§ 52. Некоторые дальнейшие проблемы

Хотя аксиомы и правила вывода нашей четырехзначной системы модальной логики совершенно очевидны, некоторые следствия этой системы могут выглядеть парадоксальными. Мы уже встретили парадоксальное поло-жение, что отрицание случайного предложения также случайно; в качестве другого положення этого рода я могу привести закон «двойной случайности», согласно которому истинны следующие формулы:

QpXXpи 91.

Проблема состит в том, чтобы найти такую интерпретацию этим формулам, которая была бы интуитивно удовлетворительна и объясняла бы их кажущуюся необычность. Вскоре после того, как стало известно классическое исчисление предложений, возникла горячая оппозиция, направленная против некоторых его принципов, особенно против CpCqpи CpCNpq, которые воплощают два логических закона, известных еще средневековым логикам и сформулированных ими в следующих словах: «Verum sequitur ad quodlibet u Ad falsum sequitur quodlibet» .Как мне представляется, эти принципы теперь общеизвестны.

Во всяком случае, наша модальная система не находится в этом смысле в худшем положении, чем другие системы модальной логики. Некоторые из них содержат такие интуитивно неочевидные формулы, как:

*92. QMNMpNMp,

где проблематическое предложение «Возможно, что р невозможно» эквивалентно аподиктическому предложению «Невозможно, что р». Вместо этой странной формулы, которая должна быть отброшена, мы имеем в нашей системе положение

QMNMpMNp, которое вместе с

QMMpMp

позволяет нам свести все комбинации модальных функторов, состоящие из М и А, к четырем несводимым комбинациям, известным Аристотелю, а именно М = возможно', NM = невозможно, MN = ненеобходимо и NMN = необходимо.

Вторая проблема касается расширения четырехзначной модальной логики в более высшие системы. В качестве примера может служить восьмизначная система.

Мы получаем матрицу М16 этой системы, умножая матрицу М9 на матрицу Ml. В качестве элементов новой матрицы мы образуем пары значений: (/,/) = Л

=2, (2,1) =3, (2,0) =*4, (3,1) =5, (3,0) =6, (0,1) =7, (0,0) =0, а затем определяем значения истинности С, Nи М согласно равенствам (у), (z)и (а).

Цифра 1 обозначает, как обычно, истину, 0 — ложь, а другие цифры составляют промежуточные значения между истиной и ложью. Если мы внимательно рассмотрим матрицу М16, то обнаружим, что вторая строка колонки С идентична колонке М. Следовательно!, эта строка представляет матрицу возможности. Таким же образом все другие строки колонки С, за исключением первой и последней, представляют некоторые виды возможностей. Если мы обозначим их символами от М2 до М7 включительно, мы сможем констатировать, что Miпри 2 <; і<; 7 удовлетворяет всем аксиомам возможности, а именно:

CpMip, *96. СМірр, *97. Мір.

Среди этих различных видов возможности имеются некоторые «более сильные» и некоторые «более слабые», потому что мы имеем, например, СМ2рМ*р или СМзрМ6р, но не обратно. Поэтому мы можем сказать, что в восьмизначной модальной логике существуют возможности разных степеней. Я всегда думал, что только две модальные системы обладают возможным фило-софским и научным значением: простейшая модальная система, в которой возможность рассматривается как вообще не имеющая степеней, то есть наша четырехзначная модальная система, и &0-значная система, в которой имеется бесконечно много степеней возможности. Было бы интересно исследовать дальше эту про-блему, так как мы можем найти здесь связующее звено между модальной логикой и теорией вероятностей.