ГРУППОВЫЕ И РЕШЕТОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ МЫШЛЕНИЯ
Как известно, исходная логическая система, выражающая свойства «правильного мышления», - пропозициональная логика алгебраически передается дистрибутивной решеткой с дополне&ниями, или булевой алгеброй. В «Общем учении о формах» Герма&на Грассмана решетки нет - путь к ней закрывается, как только вводится группа. Возникает вопрос: существуют ли такие аспекты логического мышления, которые описываются в терминах группы. Положительный ответ на него означал бы обогащение наших представлений о путях формализации мыслительных процедур. И он пришел, причем как со стороны математики, так и со стороны психологии. В фундаментальных теоретико-групповых исследова&ниях математика, физика и философа Германа Вейля был раскрыт аспект теории групп, строящийся на идее симметрии. Последняя, с одной стороны, выступает в качестве той идеи, с помощью кото&рой «человек на протяжении веков пытался постичь и создать по&рядок, красоту, совершенство», а с другой стороны, которая вели&колепно демонстрирует «как работает математическое мышле&ние»[166]. Сказанное Германом Вейлем, однако, касается не только мышления в математике, но логического мышления вообще. Это стало ясно после работ психолога и философа Жана Пиаже, разра&ботавшего концепцию логико-психологического представления интеллекта в терминах «группировок»[167]. В ее рамках симметрия, за&ключающаяся в системе пропозициональных логических операций интеллекта на завершающей стадии его формирования у личности, получает выражение в алгебраической структуре, являющейся коммутативной группой четвертого порядка. Группа эта состоит из элементов множества М - {N, R, D. /}, которые представляют со&бой следующие преобразования функций алгебры логики (булевой алгебры): отрицание функции, ее «реципрокцию» (состоящую в замене аргументов их отрицаниями), дуализацию функции и (тож&дественное) преобразование, оставляющее функцию без измене&ния. Пиаже рассматривал функции от двух и трех аргументов, но отмечал, что N, R, D и / определены и для прочих булевых функ&ций. Швейцарский психолог в области логики сотрудничал с мате&матическим логиком Э. Бетом и мог быть уверен в правильности своих выводов. И действительно, демонстрация того, что эти груп&повые элементы определены для функций от произвольного ко&нечного числа аргументов, не составляет труда. Групповой опера&цией при этом оказывается суперпозиция названных преобразова&ний, т.е. последовательное применение двух преобразований к не&которой булевой функции. Нетрудно убедиться, что группа Пиаже удовлетворяет постулатам грассмановского определения группы и что в ней NnR = D,NnD = R,RnD = N, а обратная операция и и совпадает с прямой п. Интересно, что возможны и иные теоре- тико-групповые характеристики логики высказываний; например, можно показать (К.И. Бахтияров), что функции алгебры логики (от двух аргументов) образуют группу восьмого порядка.
Формулировка законов логики, как известно, зависит от хара&ктера используемого логического аппарата. Он, конечно, не обя- зан быть алгебраическим, а может быть, например, построен в виде аксиоматической системы гильбертовского типа, как нату&ральное либо секвенциальное исчисление и др. Во всех этих по&строениях - мы имеем в виду классическую пропозициональную логику, за рамки которой Грассманы не выходили, - можно выде&лить «группу Пиаже» либо ее аналоги и вариации[168]. Да и в «тради&ционной» схеме логического квадрата, выражающего взаимоот&ношения между общими и частными, утвердительными и отрица&тельными субъектно-предикатными суждениями аристотелев&ской логики содержится группа четвертого порядка. Но когда ны&не говорят об алгебраическом «образе» пропозициональной ло&гики, обычно имеют в виду не группу, а решетку.
Решетка как алгебраическая структура в определенном смыс&ле альтернативна группе, так как в решетке имеются две опера&ции (а не одна, как в группе), и каждая из них обладает таким не&обычным для многих алгебраических структур свойством, как идемпотентность.
И тут мы должны перейти от «учения о фор&мах» Германа Грассмана к носящему то же название учению его брата Роберта. Ибо он считал упомянутую идемпотентность ха&рактеристическим признаком логики.
Ход мысли Р. Грассмана иной, нежели его старшего брата: от (коммутативной) полугруппы он переходит не к группе, а к дист&рибутивной решетке. Этот факт был отмечен нами в Коммента&риях к его «Логике» 1872 г. Здесь мы осветим вопрос с иной сто&роны. Можно показать, что из логико-алгебраических построе&ний Р. Грассмана нетрудно извлечь определение решетки как та&кого частично упорядоченного множества «форм» (в логике: по&нятий) - то есть объектов, для которых определено отношение - в котором для двух любых форм существует тонная верх&няя и точная нижняя грани. Они задаются соответственно опера&циями сложения (в логике - объединения классов) и умножения (в логике - пересечения классов). Неравенства а - b & a, ab & Ь, a^a + b,b^a + b доказаны в его «Логике» 1872 г., а правила ло&гического перехода
a<c,b<c с<а,с<Ь а+Ь<с [169] c<ab
Рис.
1.
1 - свойство ассоциативности операции П; 2- обратные операции a C\x = b\x = bU а, yC\a = b;y = bfa а\Ъ- свойство коммутативности операции П; 4 - свойство ассоциатив&ности операции П; 5, 6 - операции, обратные для П; 7 - свойство коммутативности опе&рации П; 8 - две бинарные операции О, G; свойства дистрибутивности; 9 - структура <Af, =, О, О > и дополнения; 10 - вторая бинарная операция п, два связывающие их свойст&ва дистрибутивности; 11 - ассоциативность операции , 12 - отсутствие коммутативности
операции fb ; 13 - коммутативность операции fb , М - множество целых чисел. Характер переходов 11, 12 и 13 станет ясен из последующего изложения.
легко получить его средствами, логический же их смысл раскры&вается, если прочесть <, как включение класса (объема понятия) в класс. Действительно, если произвольные классы a, b включают&ся каждый в класс с, то ясно, что в класс с включается и объеди&нение классов а и Ь; и если какой-то класс с включается как в класс а, так и в класс Ь, то ясно, что класс с включается в пересе&чение классов аи Ь.
Известно, что в логике высказываний большую роль играет операция материальной импликации: в ее терминах, например, обычно доказывается столь важное при аксиоматическом по&строении этой логики предложение, как теорема о дедукции. В каком виде, спрашивается, присутствует в грассмановском ло&гическом учении импликация? Ответ на этот вопрос приводит к выводу, с которым Р. Грассману, наверное, было бы трудно согла&ситься. Дело в том, что он категорически настаивал, что в логике не может быть обратных операций. Но определенная им дистри&бутивная решетка с дополнениями, в которой были наибольший («всеобщность», Т) и наименьший (нуль) элементы, была решет-
кой импликативной: в ней определяема операция, в известном смысле обратная операции умножения, - операция деления в ре&шетке. Впрочем, такая решетка оказывается булевой алгеброй.
Систему алгебраических структур, предвосхищенных либо разработанных Грассманами, можно передать схемой, представ&ленной на рис. 1. Запись <М, = , п> означает, в современных тер&минах, алгебраическую структуру (реляционную систему), назы&ваемую группоидом; М есть носитель структуры - совокупность «мыслительных форм», на которой определена единственная би&нарная операция п и отношение равенства форм. Блоки, изобра&женные с помощью сплошных линий, соответствуют структурам, постулаты которых были непосредственно сформулированы на языке «теории форм»; блоки, изображенные с помощью пунк&тирных линий, - структуры, существование которых было выра&жено Грассманами в описательной форме, неявно. Стрелки зану&мерованы, при номерах указаны вводимые операции и их свойст&ва, то есть то, что влечет переход от одной структуры к другой.
Еще по теме ГРУППОВЫЕ И РЕШЕТОЧНЫЕ СТРУКТУРЫ МЫШЛЕНИЯ
:
- Понятия групповых неповиновений, массовых беспорядков осужденных и лиц, содержащихся под стражей. Классификация групповых неповиновений. Характеристики и причины групповых неповиновений
- 18. Групповые формы психокоррекции: понятие групповой динамики. Принципы и правила работы в группе.
- Структура процесса мышления
- 28. Качества мышления и структура интеллекта
- 27. Роль групповой дискуссии в принятии групповых решений
- 51. Философия как метод мышления и наука о мышлении (логика).
- Виды нарушений мышления при разных психических расстройствах.Патопсихологические методики исследования мышления.
- 69. Философия как наука о мышлении и самый общий метод мышления.
- 52. Два вида мышления: рассудочное и разумное. Две науки о мышлении: формальная логика и логика философская (содержательная).
- 3.В чем заключается основная отличительная особенность мышления человека от мышления животных?