«УЧЕНИЕ О ВЕЛИЧИНАХ» РОБЕРТА ГРАССМАНА: ИСТОКИ, СТАНОВЛЕНИЕ, ОБОСНОВАНИЕ, СТРУКТУРА. ОПОРА НА ИДЕИ ЛЕЙБНИЦА
Большая внематематическая деятельность Р. Грассмана в 60-х годах отнимала у него слишком много времени, чтобы он мог осуществить ту часть выработанной вместе с братом программы, которую взял на себя.
По собственному признанию Р. Грассмана, к научной работе в области математики и логики он вернулся только в 1870 г. И уже через короткий срок - в 1872 г. - в его из&дательстве выходит труд, в котором замысел построения основ математического знания в терминах «форм» (величин в широком смысле), ограниченного набора бинарных операций, а также от&ношения равенства, лишь в общих чертах заложенный в работе старшего брата 1844 г., получил развернутую реализацию. Мы имеем в виду сочинение Роберта Грассмана под общим названием «Учение о формах, или Математика». Сочинение это состояло из пяти книг. Первая включала в себя - в основных разделах - изло&жение общей теории величин. Далее следовали книги: «Учение о понятиях, или Логика»; «Учение о соединениях, или Комбинато&рика»; «Учение о числах, или Арифметика»; и, наконец, «Учение о внешнем, или Учение о протяженностях». Такой состав труда 1872 года отражал тогдашние представления братьев Грассманов о строении современного им точного знания: о наличии в нем пя&ти частей, из которых базисной признавалось «общее учение о ве&личинах», а остальные четыре считались его ответвлениями. Для истории и методологии науки значимы все эти книги, однако для философии и логики интерес представляют первые две, перевод которых и предложен нами читателю. Хотя сам Р. Грассман в по&следующих сочинениях на эту тему и характеризовал изложение учения о величинах в труде 1872 г. как «очень несовершенное», - о том, в чем он видел это несовершенство, будет сказано ниже, - тем не менее именно этот труд, несмотря на его краткость, сле&дует считать наиболее важной грассмановской публикацией по общей теории величин. Ибо хотя «учение о величинах» было впоследствии видоизменено и существенно расширено его авто&ром, что нашло отражение в более подробном изложении во вто&рой половине тома I «Системы знания» 1890 года, а также - в бо&лее кратком виде - в вышедшей в том же году грассмановской «Логике», тем не менее основной замысел (общей) теории вели&чин, как он был выработан Р. Грассманом в 1870 г., оставался не&изменным.Как явствует из сказанного нами ранее, «учение о величинах» (включая его «ветви») можно считать попыткой развернутой конкретизации того замысла «генетического»* построения мате&матики и логики как «чистого учения о формах», который был кратко обрисован Г. Грассманом во «Введении» к его сочинению 1844 г.; это обстоятельство нашло выражение уже в заголовке книги Роберта Грассмана 1872 г. - «Учение о формах, или Мате&матика» и в тексте ее «Введения»; однако, в отличие от книги брата 1844 года, Р. Грассман, начиная с «Введения в. учение о ве&личинах», почти не пользуется термином «форма», а говорит о величинах, т.е. использует понятие «величины в широком смыс&ле», фигурировавшее в упомянутом труде Г. Грассмана в качест&ве синонима термина «форма».
Учение о величинах, или «наука о соединении величин», со&ставляет, по Р. Грассману, исходную часть всей теории форм. Ис&токи соответствующей концепции, как и сам термин «учение о ве&личинах», Р. Грассман считает восходящими к Лейбницу. Во «Вве&дении в учение о величинах» он пишет:
Учение о величинах, или общая часть учения о формах, является сов&сем молодой наукой. Идею о нем впервые выдвинул Лейбниц в одном пись&ме к профессору Вагецию [Vagetius] из Гиссена в 1696 г. по Р.Х. В этом пись&ме он уже называет эту науку учением о величинах (scientia de magnitudine) - название, которое надо сохранить, поскольку оно вполне отвечает сути де&ла, - и превозносит его за то, что оно содержит простые или, лучше сказать, однозначные понятия, предложения, умозаключения; и приемы [Wege]. «Однозначные понятия, - говорит он (Лейбниц. - Б.Б., Л.Б.) в этом письме (Opera omnia, ed. Dutens. 1768, ТІ. 3, S. 338), - суть уравнения и предложения относительно величин и малостей [Kleinern]. Умозаключения или соедине&ния (связывания) суть сложение, умножение и т.п. Способ действия [Weg der Entwicklung] в конечном счете указывает, как можно получить доказатель&ство некоторого предложения или решение некоторой задачи.
Идея этой науки, если бы она была хорошо разработана каким-либо искусным чело&веком, представила бы нам общую часть |Zweig] учения о формах в качест&ве легкой и надежной ветви математики». Это слова Лейбница.Р. Грассман, таким образом, выступает как один из тех мыс&лителей, которые в XIX в. приняли философско-математическую и логико-методологическую эстафету великого немецкого фило&софа, взявшись за реализацию того, что ныне обычно именуют «программой Лейбница»[64]. «Лейбницевский мотив» настойчиво звучит в работах Р. Грассмана. Обращаясь во второй части тома I своего главного труда «Система науки», выпущенной в 1890 г., а именно в помещенном в нем втором предисловии - предисловии к «Учению о величинах», к истокам своей теории, он вновь приво&дит, причем в расширенном виде, ключевое место из этого важ&ного письма. Вот цитируемый Лейбницев текст:
Я привык называть учение о величинах эскизом математической логи&ки, который другие называют логистикой. Ибо к этому учению относятся простые понятия, предложения, умозаключения и методы. Простые поня&тия суть величины, отношения между числами и составленные из них фор&мулы, например, а2, а1/2 г2, га2, а1 - Ь2. Предложения бывают предложения&ми о том, что больше, и о том, что меньше, равенствами, предложениями о сходстве или о равных отношениях. Ибо равенство с2 = а2 - Ь2 есть предло&жение, так же как и пропорция (а - b):c = с:(а - Ь). Умозаключения суть спо&собы проведения вычислений: сложение, вычитание, умножение, деление, нахождение общего делителя, извлечение корня, перестановка, обращение, соединение, разделение отношений и т.д. Наконец, метод указывает, как следует производить доказательство данного предложения или решение данной задачи[65].
Цитируя письмо Лейбница в разных работах, Грассман допус&кает разночтения. Ознакомление с латинским первоисточником показывает, что в одном случае мысли Лейбница скорее переска&зываются, чем приводятся точно, во втором же случае мы имеем дело (с не очень адекватным) переводом.
Мы не станем занимать&ся вопросом об аутентичности грассмановской немецкой передачи слов Лейбница, а также тем, в чем на самом деле состоял лейбни- цевский проект математической логики как всеобщей теории ве&личин, нашедший, как теперь хорошо известно, отражение далеко не в одном лишь его письме к Вагецию: нас интересует не Лейбниц, а Р. Грассман. Что существенно для последнего в этих Лейбнице- вых идеях? Демонстрация преемственности своих (и брата) устано- вок в истолковании «строгого знания» и хода мысли его велико&го соотечественника, а также показ неполноты замысла Лейб&ница. Преемственность видится Р. Грассману - и здесь он, без сомнения, прав - в идее такой науки, которая образует отдел, общий для всех точных наук, а неполноту - в том, что Лейбниц ограничивалучение о величинах исключительно видами вычислений, которые мы (т.е. Р. Грассман. - Б.Б., Л.Б.) причисляем к учению о числах, или ариф&метике. Учение о величинах, согласно Лейбницу, должно быть только об&щим разделом учения о числах - разделом, устанавливающим для послед&него общие законы связывания способом, сходным с тем, как им это де&лается во всех ветвях строгого знания в разработанном мною учении о ве&личинах. Но вполне вероятно, что он (Лейбниц. - Б.Б., Л.Б.) пришел бы к более общей трактовке учения о величинах, если бы действительно раз&работал эту ветвь. Причисляет же он к видам вычислений учение о про&тяженностях, так же как логику, которую он собирался строить на основе calculus philosophicus или calculus ratiocinator, так же как и учение о соеди&нениях, или учение о комбинациях, которое он называет arithmetica Ыпа- ria или arithm(etica)dyadica. Поэтому для него было бы естественным рас&сматривать свое учение о величинах также как общую часть, лежащую в основе всех ветвей строгого мышления. Поскольку Лейбниц не продви&нулся в разработке учения о величинах, то, конечно, дело у него ограни&чилось выдвижением идеи, которая - а иначе и быть не могло - была несколько туманна.
Вряд ли эта характеристика «программы Лейбница» вполне адекватна подлинному замыслу автора «Новых опытов о человеческом разуме»: лейбницевская идея calculus ratiocinator была не менее всеобъемлющей, чем грассмановская широкая интерпретация «учения о величинах». Но неразработанность замысла Лейбница составляет действительный исторический факт.
Не ясно, были ли известны Р.
Грассману - в период создания труда 1872 г. - попытки реализации «программы Лейбница», предпринимавшиеся в XVIII - первой половине XIX в. рядом ученых, в частности И.Г. Ламбертом (последний в данной связи упоминается лишь в «Логике» 1890 г.); в работах 1872 г. нет сле&дов знакомства их автора с трудами Дж. Буля и А. Де Морга&на66. Во всяком случае следующий - после Лейбница - шаг в разработке идей общей теории величин Р. Грассман связывает с работой своего отца Юстуса Гюнтера Грассмана «О понятии и объеме чистого учения о числах»[66]. Эта «гимназическая про&грамма» (оставшаяся недоступной авторам этих строк), по-видимо- му, примечательна не только тем общим воздействием, которое она оказала на братьев Грассманов, но, как можно полагать, и содержавшимися в ней конкретными положениями. Так, Р. Грассман указывает, что в этой работе развивался подход к общему понятию величины, как он, Р. Грассман, впоследствии трактовал это понятие в своем «учении о величинах»; что в ней производилось сравнение логики, учения о числах и учения о комбинациях, а также - и это особенно примечательно - содер&жалось противопоставление логических наук как «связывания по внутренним отношениям» наукам математическим как осу&ществляющим «связывание по внешним отношениям», - идея, нашедшая дальнейшее развитие в работе Г. Грассмана 1844 г. и в «разветвлениях» теории величин Р. Грассмана, о чем мы еще будем говорить.Как отмечает Р. Грассман в упомянутой работе Ю.Г. Грасс&мана ставился также вопрос о возможности общего учения о ве&личинах как исходной части всего формального знания - части, которая явилась бы основой как математики, так и логики. Однако ответ на него дается отрицательный. Переходя к труду 1844 года старшего брата, Р. Грассман подчеркивает проводив&шееся последним различение - во «Введении» (раздел А) - двух больших отделов теории «формального знания» (formell Wissenslehre): математики, или учения о формах, и диалектики, или логических наук; при этом «общее учение о формах», осно&вы которого изложены в параграфах 1-12 работы 1844 года, трактуется еще, говорит Р.
Грассман, как ветвь, общая только для математических наук. «Общее учение о формах моего бра&та, - пишет Р. Грассман, - стало быть, существенно отличается от учения о величинах (Р. Грассмана. - Б.Б., Л.Б\ поскольку последнее должно составлять общую базу как для математиче&ских, так и для логических наук».Философски окрашенное сотрудничество братьев Грассма&нов в области математики (и логики), имевшее место в 1847 и 1855-1856 гг. и плодотворное во многих отношениях, не приве- ло, однако, говорит Р. Грассман, к разработке оснований «стро&гого знания»; такую работу, по его словам, в 1870 г. осуществил он один[67]. Поначалу он, Роберт Грассман,
намеревался разработать только логику и учение о соединениях, или учение о комбинациях (...); однако в ходе работы он убедился, что обе эти... ветви, как и обе математические ветви - учение о числах и учение о протяженностях с необходимостью предполагают некоторый общий раз&дел - учение о величинах, что этот последний можно разработать без тру&да и что если его развить, то другие четыре ветви приобретут большую краткость и простоту, причем открываются неожиданные параллели и связи.
Результатом этой работы и явились пять книг, опублико&ванных в 1872 г. Р. Грассманом под общим заголовком «Учение о формах, или Математика».
Выше упоминалось, что контртитульный лист первой из этих книг оставлял читателя в неведении относительно того, почему на нем был помещен подзаголовок «часть вторая, дополнительная», что имел в виду Р. Грассман под предполагав&шейся «первой, основной» частью? Дело в том, что выпуская книги 1872 года, Р. Грассман, очевидно, намеревался ввести их содержание в общий контекст своих взглядов на «учение о нау&ке», которое он называл философией (или отождествлял с таковой). Эти взгляды, как можно полагать, тогда интенсивно им разрабатывались, что привело к публикации в 1875-1876 гг. соответствующего труда, состоявшего из четырех частей (каж&дая из них имела самостоятельное название и, по-видимому, вы&ходила отдельно)[68]. Структура этого труда согласуется с грасс- мановским подразделением «системы (здания) человеческого знания» на четыре отдела, подразделением, которому Р. Грасс&ман придавал большое значение, следуя здесь, как он считал, «примеру древнего мастера человеческой науки»[69], Аристоте&ля. Первым из этих отделов было учение о науке, которое «образует основание, фундамент всего здания [науки]; оно учит нас путям, какими человек достигает знания»[70]. Учение это, по Р. Грассману, в свою очередь, расчленяется на четыре части («ветви»), и первой из них является учение о мышлении, кото&рое «рассматривает чувственные представления и их перера&ботку с помощью языка, и учения о формах, или математики»[71]. Но и «учение о мышлении» состоит из определенных частей - их тоже четыре, - в которых изучаются: восприятия; память и воображение - процессы, благодаря которым образные пред&ставления перерабатываются в научные; язык (языки), изуче&ние которого подводит к «переработке мысли в речь»; и, в за&ключение, формы мышления (Formdenken).Теория мыслитель&ных форм - форм мышления (Formen des Denkens) завершает познание процессов образования понятий и мыслей.
В трудах 1875-1876 гг. теория мыслительных форм не полу&чила развернутого изложения (ей было отведено всего 14 стра&ниц). Для представления форм мышления здесь не использовал&ся какой-либо формальный аппарат. Во введении ко второму разделу четвертой книги части первой труда 1875-1876 гг., - разделу, носящему название «Продумывание [Durchdenken] (систематическое мышление)», Р. Грассман говорит, что он «не решился ввести учение о формах, или математику, в текст это&го труда, дабы не отпугнуть многих его читателей»[72], и предпо&чел отдельно изложить это учение в дополнительном томе; из сказанного вслед за этим явствует, что здесь имеется в виду труд 1872 года, хотя четкой ссылки на него не дается.
Каким же был общий ход мыслей Р. Грассмана при осуще&ствлении его философско-математической и логико-методоло&гической конструкции и, соответственно, какой была структура труда 1872 года, особенно первой его части, эту концепцию воплощавшего? Р. Грассман исходит, с одной стороны, из существо&вания определенных законов, характеризующих операции (связи, сочленения, соотношения величин), а, с другой стороны, из наличия в мышлении самих этих операций и соотношений - операций и соотношений, которые, в зависимости от того, ка&ковы они, могут либо подчиняться, либо не подчиняться этим законам. Это законы, относящиеся к равенству (Gleichheit) двух величин, а также законы, которые действуют в отношении бинарных операций сложения, или «прибавления» (Fugung), и умножения, или «переплетения» (Webung). Все эти законы при&надлежат общей части теории величин - ее «стволу» (Stamm), поскольку имеют силу во всех «разветвлениях» этой теории: в учении о понятиях, в арифметике, комбинаторике и «учении о внешнем» (Ausenlehre). Прежде всего это закон удаления ско&бок (Klammerauflosung), или «объединения» (Einigung), т.е., на современном языке, закон ассоциативности и закон «переста&новки» (Vertauschung), т.е. коммутативности бинарной опера&ции. При этом подчеркивается, что оба закона должны быть введены в рассмотрение поначалу в их общем виде, до рассмот&рения каких-либо операций, обладающих либо не обладающих теми или иными возможными для них свойствами. Ибо, пишет Р. Грассман, «закон объединения» может действовать в отно&шении и такой связи, которая не подчиняется «закону переста&новки» и «существует большое число вычислений, в которых действует только объединение, но не перестановка; стало быть, закон объединения, или скобочный закон (Klammergesetz), дол&жен быть введен сам по себе, до того, как может зайти речь о перестановке»[73].
Поначалу может показаться, что «Учение о формах» 1872 г. не обещает чего-либо интересного: дело выглядит так, будто рассматриваются элементарные вопросы, касающиеся простей&ших арифметических или алгебраических операций. Однако внимательное ее изучение обнаруживает несостоятельность такого взгляда. Ниже, в отдельной статье, мы проанализируем реализованный в ней подход. Пока же остановимся на том, как Р. Грассман трактовал отношение своего «учения о величинах» к содержательному мышлению и естественному языку.