§ 32. Элементарные выражения силлогистики

Согласно теореме (ТА), каждое осмысленное выражение аристотелевской силлогистики может быть дедуктивно эквивалентным способом сведено к ряду элементарных выражений, то есть выражений формы:

CajCc^Cag ..

где все а — простые выражения силлогистики, то есть выражения типа Aab, lab, Eab,или Nlab, Oab,или NAab.Теперь я покажу, что каждое элементарное выражение силлогистики разрешимо, то есть или принимается, или отбрасывается. Сначала я докажу, что все простые выражения, за исключением выражений типа Ааа и 1аа, отбрасываются. Мы уже видели (параграф 27, формула 61), что lacотбрасывается. Здесь даются доказательства отбрасывания других выражений:

Обращаясь теперь к сложным элементарным выражениям, последовательно исследуем все возможные случаи, опуская, где это возможно, формальные доказательства и ограничиваясь лишь наметками того, как их можно провести. Необходимо исследовать шесть случаев.

Первый случай.Консеквент апотрицателен, а все антецеденты утвердительны. Такие выражения отбра-сываются.

Доказательство. При отождествлении всех переменных, встречающихся в выражении с а, все антецеденты оказываются истинными, будучи законами тождества Аааили 1аа, а консеквент оказывается ложным. Мы видим, что для решения этого случая существенны законы тождества.

Второй случай.Консеквент отрицателен, вместе с тем отрицателен и только один из антецедентов. Этот случай может быть сведен к случаю с лишь одними утвердительными элементами, а такие случаи, как мы увидим позже, всегда разрешимы.

Доказательство. Выражения формы CaCNfiNyдедуктивно эквивалентны выражениям формы СаСу$относительно положений CCpCNrNqCpCqrи CCpCqrCpCNrNq. Это верно не только для одного утвердительного антецедента а, но и для любого числа их.

Третий случай.Консеквент отрицателен, отрицателен и более чем один антецедент. Выражения этого рода могут быть сведены к более простым выражениям и в конечном счете ко второму случаю.

Доказательство. Предположим, что первоначальное выражение имеет форму CNaCN$Cy...Np.Это предположение всегда может быть сделано, так как любой антецедент может быть передвинут на какое угодно место. Мы сводим это выражение к двум более простым выражениям CNaCy...Np и CN$Cy...Nр, опуская соответственно второй или первый антецедент. Если эти выра-жения имеют более одного отрицательного антецедента, мы повторяем ту же самую процедуру до тех пор, пока не получим формулы лишь с одним отрицательным антецедентом. Так как такие формулы, согласно второму случаю, дедуктивно эквивалентны разрешимым утвердительным выражениям, они всегда либо прини-

Ыактгся, либо отбрасываются. Если же хотя бы оДна из них принимается, первоначальное выражение также должно быть принято, так как с помощью закона упро-щения мы можем прибавить к этой принятой формуле все другие отрицательные антецеденты, которые были предварительно опущены. Если, однако, все формулы с одним отрицательным антецедентом отбрасываются, мы делаем вывод с помощью повторного применения правила отбрасывания Слупецкого, что первоначальное выражение должно быть отброшено. Два примера вполне пояснят этот вопрос.

Первый пример: CNAabCNAbcCNlbdClbcNAcd,положение.

Мы сводим это выражение к (1) и (2):

(1) CNAabCNlbdClbcNAcd, (2 )CN AbcCNlbdClbcN Acd. Тем же путем мы сводим (1) к (3) и (4):

(3) CNAabCIbcNAcd, (4) CNIbdClbcNAcd,

а (2) —к (5) и (6):

(5) CNAbcClbcNAcd, (6) CNIbdClbcNAcd.

Теперь последнее выражение является положением; это модус Feris,son третьей фигуры. Подставляя в CpCqp выражение (6) вместо р и NAbcвместо #, мы получаем

, а применяя CpCqpеще раз с подстановкой (2) вместо р и NAabвместо #, мы доходим до первоначального положения.

Второй пример: CNAabCNAbcCNIcdCIbdNAad, — не положение. Мы сводим это выражение, как и в предыдущем примере, к

(1) CNAabCNlcdCIbdNAad, (2) CNAbcCNIcdCIbdNAad; затем мы сводим (1) к (3) и (4), а (2) — к (5) и (6): (3) С NAab ClbdNA ad, (4) CNlcdClhdNAad,

CNAbcCIbdNAad, (6) CNIcdClbdNAad.

Ни одна из вышеприведенных формул с одним отрицательным антецедентом не является положением, что может быть доказано сведением их к случаю лишь с утвердительными элементами.

и (6) отбрасываются. Применяя правило Слупецкого, мы из отбрасываемых выражений (5) и (6) умозаключаем, что и (2) должно быть отброшено, а из отбрасываемых выражений (3) и (4) заключаем, что

Должно быть отброшено (1). Но если отброшены (1) и (2), то должно быть отброшено также и перво-начальное выражение.

Четвертый случай. Консеквент утвердителен, а некоторые (или все) антецеденты отрицательны. Этот случай может быть сведен к третьему.

Доказательство. Выражения формы СаСЩу дедуктивно эквивалентны выражениям формы CaCNfiCNyNAaa на основании положений CCpCNqrCpCNqCNrNAaaи CCpCNqCNrNAaaCpCNqr,так как NAaaвсегда ложно.

Все случаи с отрицательными элементами этим исчерпываются.

Пятый случай. Все антецеденты утвердительны, а консеквент — общеутвердительное предложение. При этом надо различать несколько подслучаев.

Консеквент имеет вид Ааа; это выражение принимается, так как его консеквент истинен.

Консеквент имеет вид АаЬ, и АаЬ является также одним из антецедентов. Выражение, конечно, принимается.

Рассмотрим, что следует из предположения, что АаЬ не фигурирует в качестве антецедента.

Консеквент имеет вид АаЬ, но ни один ан-тецедент не принадлежит к типу Aajfс /, отличным от а (и, конечно, от Ь). Такие выражения отбрасываются.

Доказательство. С помощью отождествления с b всех переменных, отличных от а и 6, мы можем получить лишь следующие антецеденты:

Ааа, Aba, Abb, Iaa, lab, Iba, Ibb

(Мы не можем получить АаЬ, так как ни один антеце-дент не принадлежит к типу Аа/, где / отлично от а.) Посылки Ааа, Abb, Iaa, Ibbмогут быть опущены как истинные. (Если не имеется никаких других посылок, выражение отбрасывается, как в первом случае.) Если имеется Iba, кроме lab, то одно из них может быть опущено, так как они эквивалентны друг другу. Если имеется Aba, то можно опустить labи Iba, так как Aba подразумевает их обоих. После этих сведений в качестве антецедентов могут остаться лишь Abaили lab.

САЪаАаЪ и ClabAab

отбрасываются на основании нашей аксиомы отбрасы-вания:

p/Acb, q/Aba, r/Iac, s/AabX С27 —108 108. CCAabAbaCKAcbAablac (X. CCKpqrCCsqCKpsr, 27. CKAcbAbalac)

108 X C*109 — *59 *109. CAabAba

*109 X *110. b/a, alb *110. CAbaAab

Если отбрасывается CAbaAab, то должно быть отброшено также и ClabAab, поскольку labболее слабая посылка, чем Aba.

Консеквент имеет вид АаЬ, и существуют антецеденты типа Aafс f, отличным от а. Если существует цепь, ведущая от а к 6, выражение принимается на основании аксиомы 3, модуса Barbara; если такой цепи нет, выражение отбрасывается.

Доказательство. Под цепью, ведущей от а к 6, я понимаю упорядоченный ряд общеутвердительных посылок:

Аас\, Ac^c^i,...,Асп__]СПу Ас^Ь, где первый термин ряда имеет а в качестве своего первого аргумента, последний термин в качестве своего второго аргумента имеет bи второй аргумент каждого термина, за исключением последнего, совпадает с пер-вым аргументом следующего за ним термина. Очевидно, что АаЬ получается из ряда таких выражений в результате повторного применения модуса Barbara. Если поэтому имеется цепь, ведущая от а к Ь, то выражение принимается; если же такой цепи нет, то мы можем освободиться от антецедентов типа Aaf,отождествляя их второй аргумент с а. Таким путем выражение сводится к уже отвергнутому подслучаю (с).

Шестой случай. Все антецеденты утвердительны, а консеквент — частноутвердительное предложение. Здесь мы также должны различать несколько подслучаев.

Консеквент имеет вид 1аа\ выражение принимается, так как его консеквент истинен.

Консеквент имеет вид lab, а в качестве антецедента выступает или АаЬ, или Aba, или lab, или Iba\ очевидно, что во всех этих случаях выражение должно быть принято.

Рассмотрим, что следует из предположения, что ни одна из вышеприведенных четырех посылок не фигурирует в качестве антецедента.

Консеквент имеет вид labи ни один антецедент не принадлежит к типу Afa (fотлично от а) или типу Agb (ё отлично от 6).

Доказательство. Мы отождествляем все переменные, отличные от а и 6, с с; затем мы получаем, кроме истинных посылок типа Асе или 1сс, лишь следующие антецеденты:

Aac, Abe, lac, Ibc.

Аас подразумевает lac, a Abeподразумевает Ibc.Наиболее сильная комбинация посылок является поэтому Аас и Abe.Однако из этой комбинации не следует lab, так как формула

CAacCAbclab

эквивалентна нашей аксиоме отбрасывания.

Консеквент имеет вид lab, а среди антецедентов имеются выражения типа Afa(/ отлично от а), но не типа Agb(gотлично от Ь). Если имеются Abeили Ibe (Ieb) и цепь, ведущая от в к а:

Abe; Аееъ Ае,еъ..., Аепа,

(Р) Ibe; Аееъ Аехеъ ...,Аепа,

то мы получаем из (a) Abeи Аеа и, следовательно, labс помощью модуса Bramantip; а из (р) получаем Ibeи Аеа, и, следовательно, labпо модусу Dimaris. В обоих случаях выражение принимается. Если, однако, условия (а) и (р) не выполнены, то мы можем освободиться от антецедентов типа Afaпосредством отождествления их первых аргументов с а, и выражение должно быть отброшено, согласно подслучаю (с).

(е) Консеквент имеет вид lab,и среди антецедентов имеются выражения типа Agb(g отлично от 6), но

нет выражений типа Afa(/ отлично от а). Этот случай

можно свести к подслучаю (d), так как а и bсимметричны относительно консеквента lab.

(/) Консеквент имеет вид lab,и среди антецедентов имеются выражения типа Afa (fотлично от а) и выражения типа Agb (gотлично от Ь). Мы можем предположить, что условия (а) и (р) не выполняются для Afa, или же аналогичные условия — для Agb;в противном случае, как мы уже знаем, первоначальное выражение было бы принято. Теперь, если имеются Аса и цепь, ведущая от с к Ь:

(у) Аса; Ассъ Асхсъ...,Асф, или же Adbи цепь, ведущая от dк а:

(Ь) Adb; Addlf Adxd2,...,Adna,

то мы получаем из (у) Аса и АсЪ, из (5) Adbи Ada, и, следовательно, в обоих случаях labпо модусу Darapti. Далее, если имеются антецедент led(или Idc)и две цепи: одна ведущая от с к а, а другая — от dк Ь:

Г led; Асси Асхсъ Аспа,

' led; Addi, Adxd2,...,Adф,

то мы получаем с помощью первой цепи посылку Аса, с помощью второй цепи — посылку Adbyа обе посылки вместе с ledдают заключение labна основе полисил-логизма

CIcdC АсаС Adb lab.

Мы доказываем полисиллогизм, выводя ladиз ledи Аса по модусу Disamis, а затем выводя labиз ladи Adbпо модусу Darii. Во всех этих случаях первоначальное выражение должно быть принято. Если, однако, ни одно из условий (у), (б) или (є) не удовлетворено, то мы можем освободиться от выражений типа А/а и Agbtотождествляя их первые аргументы соответственно с а или с 6, а первоначальное выражение должно быть отброшено, согласно подслучаю (с).

Все возможные случаи теперь исчерпаны и доказано, что всякое осмысленное выражение аристотелевской силлогистики либо принимается, либо отбрасывается на основе наших аксиом и правил вывода.