ПОНЯТИЕ КВАЗИГРУППЫ.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Следующий важный шаг, который Г. Грассман делает в своей «теории форм», - это введение операции, являющейся обратной относительно исходного связывания и обозначаемой знаком и. Она, как мы знаем, получает у него название «аналитического со&единения», «аналитической процедуры» или просто «анализа», в то время как исходная - прямая - операция отныне именуется «синтетической» или «синтезом». Напомним характеристику «анализа». «Аналитическая процедура состоит в том, что по ре&зультату соединения и одному из его членов отыскивается другой. Поэтому с произвольным соединением могут быть связаны про&цедуры двух родов, смотря по тому, что отыскивается, - предше&ствующий или последующий член; процедуры обоих родов дают один и тот же результат, когда оба члена исходного соединения перестановочны». При этом не предполагается ни ассоциативно&сти, ни коммутативности синтеза: обратной может быть и опера&ция, прямая к которой не коммутативна (это приводит к понятию абстрактной группы) и даже не ассоциативна. Последнее допуще&ние порождает, в современных терминах, понятие (абстрактной) квазигруппы как множества всех «форм», на котором определена бинарная операция, для которой существуют две ей обратные[163].
Г. Грассман, однако, не встает на путь этих, более общих иссле&дований полугрупп и квазигрупп, только подразумевая их возмож&ность. Он исходит из предположения, что исходное синтетическое связывание просто (то есть ассоциативно и коммутативно) и извле&кает из этого допущения ряд производных свойств, характеризую&щих операции п и и и их взаимоотношения. Именно с этого мо&мента «теория форм» Г. Грассмана приобретает особенный логи- ко-методологический и историко-математический интерес.
Вернемся к грассмановскому «анализу». Способ введения «аналитического связывания» по данному синтетическому имеет следующий вид. Обозначим «разыскиваемый» член синтетиче&ского связывания, если он предшествует знаку п, через х, а если он следует за ним, то через у.
Таким образом, мы имеем:
1)хпЬ = аи2)спу = а.
Если операция синтеза коммутативна, a b и с - одинаковые фор&мы, тол: п b = у п b = а. Получается, что разыскать х по данным а и b - это все равно, что разыскать у по тем же а и Ь.
Поскольку при записи найденного результата важен и вопрос о порядке для форм а и ft, Г. Грассман вводит условие: при анали&тическом связывании в качестве предшествующего члена должен выступать результат синтетического связывания, являющийся за&данным. Это условие дает возможность согласовать «анализ» с «синтезом» так, что аналитическая процедура в случае арифмети&ки целых чисел оказывается обычной операцией вычитания. От&сюда следующее определение «аналитического связывания» (§ 5): a u b означает такую форму, которая в синтетическом связыва&нии с b дает а, так что можно записать:
Затем следует дальнейший шаг (§ 6): Г. Грассман вводит «но&вое допущение» о том, что результат аналитического или разре&шающего (как он его еще называет) связывания должен быть од&нозначен; это утверждение означает, «иначе говоря, что если один член синтетического связывания остается неизменным, а другой изменяется, то обязательно изменяется результат».
Это утверждение наполняется реальным содержанием, если его прочитать как логический переход
a*b\- anc*bnc, (I)
или, что по существу то же самое, как правило
anc = bnc\- a = b\ (II)
поскольку с, в силу коммутативности операции п, можно поме&нять местами с а и Ь, мы имеем также правило: с Г\ а - с rsbY а^Ь.
Теперь нетрудно убедиться в том, что из (II) вытекает одно&значность анализа. Если д: n b = у n b = д, то из (II) следует, что jc = у. И «решая уравнения» хГ\Ь = аиупЬ = а по отдельности, мы приходим к тому, что х и у имеют один и тот же вид а и Ь.
В самом деле.
Возьмем в определении (I) в качестве а форму&лу a n b и запишем ((a n b) u b) n b = а п Ъ. Применив правило
Явная формулировка правила (II) делает ясным и смысл ут&верждения Г. Грассмана о том, что из однозначности анализа вы&текает то, что
(II) к последнему равенству, получаем (2). Если приравнять равен&ства (1) и (2), то мы получим равенство
(avb)nb = (anb)vb. (3)
А на этой основе открывается возможность доказать однознач&ность синтетической связи в виде двух упомянутых выше правил:
anc = bnc\~a = b, cna = cnb\-a = b
(см. выше правило (II)). В силу коммутативности синтеза доста&точно доказать любое из них, например, первое. Доказательство имеет вид:
а = (а и с) п с в силу (1)
= (а п с) и с в силу (3)
= (Ьг\ с) и с в силу посылок правила II
= b в силу (2).
Таким образом, в предположении однозначности анализа син&тез не может быть неоднозначным. Это делает понятным, поче&му Г. Грассман может не оговаривать соответствующее свойство прямой операции[164].
Еще по теме ПОНЯТИЕ КВАЗИГРУППЫ.
ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
:
- Глава III. Пути и средства увеличения вывоза наших товаров и уменьшения нашего потребления иностранных товаров