«ВЕТВЛЕНИЕ» ТЕОРИИ ФОРМ. ГРАССМАНОВСКОЕ «УЧЕНИЕ О ПОНЯТИЯХ»
Эта классификация Р. Грассмана, достаточно искусственна, но без сомнения оригинальна. Здесь налицо определенная транс&формация описанного в труде Германа Грассмана 1844 г. разделе&ния «форм» на непрерывные и дискретные, интенсивные и экс&тенсивные величины. В самом деле, слова Г. Грассмана о том, что «число есть объединение того, что полагаемо как одинаковое», а комбинация - «объединение того, что полагаемо как различное», становятся понятными, если учесть, что в арифметике положи- тельных целых неименованных чисел в качестве единственного элемента фигурирует единица, вместо которой можно использо&вать - это означает переход к именованным числам - любой эле&мент, ибо, поскольку в учении о числах имеет место равенство 1 • е = е для любого элемента е, мы получаем: е + е + ... + е=1-е + + 1 • е + ... + 1 • е = (1 + 1 + ... + \)е\ но тогда е + е + ... + е превра&щается в именованное число, в котором 1 + 1 + ... + 1 есть «чис&тое», т.е. неименованное число, а е есть его имя[235]. Суммирование единиц и одинаковых, отличных от единицы, элементарных вели&чин - это и есть «полагание одинакового», порождающее числа. По иному, нежели в арифметике, обстоит дело в «учении о протя&женностях»: последнее определяется Р. Грассманом как «ветвь математики, в которой складывается много различных единично&стей». Заметим, что классификация «ветвей» математики и логики, предложенная младшим братом, представляет собой существенное видоизменение грассмановской позиции по данному вопросу.
Обратимся теперь к логике. Из характеристических для нее равенств (1) и (3), показывает Р. Грассман, следует идемпотент&ность сложения и умножения любых величин; величинами в логи&ке являются понятия, и названные операции истолковываются, говоря современным языком, как соответственно объединение и пересечение их объемов (т.е. классов). Оставляя пока в стороне грассмановскую концепцию логических наук, а освещение проб&лемы взаимоотношения логики и математики отодвигая до следу&ющего раздела Послесловия, сосредоточим внимание на постав&ленном выше вопросе о проведении Р.
Грассманом в данной «вет&ви» теории величин финитно-конструктивистской установки. Со&гласно определению Р. Грассмана, объем понятия есть сумма его элементов; в соответствии с этим устанавливается, что сумма двух понятий есть сумма всех различных элементов, содержащихся в обоих понятиях, и что произведение двух понятий есть сумма всех элементов, которые являются общими для обоих понятий. Но то&гда, поскольку для понятий в логической теории Р. Грассмана из определения отношения отрицания одного понятия другим следу&ет то, что обычно называют законом исключенного третьего, в данном случае в формулировке а + а' = Т (для любого а), где а' есть отрицание понятия а, а Т - т.е. «всеобщность» (АН), или «тотальность» (Totalitat), - представляет собой «сумму всех штиф&тов, или элементов», получается, что либо объемы всех понятий (и, значит, «тотальности», Т) должны быть конечны, либо - в про&тивном случае - закон исключенного третьего без каких-либо ог&раничений оказывается распространенным на бесконечные клас&сы (совокупности). Первое неприемлемо потому, что закрывает путь каким-либо существенным применениям логики в математи&ке, поскольку последняя «переполнена» понятиями с бесконечны&ми объемами. Второе же объективно означает выход за пределы конструктивистской позиции, тем более что бесконечные объемы понятий мыслятся им в виде бесконечных сумм элементов - сумм, какого-либо эффективного способа построения которых логиче&ская концепция Р. Грассмана не предусматривает.Р. Грассман, по-видимому, не заметил всей «деликатности» описанной ситуации. Владевший им конструктивистский пафос был столь силен, что взор создателя теории величин, высвечивая такой ведущий аспект финитного подхода, как индуктивно-ре- курсивная методология, не проникал в тень, где таились глубокие трудности последовательного проведения конструктивистской установки - трудности, которые были вряд ли преодолимы для логики, математики и методологии науки XIX века.
Характеристическая для подхода Р.
Грассмана в логике конст&руктивистская установка сочеталась с сохранением им законов классической логики, включая закон исключенного третьего. Ло&гика при этом понималась в традициях немецкой классической философии XVIII-XIX вв.: как теория понятий (угол зрения, под которым смотрели на логику также Э. Шрёдер и Г. Фреге). Нет&рудно видеть, что сохранить сочетание «логической классики» с логическим конструктивизмом во времена Грассманов можно было только одним способом - рассматривать лишь понятия конечного объема (т.е. конечные множества, конечные классы). В этом состоит объяснение того, почему Р. Грассман трактует объемы понятий, по сути дела, как конечные суммы «штифтов».Итак, покажем, что учение о понятиях Р. Грассмана было теорией классов конечного объема, и это - вместе с теорией форм - определяло ее индуктивно-рекурсивный характер; что, используя терминологию Д. Гильберта и В. Аккермана, логика Р. Грассмана представляла собой комбинированное исчисление - классов и высказываний; что по своему логическому содержанию она не выходила за рамки традиционной силлогистики, хотя и (консервативно) расширяла ее за счет введения отрицательных терминов; и что главная проблема алгебры логики XIX столе- тия - разработка методов решения логических уравнений, впер&вые поставленная Дж. Булем, - не была признана Р. Грассманом таковой: как только он с ней ознакомился, а произошло это уже после публикации «Логики» 1872 года, проблема эта была отне&сена им не к логике, а к математике[236].
Обратимся к теореме, содержащейся в № 5 «Логики» 1872 г. Приводимые в ней доказательства идемпотентности операций объединения и пересечения классов проходят только при усло&вии их конечности: объемы понятий рассматриваются как конеч&ные суммы вообще говоря попарно различных элементарных ве&личин. То же самое можно сказать и о теореме, фигурирующей в № 7. Но ведь именно эти теоремы определяют, по Грассману, спе&цифику логики! Ибо все представители алгебры логики XIX в.
вводили эти законы, характеристические для логической науки, как недоказуемые постулаты.Логическое учение Р. Грассмана представляло собой, теорию классов, в которой весьма «экономно» использовались средства пропозициональной теории - в словесной либо знаковой форме. Автор оперирует словами «и» и «или» (ср. № 14, где соответству&ющим образом поясняется смысл знака <), выписывает знаки конъюнкции (+) и эквиваленции (=), пользуется переходами от оснований к следствиям (ср. № 16). Все это освещено в Коммен&тариях. Здесь стоит добавить лишь, что в процессе доказательств формул, содержащих операции конъюнкции и эквиваленции, ис&пользуются - помимо, разумеется, тождественных преобразова&ний - условные умозаключения. Что касается отрицаний, то они выступают как дополнения к классам, и вся теория образования суждений и умозаключений, в которой, естественно, фигурируют и отрицательные высказывания, строится с помощью также и от&рицаний понятий. Только в «Логике» 1890 г. Р. Грассман отчасти изменяет этой манере, вводя нечто подобное отрицаниям сужде&ний: отрицание общеутвердительного суждения «Все а суть и» пе&редается как 0 а <и (где < понимается как <), а отрицание частно- утвердительного суждения «Некоторые а не суть и» - как а ^ и (теоремы № 170 и 171). «Нормальные формы» (как сказали бы мы теперь) рассматриваемых им суждений не содержат квали&фикации предиката. Квантификация предиката как таковая поя&вляется, когда обосновывается равносильность (==) некоторых формул суждений, например, ха < и и хи < а, где «умножение» оз- начает пересечение классов, знак < понимается как <, то есть включение класса в класс, а х есть «неопределенный указатель, или артикль». В ходе упомянутого обоснования появляются фор&мулы ха = уи и уи = ха, предикаты которых ограничены «неопре&деленными указателями». Используется квантафикация и в тео&рии умозаключений (см. № 67).
Под «логикой» Р. и Г. Грассманы разумели прежде всего ас&серторическую силлогистику, решительно отвергая силлогистику модальную как не дающую, по их мнению, ничего нового.
Вместе с тем, стремясь наиболее полно описать формы суждений и умо&заключений, которыми пользуется человеческое мышление, они «расширили» силлогистику за счет введения отрицательных терминов. При этом ими четко осознавалось, что с теоретической точки зрения подобное «расширение» не дает ничего нового; это прямо доказано в теореме № 63. Грассмановская силлогистиче&ская теория, гораздо более обильная по числу формул, нежели традиционная ассерторическая, тем не менее по своему логиче&скому содержанию не богаче «форм старой логики»: все, что вы&разимо и верно в традиционной ассерторической силлогистике (использующей пропозициональную логику), выразимо и верно и в грассмановской теории. В последней вместе с тем отсутствует что-либо, выводящее за пределы логической «традиции». И «цеп&ные умозаключения», и умозаключения «суммирующие», и «про&дуктивные умозаключения», и умозаключения разделительные в их грассмановской трактовке вполне «силлогистичны» и полно&стью охватываются комбинированным исчислением.Таким образом, Р. Грассман прошел мимо главных проблем алгебры логики XIX века - решения логических уравнений и по&иска следствий (соответственно, гипотез) из заданных посылок (соответственно, для данных посылок). Здесь он не шел вровень со своим временем. Но одну новацию в данную проблематику он ввел: показал (в «Логике» 1890 г.), каким образом процедуру ре&шения логических уравнений можно строго представить в индук&тивно-рекурсивном стиле. Насколько нам известно, ни до, ни по&сле него этого никто не делал.
* * *
...На протяжении своей долгой жизни Р. Грассман не раз обра&щался к самым разным вопросам логики. Во-первых, он сущест&венно детализировал положения логического сочинения 1872 г., разработанного совместно с братом. Во-вторых, он предпринял попытку выйти за рамки этих положений, для чего попытался со&четать выдвигавшееся им требование «научности» с идеями диа&лектического характера. Конспективно изложенное - несмотря на сохранение прежнего стиля выписывания теорем и попыток их обоснования, - сочетание это, однако, оказалось весьма скудным по содержанию.
В самом деле, логический труд Р. Грассмана 1890 г. (переиз&данный им через десять лет) был опубликован под претенциоз&ным названием «Логики и другие логические науки» (выделено нами. - Б.Б.). Следуя античной традиции, он противопоста&вил «Аналитике», основное содержание которой составила логи&ка в аристотелевском смысле, - «Синтетику» как учение об умо&зрении в смысле Платона и Гегеля. Говоря детальнее, к аристоте&левской логике как «первой ветви» логических наук, он попытал&ся добавить «вторую ветвь» - «Учение о развитии, или Тропику»[237], как «более высокую ветвь Аналитики». Хотя эта «ветвь» и была разделена им на три раздела, они заняли в его книге немногим бо&лее пяти (!) страниц. Главная идея Р. Грассмана состояла здесь в замене жестких и неизменных понятий, с которыми имела дело «первая ветвь», понятиями подвижными, изменяющимися; поня&тиями, свойства которых, меняясь, могут давать начало новым понятиям. Эти грассмановские идеи для конца XIX в. были ба&нальны. Однако в разделе Die Sippenlehre, где речь шла о непре&рывности развития понятий, родов, свойств и т.п. и их взаимодей&ствиях, проглядывала идея, которая впоследствии, у Л. Витген&штейна приобрела вид известной концепции семейного сходства. В целом, однако, ничего сколько-нибудь оригинального автор здесь высказать не смог, а его немногочисленные попытки пред&ставить предполагаемые им переходы одних понятий в другие с помощью формул оказались не более, чем «изобразительной ма&тематикой».
Третью ветвь логических наук, по Р. Грассману, составила уже упоминавшаяся нами комбинаторика - она была изложена на элементарном уровне, но достаточно подробно.
К «Синтетике» Р. Грассман отнес учение об умозрении, где рассматривались противоположности, возникающие в процессе мышления. Он рассуждает о взаимодействии понятий в мысли&тельном процессе, в частности о ситуации, когда два понятия - зачастую представляющие собой противоположности - сливают&ся в некое единство, которое оказывается уже новым понятием.