§ 24. Основания силлогистики

Каждая аксиоматически построенная дедуктивная система опирается на три основных элемента: первоначальные термины, аксиомы и правила вывода. Я начну с оснований для принимаемых выражений; основные элементы для отбрасываемых выражений будут рассмотрены позже.

В качестве первоначальных терминов я принимаю константы Ли/, определяя через них две другие константы ? и О:

Определение 1: Eab = NIab,

Определение 2: Oab= NAab.

Для того чтобы сократить доказательства, я буду употреблять вместо этих определений следующие два правила вывода:

правило RE: N1может быть всюду заменено на Е, и наоборот;

правило RO: NAможет быть всюду заменено на О, и наоборот.

Четыре положения системы принимаются аксиоматически— это два закона тождества и модусы Barbara и Datisi:

Ааа

1аа

CKAbcAabAac (Barbara)

CKAbcIbalac (Datisi).

Кроме правил REи RO, я допускаю два следующих правила вывода для принимаемых выражений:

(а) Правило подстановки: Если а — принятое выражение системы, то любое выражение, полученное из а с помощью правильной подстановки, также является принятым выражением.

(б) Правило отделения: Если Са|3 и а — выражения, принятые в нашей системе, то р — также приня-тое выражение.

Как вспомогательную теорию я предполагаю систему С—Nтеории дедукции с К в качестве определяемого функтора. На место пропозициональных переменных могут быть подставлены пропозициональные выражения силлогистики, такие, как Aab, lac, KEbcAabи т. д. Во всех последующих доказательствах (также и для отбрасываемых выражений) я буду использовать лишь следующие четырнадцать положений, которые обозначены римскими цифрами:

CpCqp(закон упрощения)

И. CCqrCCpqCpr(вторая форма закона гипотетического силлогизма)

CCpCqrCqCpr(закон коммутации)

CpCNpq(закон Дунса Скота)

CCNppp(закон Клавия)

CCpqCNqNp(закон транспозиции)

CCKpqrCpCqr(закон экспортации)

CpCCKpqrCqr

CCspCCKpqrCKsqr

CCKpqrCCsqCKpsr

CCrsCCKpqrCKqps

CCKpqrCKpNrNq

CCKpqrCKNrqNp

CCKpNqNrCKprq

Положение \rIII — форма закона экспортации, положения IX—XI —сложные законы гипотетического силлогизма, а XII—XIV — сложные законы транспозиции.

Система аксиом 1—4 совместима (consistent), то есть непротиворечива. Простейшее доказательство непротиворечивости получается в результате рассмотрения переменных терминов как пропозициональных переменных и определения функций Ли/ как всегда истинных, то есть полагания Aab= lab — KCaaCbb.Аксиомы 1—4 тогда истинны как положения теории дедукции, а так как известно, что теория дедукции непротиворечива, то силлогистика также является непротиворечивой.

Все аксиомы нашей системы независимы друг от друга. Это можно доказать с помощью интерпретации в области теории дедукции. В последующих интерпретациях переменные термины трактуются как пропозициональные переменные.

Независимость аксиомы 1. Возьмем К вместо А иг С — вместо /. Аксиома 1 не выполняется, так как Ааа = Каа и Каа дает 0 при а/0. Другие аксиомы выполняются, что легко проверить с помощью 0—1 метода.

Независимость аксиомы 2. Возьмем С вместо А и К — вместо /. Аксиома 2 не выполняется, так как 1аа = Каа. Другие аксиомы выполняются.

Независимость аксиомы 4. Возьмем С вместо Ли/. Аксиома 4 не выполняется, так как CKAbcIbalac= = CKCbcCbaCacдает 0 при Ь/0, а/1, с/0. Остальные аксиомы выполняются.

Независимость аксиомы 3. Невозможно доказать независимость этой аксиомы на основе теории дедукции лишь с двумя значениями истинности: 0 и 1. Мы должны ввести третье значение истинности (обозначим его символом 2), которое может рассматриваться как другой символ для истины, то есть для 1. К эквивалентностям, данным для С, N и К в параграфе 23, мы должны прибавить следующие формулы:

С02 = С12 = С21 = С22 = 1, С20 = 0, N2 = 0,

К02 = К20 = 09 К12 = К21 = К22 = L

Можно легко показать, что при этих условиях все положения С—Мсистемы выполняются.

Ааа = 1, А01 = А12 = 1 и А02 — 0 (остальные не

относятся к делу).

Аксиомы 1, 2 и 4 верфицируются, но из 3-й аксиомы при подстановке 6/7, с/2, а/0 мы получаем: СКА12А01А02 = СКПО = СЮ = 0.

Возможно также провести доказательство независимости, пользуясь интерпретацией в области натуральных чисел. Если мы хотим, например, доказать независимость аксиомы 3 от остальных аксиом, то мы можем определить АаЬ как а-\-1фЬ, a lab— как а+ 6 = = 6 +а. labвсегда истинно, и, следовательно, аксиомы 2 и 4 выполняются. Аксиома 1 также выполняется, так как а + 1 всегда отлично от а. Но аксиома 3, то 'есть «Если b Ф с и а + 1 Ф Ь, то а + 1 Ф с», не выполняется. Возьмем 3 вместо а, 2 вместо Ъ и 4 вместо с: посылки будут истинны, а заключение — ложно.

В результате вышеприведенных доказательств независимости оказывается, что не существует никакой единственной аксиомы или «принципа» силлогизма. Правда, четыре аксиомы 1—4 могут быть механически объединены в одно предложение с помощью союза «и», однако они остаются обособленными в этой неорганической конъюнкции и не будут представлять из себя одной единой идеи.