ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСТРАКТНОЙ ГРУППЫ  

История групповых структур уходит в глубь веков: уже в арифметике целых чисел содержится группа (например, по сложе&нию). В XVIII - первой половине XIX в. появляются систематиче&ские описания иных конкретных групп (конечных групп различно&го порядка, групп симметрии, групп подстановок). Определяющим для возникновения теории групп считается 1846 год - год публи&кации главных работ Эвариста Галуа, выполненных еще на рубе&же 20-30-х годов.

В современной литературе обычно используются два следую&щих определения группы.

Пусть задано произвольное множество элементов М, замкну&тое относительно определенной на нем единственной бинарной операции (будем обозначать ее знаком « + », то есть определять, как говорят, аддитивную группу).

Определение /: 1) операция + ассоциативна: (а + Ь) + с = = а + (Ь + с) для любых а, Ь, с из множества М\ 2) в М существует такой элемент, называемый нулем, что а+0 = 0 + я = а для любого а є М; 3) для любого элемента а є М существует ему обратный, т.е. такой элемент -а є М, что а + (-а) = (-а) + а = 0.

Определение II: 1) операция + ассоциативна; 2) для любых двух элементов а,ЬпзМ существует в М такой однозначно опре&деленный элемент х и такой однозначно определенный элемент у, что а + х = Ь, у + а = b (т.е. выполнима обратная операция и, на&пример, x = b-a>y = b-a). Если групповая операция коммутатив&на, то х = у, и группа называется коммутативной или абелевой.

Эти определения равносильны, т.е. каждое предложение, вхо&дящее в одно из определений, является следствием другого опре&деления. Как мы отмечали выше, у Грассмана присутствует абст&рактная коммутативная группа над произвольными элементами («мыслительными формами»), задаваемая определением II.

Мы можем считать, что определение группы задается у Грасс&мана:

1. законом ассоциативности;
2. равенством (a u b) п b = а,              (1)

вводящим обратную операцию;

3. равенством (а п Ь) и b = а,              (2)

обеспечивающим ее однозначность.

Таким образом, в изложении Грассмана мы имеем группу в смысле определения II. В последующем изложении он доказывает предложения, входящие в определение I. А именно с помощью ана&литической процедуры Г. Грассман получает «неопределенную» и «аналитическую» формы. Форма вида а и а, согласно его «Очер&ку», представляет собой «неопределенную» форму, значение кото&рой не зависит от а. В самом деле, рассмотрим две формы: аи а и bKj Ь, для произвольных д, by и покажем, что они равны.

Из (1) следует (Ь и b) n b = b. Но поскольку (a u a) n b = b n (a u а) = (ft п д) u a = b, мы получаем (a u = (b u b)b. Тогда из однозначности аналитической проце&дуры (правило II) получается, что a u а = b и Ь. Таким образом, неопределенная форма единственна; она обозначается Грассма- ном знаком

Форма ^ есть нуль группы, так как для любого а им доказа&но, что              =              = аддитивной записи это означает п. (2) определения I.

Далее Г. Грассман вводит «аналитическую» форму для произ&вольного элемента я, обозначаемую им поначалу через потом через и а\ элемент и а оказывается обратным в группе элементу а. В силу этого мы имеем следующие равенства: a-a\j^ya-ar\^-^r\a (последнее дает п. (2) определения I). Кроме того, им отмечается, что непосредственно можно доказать равенства п (и а) = и а> и (и а) = п а (п а есть сокращение для ^ п а). На последнее равенство мы можем смотреть как на п. (3) определения I: ^ п (и а) = и я, откуда ^ = (иа)и(иа) = (иа)Пй = оп(и а).

Необходимо еще принять во внимание слова Г. Грассмана о том, что если синтетическое связывание представляет собой сло&жение, то аналитическую форму можно называть отрицательной формой, а неопределенную - нулем. Тогда мы с полным правом можем считать, что у Грассмана сформулирована система посту&латов (коммутативной) группы в виде определения I.