§ 33. Арифметическая интерпретация силлогистики
В 1679 году Лейбниц дал арифметическую интерпретацию аристотелевской силлогистики; интерпретация заслуживает нашего внимания как с исторической, так и с систематической точки зрения .
Это изоморфная интерпретация. Лейбниц не знал, что аристотелевская силлогистика может быть аксиоматизирована; он ничего не знал и об отбрасывании и его правилах. Он только проверил несколько законов обращения и не-сколько модусов силлогизма, для того чтобы убедиться в том, что его интерпретация не была ошибочной. Поэтому кажется простым совпадением то обстоятельство, что его интерпретация удовлетворяет нашим принятым аксиомам 1—4, аксиоме отбрасывания *59 и правилу Слупецкого. Приходится только удивляться, что его философская интуиция, руководившая им в его исследованиях, дала такой глубокий результат.Лейбницевская арифметическая интерпретация основывается на соответствии между переменными силлогистики и упорядоченными парами взаимно простых натуральных чисел К Например, переменной а соответ-ствуют два взаимно простых числа, скажем и а2, переменной bсоответствуют два других, также взаимно простых числа, скажем Ь\ и Ь2. Посылка АаЬ истинна тогда и только тогда, когда а\ делимо на 6i и а2 делимо на Ъ2. Если хотя бы одно из этих условий не удовлетворяется, то АаЬ ложно и, следовательно, истинно NAab. Посылка labистинна тогда и только тогда, когда а{ и Ь2взаимно просты и а2 и Ъ\ взаимно просты. Если хотя бы одно из этих условий не удовлетворяется, то labложно и, следовательно, истинно NIab.
Можно легко увидеть, что наши принятые аксиомы 1—4 верифицируются. Аксиома 1, Ааа, верифицируется, так как любое число делимо на самого себя. Аксиома 2, /аа, верифицируется, так как предполагается, что два числа, соответствующие а, а\ и а2, являются взаимно простыми. Аксиома 3, модус Barbara CKAbcAabAac также верифицируется, поскольку отношение делимости транзитивно.
Аксиома 4, модус Datisi CKAbcIbalac также верифицируется, так как если Ь\ делимо на с\, Ь2 делимо на с2) Ъ\ и а2 взаимно просты, так же как Ь2 и аь тогда а\ и с2 должны быть взаимно простыми, так же как и а2 и с\. Ибо если а\ и с2 имеют общий множитель, больший чем 1, а{ и Ъ2 также должны иметь тот же самый общий множитель, поскольку Ь2делится без остатка на ?2. Однако это противоречит предположению, что ах и Ь2 взаимно простые. Тем же самым путем мы доказываем, что а2 и сх должны быть .взаимно простыми.Легко также показать, что аксиома *59 СКАсЬАаЫас должна быть отброшена. Возьмем в качестве примера следующие числа:
15, b і = 3, ?1= 12,
а2 =¦ 14, Ь2 = 7, с2 = 35.
АсЬ истинно, так как ?1 делимо на bь а ?2 делимо на
62; АаЬ также истинно, так как а\ делимо на Ь\, а а2
делимо на Ь2\ но заключение lacне истинно, так как ахи с\ не являются взаимно простыми числами.
Более сложна проверка выполнимости правила отбрасывания Слупецкого. Поясним этот вопрос с по-мощью примера. Возьмем в качестве отбрасываемых положений
(*1) CNAabCNIcdCIbdNAad
и
(*2) CNIbcCNIcdCIbdNAad.
Из них мы получаем, по правилу Слупецкого,
*C/VaT, *C7VpT-* *CNaCN$y, третье отбрасываемое выражение:
(*3) CNAabCNIbcCNIcdCIbdNAad.
Выражение (1) опровергается, например, с помощью следующего набора чисел:
| ах = 4, bt =7, Сі= 3, di= 4,
1 а2 = 9, 62 = 5, ?2 = 8, d2= 3.
Легко можно показать, что, согласно этой интерпре-тации, АаЬложно (так как 4 не делится на 7) и, следовательно, NAabистинно; ledложно (так как ?2 и d2не являются взаимно простыми) и, следовательно, А/Уо/ истинно; Ibdистинно (так как обе пары чисел—Ь\ и d2, b2и d\— взаимно простые); но NAadложно, потому что Aadистинно {ах делимо на dxи а2 делимо на d2). Все антецеденты истинны, а консеквент ложен; следовательно, выражение (1) опровергается.
Тот же набор чисел не опровергает выражение (2), потому что Ibcистинно (так как обе пары чисел Ьх и ?2, и Ь2 и ?1 взаимно простые), а следовательно, NIbc ложно. Но если антецедент импликации ложен, вся импликация истинна.
Для того чтобы опровергнуть выражение (2), мы должны взять другой набор чисел, например следующий:.gv | Яі = 9, bi= 3, Сі =8, Ch = 3,
I ^2 = 2, b2 =2, ?2 = 5, d2 =2.
В соответствии с этой интерпретацией все антецеденты выражения (2) истинны, а консеквент ложен; выражение поэтому опровергается. Но этот второй набор чисел не опровергает выражения (1), потому что АаЬ истинно, а следовательно, NAabложно, а ложный антецедент обеспечивает истинность импликации. Поэтому ни (4), ни (5) набор не опровергает выражения
, которое содержит как NAab, так и NIbc.
Существует общий метод, позволяющий нам опровергнуть выражение (3), когда опровергнуты выражения (1) и (2) К Во-первых, мы выписываем все простые числа, которые составляют наборы чисел, опро-вергающие (1) и (2). Мы получаем для (1) серию 2, 3, 5 и 7, а для (2) — серию 2, 3 и 5. Во-вторых, мы замещаем числа второй серии новыми простыми числами, отличными от простых чисел первой серии, например 2 на И, 3 на 13, 5 на 17. Таким образом, мы получаем новый набор чисел:
Г аг= 13.13, ^ = 13, <4=11.11.11, di=13,
(6)\а2 = 11, Ьг= П, с2= 17, rf2=ll.
Этот набор также опровергает (2), поскольку отношение делимости и свойство быть простым числом сохраняются и после описанных замещений. В-третьих, мы перемножаем числа соответствующих переменных, встречающиеся в наборах (4) и (6). Таким образом, мы получаем новый набор:
1^ = 4.13.13, Ьх= 7.13, <4 = 3.11.11.11, at = 4.13,
*7)\ 02 = 9.11, д2 = 5.11, С2 = 8.17, а2= 3.11 .
Этот набор опровергает (3). Так как, очевидно, во-первых, что если посылке Aefили Iefсоответствует набор чисел
Єї, є%, fi,/2; в\взаимно простое с е2, f1 взаимно простое с /2, и найдется другой набор чисел:
e've2,f[,f2'e[взаимно простое с е', f[взаимно простое с
каждое из которых является простым числом, отличным от чисел первого набора, — тогда произведение ех на е[, то есть е\-е[9 должно быть взаимно простым с про-изведением е2 на е'ъ го есть с е2a f\-f[должно быть взаимно простым с /2 • /2 - Во-вторых, если Aefверифицируется с помощью первого набора, то есть если ех делимо на fuа е2 делимо на /2, и то же самое верно относительно второго набора, так что е[ делимо на f'l9а в2 делимо на то тогда ех-е[ должно быть делимо на и е2.
е'2 должно быть делимо на /2• /2* Еслиже Iefверифицируется с помощью первого набора, то есть ех взаимно простое с /2, а е2 взаимно простое с fx, и то же самое верно относительно второго набора, так что ех взаимно простое с f'2и е'2 взаимно простое с f[yто тогда ех *е' должно быть взаимно простым с /2 • f'2>и е2 • ^2 должно быть взаимно простым с fx-f[,поскольку все числа второго набора взаимно просты числам первого набора. . Напротив, если хотя бы одно из условий делимости либо простоты не удовлетворено, то соответствующие посылки должны быть ложными. На нашем примере можно убедиться, что Aadи NIcd верифицируются с помощью (7), так как они верифицируются с помощью (4) и (6), a Ibcопровергается с по- 'мощью (4) и (6), а следовательно, также и с помощью (7). АаЬ опровергается лишь с помощью (4) (но этого достаточно, чтобы опровергнуть его с помощью (7)), а Ibcопровергается только с помощью (6) (но этого также достаточно, чтобы опровергнуть его с помощью
. Эта процедура может быть применена к любому случаю такого рода, и, следовательно, правило Слупецкого верифицируется с помощью лейбницевской интерпретации.
Лейбниц однажды сказал, что научные и философские споры могли бы всегда разрешаться с помощью вычисления. Мне представляется, что его знаменитое «вычислим» (calculemus) связано скорее с арифметической интерпретацией силлогистики, чем с его 'идеями математической логики.