Центральный момент s-го порядка

времени, которая в каждый момент времени равна математическому ожиданию s -й степени соответствующего центрированного сигнала.

о ю о

Цs(t) = M[Xs(t)] = 1 X s(t)f(x,t)dx (1.72)

- ю

Моменты 0-го и 1-го порядка неинформативны, так как

Ц 0 (t) = 1; ц 1(t) = 0

Основное применение получил второй центральный момент:

о

Цs(t) = M [X 2 (t)] = D х (t) (1.73)

Это - дисперсия сигнала, которая характеризует степень разбросанности отдельных реализаций относительно математического ожидания.

Ту же информацию о процессе {X(t)} дает и среднее квадратическое отклонение, численно равное квадратному корню из дисперсии и имеющее размерность самого сигнала.

Для описания случайных процессов используют также смешанные моменты.

Смешанным начальным моментом порядка (k+s) случайного сигнала {X(t)} называется такая функция двух временных аргументов t1 и t2, которая при фиксированных значениях этих аргументов численно равна математическому ожиданию произведения k-й и s-й степеней соответствующих сечений сигнала:

dk,s(t1,t2)=M[Xk(t1)Xs(t2)] (1.74)

Центральный смешанный момент порядка (к+s) определяется выражением вида :

45

Ц k.s(t1,t2) = M[Xk(t1)Xs(t2)] (175)

(1.76)

^,1(t1,t2) = M[X(t1)X(t2)] = Rx(t1,t2).

Для приближенного описания свойств случайного процесса наиболее широкое применение получил центральный смешанный момент порядка (1+1):

- математическое ожидание произведения двух сечений центрированного сигнала. Это - уже упоминавшаяся автокорреляционная функция случайного сигнала {X(t)} (авто- т. е. характеризуется корреляция, или взаимосвязь двух сечений одного и того же процесса).

Таким образом, для приближенного описания свойств сигнала используют математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию.

Выясним, о каких свойствах сигнала несет информацию АКФ, а для этого рассмотрим ее собственные свойства.

АКФ обладает свойством симметричности относительно своих аргументов, то есть не изменяет своего значения при перемене временных аргументов местами:

Rx(t1,t2)= Rx(t2,t1) (1.77)

По величине АКФ не может превышать произведения среднеквадратических отклонений соответствующих сечений:

Rx(t1,t2x)<= ст x(t1) ax(t2) (1.78)

При совпадении временных аргументов АКФ превращается в дисперсию:

0

Rx(t,t) = M [X 2 (t)] = Dx(t). (1.79)

То есть набор характеристик, необходимых для приближенного описания случайного сигнала, может быть сокращен до двух: mx и Rx(^).

Вернемся ко второму свойству АКФ и положим t1=t2=t:

Rx(t, t)<= а 2x(t), т. е.

Rx(t, t)<=Dx(t). (1.80)

Наибольшее значение АКФ имеет при равных временных аргументах, и это наибольшее значение равно дисперсии сигнала.

На практике для удобства часто используют нормированную автокорреляционную функцию, под которой понимают функцию вида

р x(t1, t2) = = M[X(((t;)X((ttf] (1.81)

|> 2I CTx(t1)CTx(t2) CTx(t1)CTx(t2) v y

Нормированная АКФ - величина безразмерная. По определению нормированная АКФ - это коэффициент корреляции между двумя сечениями случайного процесса.

Рассмотрим, как будут трансформироваться свойства АКФ при переходе к нормированной функции :

Р x(t1,t2)= р x(t2,t1) ;

Р x(t1,t2)<=1;

при равенстве временных аргументов:

t1=t2=t, Р x(t,t) = 1.

Выясним, как будет вести себя р x(t1,t2) при изменении интервала времени между сечениями t1-t2= Т от нуля до бесконечности

Рисунок 17 - Реализация случайного процесса (к вопросу о поведении нормированной АКФ в зависимости от интервала времени между сечениями)

Таким образом, выясняется четвертое свойство АКФ:

lim Px(t1,t2) = 0 (1.82)

t2—ч ^да

47

Если рассматривать АКФ как функцию интервала времени между сечениями, то это функция при т, стремящемся к бесконечности, будет стремится к нулю :

4) lim рx(т) = 0 (1.83)

т^-да

то есть взаимосвязь между сечениями будет ослабевать и даже теряться (в соответствии с рисунком 17)