ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ ОТ
TI ДО Т2, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
T2
E = |Ф2(T)DT. (2.35) TI
ПОДСТАВЛЯЯ В ВЫРАЖЕНИЕ (35) ЗНАЧЕНИЕ ф^) ИЗ ФОРМУЛЫ (33),
ПРЕДСТАВИМ ЭНЕРГИЮ СИГНАЛА, В ФУНКЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОМ РЯДА ФУРЬЕ:
E = Ц^1 ? (A2 + B2) = ? A2. (2.36)
2 K=0 2 K=0
ЕСЛИ ЭНЕРГИЯ СИГНАЛА ИЗВЕСТНА, ТО ЧИСЛО И ЧЛЕНОВ РЯДА ФУРЬЕ, КОТОРЫМ МОЖНО ОГРАНИЧИТЬСЯ ПРИ ОПИСАНИИ СИГНАЛА, ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
T - T N
0.95E = -1 ? A 2 (2.37)
2 K=0
ЗНАЯ N, МОЖНО ОПРЕДЕЛИТЬ ТАКУЮ ВАЖНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ СИГНАЛА, КАК ВЕРХНЮЮ ГРАНИЧНУЮ ЧАСТОТУ СПЕКТРА СИГНАЛА, КОТОРАЯ ПРИНИМАЕТСЯ РАВНОЙ ЧАСТОТЕ НАИВЫСШЕЙ ГАРМОНИКИ, Т. Е.
FB = (2.38)
2п 2п T2 - TI
ЭНЕРГИЮ СИГНАЛА НЕОБХОДИМО ЗНАТЬ НЕ ТОЛЬКО ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ОПРЕДЕЛИТЬ ДОПУСТИМОЕ КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ЧЛЕНОВ РЯДА ИЛИ ВЕРХНЮЮ ГРАНИЧНУЮ ЧАСТОТУ СПЕКТРА СИГНАЛА, НО И ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИГНАЛА. К ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ СИГНАЛА, ПОМИМО ЕГО ЭНЕРГИИ ОТНОСИТСЯ ТАК НАЗЫВАЕМАЯ МОЩНОСТЬ СИГНАЛА И ЕГО ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ.
МОЩНОСТЬЮ СИГНАЛА ф^), СУЩЕСТВУЮЩЕГО НА ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ ОТ Т1 ДО Т2, НАЗЫВАЕТСЯ ВЕЛИЧИНА
T2
E 1
Pc =
|Ф 2(T)DT, (2.39)
T2 - T1 T2 - T1 T
TI
E
А ДЕЙСТВУЮЩИМ ЗНАЧЕНИЕМ -
(2.40)
T2 — TI
Л/PC
1 T2 —— |Ф 2(T)DT.
T2 — TI
ИЗ ФОРМУЛ (35), (39) И (40) ВИДНО, ЧТО ВСЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА (ЭНЕРГИЯ Е, МОЩНОСТЬ Р, И ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ) ЖЕСТКО СВЯЗАНЫ МЕЖДУ СОБОЙ.
ЕСЛИ, СИГНАЛ Ф^) ПРЕДСТАВЛЕН В ВИДЕ, РЯДА ФУРЬЕ (33) ИЛИ
(34), ТО, КАК СЛЕДУЕТ ИЗ ВЫРАЖЕНИЙ (36) И (39), ЕГО МОЩНОСТЬ МОЖЕТ БЫТЬ ОПРЕДЕЛЕНА ПО ФОРМУЛЕ (41)
А Ж Л Ж
(2.41)
PC = 21 (A2 + B2) = 2 X A
K=0
K=0
РЯД ФУРЬЕ (38) ДЛЯ ФУНКЦИИ Ф^), СУЩЕСТВУЮЩИЙ НА ИНТЕРВАЛЕ ОТ Т1 ДО Т2 МОЖЕТ БЫТЬ ЗАПИСАН ТАКЖЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ:
(2.42)
Ф(Ц = ? CKEIK0,T,
K=—Ж
ГДЕ КОМПЛЕКСНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ СК ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
1 T?
C
DT.
(2.43)
—— ^(T — TI)E—IKROT
T2 — TI
КОЭФФИЦИЕНТЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЕ (42) СВЯЗАНЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ РАЗЛОЖЕНИЯ РЯДА (33) СООТНОШЕНИЕМ
С K = ^I-. (2.44)
ЕСЛИ СИГНАЛ ф^) ЗАДАЕТСЯ В ВИДЕ РЯДА (42), ТО ЕГО МОЩНОСТЬ ПОДСЧИТЫВАЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ
PC = X CKC K, (2.45)
—Ж
ГДЕ C K - КОМПЛЕКСНАЯ ВЕЛИЧИНА, СОПРЯЖЕННАЯ С CK.
В ТЕХ СЛУЧАЯХ, КОГДА ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ СИГНАЛ Ф(^ ЯВЛЯЕТСЯ
< ГС, ТО ЕГО МОЖНО
НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ И J|Ф(T)|DT
— ГС
ПРЕДСТАВИТЬ В ВИДЕ
1 ГС
фШ = — J S( ra )EJRATDra, (2.46)
2n J
2П
— ГС
ГДЕ
S(T) = Jф(T)E- JRATDT. (2.47)
— ГС
ОБЫЧНО В ТАКОЙ ФОРМЕ, ПРЕДСТАВЛЯЮТ ИМПУЛЬСНЫЕ СИГНАЛЫ.
КОМПЛЕКСНАЯ ВЕЛИЧИНА S( ra) НАЗЫВАЕТСЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ СИГНАЛА ИЛИ КОМПЛЕКСНЫМ СПЕКТРОМ.

МОДУЛЬ
|S(ra )| = -У/S(ra )S* (ra) ВЕЛИЧИНЫ S(ra) НАЗЫВАЕТСЯ ПРОСТО СПЕКТРОМ СИГНАЛА.
ЭНЕРГИЯ СИГНАЛА ф(^, ПРЕДСТАВЛЕННОГО В ВИДЕ ВЫРАЖЕНИЯ МОЖЕТ БЫТЬ ПОДСЧИТАНА ПО ФОРМУЛЕ
ГС
E = - J |S(ra)|2Dra, (2.48) п О
А ВЕРХНЯЯ ГРАНИЧНАЯ ЧАСТОТА ЕЬ ЕГО СПЕКТРА ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ИЗ УРАВНЕНИЯ
1 2NFB
0.95E = П J|S(ra)|2Dra, (2.49)
ИЛИ
2NFB ГС
J |S( ra )|2Dra = 0.95J |S( ra )|2Dra. (2.50)
О 0
УРАВНЕНИЕМ (49) ЦЕЛЕСООБРАЗНО ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ПРИ ИЗВЕСТНОЙ
ЭНЕРГИИ СИГНАЛА, А УРАВНЕНИЕМ (50) - ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ.
БОЛЬШОЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ СИГНАЛОВ ИМЕЕТ ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА, КОТОРАЯ УТВЕРЖДАЕТ, ЧТО НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ ф^), НЕ СОДЕРЖАЩАЯ ЧАСТОТ ВЫШЕ ГРАНИЧНОЙ ю Ь = 2nFB, ПОЛНОСТЬЮ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ОТСЧЕТАМИ МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ф^А^ В ТОЧКАХ, ОТСТОЯЩИХ ДРУГ ОТ ДРУГА НА ИНТЕРВАЛЫ
AT = . ЭТА ТЕОРЕМА ПОЗВОЛЯЕТ ПРЕДСТАВИТЬ НЕПРЕРЫВНУЮ ю B
ФУНКЦИЮ ф^) В ВИДЕ РЯДА
ф(Ч = ХФ^)^ — :AAt). (2.51)
KT—Ж n B(T — KAT)
ЕСЛИ ФУНКЦИЯ ф()) С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ РАССМАТРИВАЕТСЯ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ Т, ТО ТОЧНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ (51) ЗАМЕНЯЕТСЯ ПРИБЛИЖЕННЫМИ:
N/2
Ф()) - X Ф^А))9^ — :AAT). (2 52)
K=НП/ 2 n B(T — KAT)
ГДЕ
N = (TAt) + 1 - 2FBT.
ТАКИМ ОБРАЗОМ, В ДАННОМ СЛУЧАЕ ФУНКЦИЯ ф()) ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ В
ВИДЕ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА П=2БЬТ ЕЕ ОТСЧЕТОВ.

<< | >>

↑

Источник: Ю.Н. Пивоваров, А.Г. Реннер, В.Н. Тарасов. МЕТОДЫ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ. Учебное пособие часть 1. 1998

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ КОМПОНЕНТ СОСТАВЛЯЮЩИХ ОБЪЕКТА ИЗМЕРЕНИЯ

релевантные научные источники:

- Аналитическая геометрия - Вариационное исчисление - Векторный и тензорный анализ - Высшая геометрия - Высшая математика - Вычислительная математика - Дискретная математика - Дифференциальное и интегральное исчисление - Дифференциальные уравнения - Исследование операций - История математики - Комплексное исчисление - Линейная алгебра - Линейное программирование - Математическая логика - Математическая физика - Математический анализ - Пределы - Ряды - Статистика - Теория вероятностей - Теория графов - Теория игр - Теория принятия решений - Теория случайных процессов - Теория чисел - Финансовая математика - Функциональный анализ -

- Антропология - Астрономия - Безопасность жизнедеятельности - Библиотечное дело - Биология - Военное дело - География - Зоология - История - Культурология - Литература - Математика - Медицина - Педагогика - Политология - Право России - Право України - Психология - Религоведение - СМИ и журналистика - Социология - Технические науки - Транспорт - Физика - Философия - Финансы - Экология - Экономика - Этнография и демография - Юриспруденция - Языкознание -