§ 23. Кванторы

У Аристотеля нет ясной идеи кванторов, и он не использовал их в своих работах; следовательно, мы не можем вводить их в его силлогистику. Однако, как мы уже видели, в его системе имеется два пункта, которые мы можем лучше понять, если объясним их, применяя кванторы.

Я обозначаю кванторы греческими заглавными буквами: квгантор общности — через П, а квантор существования, или «частности», — через 2. Знак П может читаться «для всякого», а 2 — «для некоторого» или «существует»; например, 2сКАсЬАса означает в словах «Существует такое с, для которого верно, что всякое с есть bи всякое с есть а», или, более кратко: «Для неко-торого с, всякое с есть bи всякое с есть а». Каждое выражение с кванторами, например ПсКАсЬАса,состоит из трех частей: первой части, в нашем примере 2, являющейся всегда квантором; второй части, в данном случае с — переменной, связанной предшествующим квантором; третьей части, в данном случае КАсЪАса, всегда являющийся пропорциональным выражением, содержащим как связанные квантором, так и свободные переменные.

Ставя 2с перед КАсЬАса, мы тем самым указываем, что свободная переменная с в последней формуле становится связанной. Можем выразить это короче: 2 (часть пер-вая) связывает с (часть вторая) в КАсЬАса (частьтретья).

Правила для кванторов существования уже были установлены в параграфе 19. На строках вывода я обозначаю через 2i правило, разрешающее нам ставить 2 перед антецедентом, а через 22 — правило, разрешающее ставить 2 перед консеквентом истинной импликации.

Доказательство обращения посылки I

Положения, принимаемые за истинные без доказательства:

СIabZcКАсЬАса

CLcKAcbAcalab

Положения (1) и (2) могут быть использованы как определение посылки I:

CKpqKqp(коммутативный закон конъюнкции)

pjAcb, q/AcaX (4)

CKAcbAcaKAcaAcb

22с X (5)

CKAcbAcaLcKAcaAcb

ZlcX(6)

CZcKAcbAcaZcKAcaAcb

ТІ. CCpqCCqrCpr(закон гипотетического силлогизма)

ТІ. pjlab, q/lcKAcbAca, rjlcKAcaAcbX XC(l)-C(6)-(7)

ClablcKAcaAcb

(2) bja, albX (8)

ClcKAcaAcblba Tl. pllab, qjlcKAcaAcb, rjlbaX C(7)-C(8)-(9) (9) Clablba

Строки вывода показывают, что (4) и (8) являются результатом, полученным из других положений лишь с помощью подстановки, а (7) и (9) — с помощью подста-новки и двукратного применения правила отделения. По этому образцу читатель может попытаться самостоятельно построить доказательство модуса Darapti, что не представляет трудности.

Доказательство модуса Bocardo

(Переменные Р, Rи 5, употреблявшиеся в параграфе 19, должны быть переименованы, так как соответствующие строчные буквы р, г и 5 заняты для обозначения пропозициональных переменных: поэтому напишем dвместо Р, а — вместо Р, Ь — вместо S.)

Положение, принимаемое без доказательства:

CObdlcKAcbEcd.

Два силлогизма берутся в качестве посылок:

CKAcbAbaAca (Barbara)

CKAcaEcdOad (Felapton)

Тб. CCKpqrCCKrstCKKpqst

Это — «синтетическая теорема», приписываемая Аристотелю.

Тб. p/Acb, q/Aba, г/Аса, s/Ecd, t/OadXC(16)— _C(17)-(18)

CKKAcbAbaEcdOad

T7. CCKKpqrsCKprCqs(вспомогательное положение) Т7. p/Acb, qlAba, rIEcd, siOadXC(18) —(19)

CKAcbEcdCAbaOad

27c X (20)

ClcKAcbEcdCAbaOad

Tl.

Tl. plObd, qfLcKAcbEcd, r/C AbaOad X C(15)— — С(20) — (21)

CObdCAbaOd

Это — импликативная форма модуса Bocardo. Если мы. желаем иметь обычную конъюнктивную форму этого модуса, мы должны применить к (21) так называемый закон импортации:

Т8. CCpCqrCKpqr

Т8. p/Obd, q/Aba, r/OadX С (21) — (22)

CKObdAbaOad (Bocardo)

С помощью так называемого закона экспортаций:

T9. CCKpqrCpCqr,

который является обратным по отношению к закону им-портации, мы можем вновь получить импликативную форму модуса Bocardo из его конъюктивной формы.

Правила для кванторов общности, подобные правилам для кванторов существования, изложены в параграфе 19. Квантор общности может быть поставлен перед антецедентом истинной импликации при всех условиях, связывая встречающуюся в антецеденте свободную переменную, однако перед консеквентом истинной им-пликации квантор общности ставится только при том условии, если переменная, связанная в консеквенте, не встречается в качестве свободной переменной в антецеденте. Первое из этих правил я обозначаю через Ш, второе — через 112.

Отметим два правила, вытекающие из приведенных выше основных правил для квантора общности: во-первых, разрешается (с помощью правила Ш и закона упрощения) ставить квантор общности перед истинным выражением, связывая встречающиеся в нем свободные переменные; во-вторых, разрешается (с помощью правила Ш и закона тождества для предложений) опускать квантор общности, стоящий перед истинным выражением. Способ выведения этих правил я поясню на примере закона обращения посылки I.

Из закона обращения

(9) Clablba следует выражение с кванторами

TlaUbCIablba,

а из выражения с кванторами (26) снова следует бескванторное выражение закона обращения (9).

Во-первых, из (9) следует (26)

Т10. CpCqp(закон упрощения)

Т10. р/ClablbaX С (9) — (23)

CqCIablba.

К этому положению мы применим правило Ш, связывающее bи затем а, так как ни а, ни bне встречаются в антецеденте:

112Ь X (24)

CqUbCIablba

П2а X (25)

CqUaUbCIablba

qlCpCqpX СТ10 — (26)

UaUbCIablba.

Во-вторых, из (26) следует (9):

Т5.

Т5. p/CIablbaX (27)

CCIablbaCIablba.

К этому положению мы применим правило П/, связывающее bи затем а:

ШЬ X (28)

CUbCIablbaCIablba

IllaX (29)

CUaTLbCIablbaCIablba

X С (26) -(9)

(9) Clablba

Аристотель утверждает: «Если некоторое а есть Ь, то необходимо, чтобы некоторое bбыло а». Выражение «необходимо, чтобы», по моему мнению, может здесь иметь только один смысл — невозможно найти такие значения переменных а и Ь, которые, удовлетворяя антецеденту, в то же время не удовлетворяли бы кон- секвенту. Другими словами, это значит: «Для всякого а и для всякого Ь, если некоторое а есть Ь, то некоторое Ъ есть а». Это и есть наше положение с кванторами (26). Было доказано, что это положение эквивалентно бес-кванторной форме закона обращения «Если некоторое а есть Ь, то некоторое bесть а», которая не содержит признака необходимости. Так как силлогистическая необходимость эквивалентна квантору общности и может быть опущена, то и квантор общности может быть опущен, когда он стоит перед истинной формулой.