ГРАССМАНЫ И ШРЁДЕР, ГРАССМАНЫ И ФРЕГЕ. ОПЫТЫ РЕКОНСТРУКЦИИ ГРАССМАНОВСКИХ ТЕОРИЙ  

Нам известны два опыта реконструкции грассмановской тео&рии целых чисел: В.Ф. Кагана (1929) и Хао Вана (1957). Анализ этих реконструкций показывает, что, хотя первая гораздо менее «проработана», чем вторая, она ближе подходу Г. Грассмана; впрочем, и реконструкция В.Ф. Кагана имеет ряд существенных отклонений от содержания рассматриваемого грассмановского труда. Что касается реконструкции Хао Вана, то, прежде всего представляя Грассманову теорию целых чисел в виде аксиомати&ческой системы в современном смысле, он упускает главное в подходе Г.

Грассмана - индуктивно-рекурсивную установку. Ре&конструкция Хао Вана и формально неадекватна теории Г. Грасс&мана; впрочем, этот дефект легко устраним путем введения в ре&конструкцию Хао Вана двух дополнительных постулатов: одного, утверждающего, что двум разным целым числам должны соот&ветствовать два разных же непосредственно следующих за ними (предшествующих им) числа, и другого, говорящего о том, что единица не следует ни за каким целым положительным числом, - которые содержатся в теории Г. Грассмана.

Изучение вопроса о месте грассмановской арифметики в исто&рии дедуктивного знания приводит к уже высказанному заключе&нию, согласно которому - в противовес распространенному взгля&ду, повторенному С.К. Клини в 1980 г., - возникновение теории рекурсивных функций естественно связывать не только с именем Р. Дедекинда (работа 1888 г.), но и с именем Германа (а также Ро&берта) Грассмана. При этом, однако, следует подчеркнуть, что подход Г. Грассмана - явно не теоретико-множественный! - делал излишним как доказательство представимости арифметических функций с помощью примитивных рекурсий (каковое предъявил Дедекинд), так и формулировку того, что ныне известно как «акси&омы Пеано». Последние в построении Г. Грассмана - подчеркнем это еще раз - вытекают из индуктивного определения «основной последовательности» (соответственно ряда целых чисел) совер&шенно так же, как эти «аксиомы» извлекаются из правила порож&дения системы натуральных чисел, например А. Гейтингом.

И с полным основанием мы можем утверждать: Г. Грассман во многом предвосхитил «рекуррентный способ мышления» Т. Сколема, работа которого 1923 г. отличается от грассманов&ской - помимо, разумеется сколемовского замысла элиминации кванторов, каковой вряд ли мог возникнуть в 60-х годах поза&прошлого века, - главным образом явной формулировкой логи&ческих средств. В свете работы Т. Сколема становится ясным, что использование Г. Грассманом в его арифметике «кванторных слов» (выражений «все» и «существует») не выходит за рамки конструктивного подхода.