ИЗ «АРИФМЕТИКИ»1* ПРЕДИСЛОВИЕ  

Обоснованы или нет эти наши притязания, заключающие в себе одновременно и упрек предшествующим разработкам в не&достаточной научной строгости и последовательности, должен доказать сам предлагаемый труд, поскольку полемическое или апологетическое обоснование упомянутых притязаний противо&речит нашей непосредственной цели. Мы надеемся позже устра&нить этот изъян путем такой разработки математики, предназна&ченной для подготовленного читателя, в которой будут подчерк&нуты все руководящие идеи и в деталях показана необходимость используемого метода. Однако я убежден, что уже теперь всякий, кто сознательно и без предубеждений проштудирует предлагае&мый труд, признает оправданность упомянутых притязаний. Сле&довательно, остается только обсудить педагогическую сторону книги и ее практическое применение.

Пожалуй, немногие станут оспаривать тот факт, что уже в са&мом начале научного обучения математике использование макси&мально строгого метода имеет преимущество перед всеми други&ми. В частности, любой педагог последовательное доказательство предпочтет доказательству, содержащему ошибку или впадаю&щему в круг; более того, для него морально невозможно идти к учащимся с такого рода доказательством. И все-таки подобного рода негодные доказательства повсеместно распространены в учебниках арифметики и господствуют там, где дело идет об ос&новах ее системы.

Только математика в ее наиболее строгой форме, - с прису&щей ей непреклонной последовательностью, - в состоянии огра&дить учащихся от модного увлечения красивыми фразами и нау&чить мыслить логически. Но эта цель не может быть достигнута, если нанизывать формулы одну за другой, не сопровождая их разъяснением сути (смысла) соответствующих преобразований. Поэтому развертывание формул и раскрытие смысла всегда должны идти рука об руку. Способ, каким это можно осуществ&лять, показан в предлагаемом учебнике на конкретных примерах, как это сделано, например, в № 17. Доказательство в нашем учеб&нике, как правило, передается только с помощью формул, причем в круглых скобках указывается номер предложения, на основе ко&торого получена новая формула. При этом, однако, всегда предпо&лагается, что при словесном воспроизведении доказательства уча&щийся всякий раз формулирует предложение, которое использу&ется при получении данной формулы. В трудных местах он дол&жен осознать особенность соответствующего предложения при&менительно к конкретному случаю. Тогда все воспроизведение до&казательства будет происходить в форме развертывания понятий, а выписываемая каждый раз формула символически представлять шаг, осуществляемый с помощью понятий.

Другим важным средством пробуждения творческой активно&сти учащихся служит эвристический метод, который учит тому, как находить сами предложения. Но ограничиться одним только эвристическим методом было бы совершенно ошибочно. Это ос&ложнило бы повторение пройденного ранее материала, сузило бы рамки индивидуальной работы учителя с учащимися, обладающи&ми разными способностями. Надеюсь, однако, что изложение в моей книге таково, что во всех случаях позволяет извлекать необ&ходимую эвристику. Пример подобного эвристического метода для одного из самых трудных случаев представлен в № 439.

Что касается заданий, которые направлены к тому, чтобы ча&стью служить упражнениями при изучении материала, частью же содействовать пробуждению творческой активности учащихся, читатель найдет, например, в превосходном сборнике Гейса.

В соответствующих местах [учебника] указаны типы задач, которые должны быть предложены учащимся в процессе изуче&ния материала. Кроме того, в ходе развертывания формул строго поступательным [индуктивным] методом, предложенным в на&стоящем учебнике, учащиеся упражняются и в выполнении алге&браических преобразований, так что при решении соответствую&щих задач они не встретятся с большими затруднениями.

Но кроме развития способности четкого усвоения и уверенно&го отыскания истины математика обладает и еще одним воспиты&вающим свойством, а именно она содействует формированию способности ума охватывать научную систему в целом.

Сформировать способность воспринимать систему в целом можно, с одной стороны, прибегая к легко обозримой и строгой систематизации, которая не скроена по внешнему шаблону, но органически вытекает из природы предмета. С другой же сторо&ны, резюмируя в заключении все то, что еще находится вне связи друг с другом, но готово к тому, чтобы быть связанным между со- бой, и создавая тем самым цельную картину. В применении к эле&ментарной арифметике мы пытаемся сделать это в ее заключе&нии, в параграфе 16.

Наконец, что касается структурирования и подачи материала, то уже из оглавления видно, что его должно быть достаточно вплоть до старших классов гимназии и что им охвачена вся ариф&метическая часть преподавания. В случае обычной организации гимназии четвертому и третьему классам должны соответствовать § 1-9; второму - § 10-16, а § 17-26 - старшим классам. Следует за&метить, что § 24-26, в зависимости от способностей учащихся, или прорабатываются или пропускаются, или предлагаются наиболее одаренным ученикам, или же передаются в качестве дополнитель&ных лекций в остальные классы. Помеченные звездочкой * пред&ложения (теоремы) при первом чтении могут быть опущены.

В соответствии с планом автора за предлагаемой первой ча&стью должны последовать еще две, одна из которых - планимет&рия, другая - стереометрия, и обе должны охватывать тригоно&метрию.