Кинетические уравнения

Воспользуемся некогерентным приближением. В этом случае выполняется условие (1.19), означающее, что время релаксации T2 очень мало, по сравнению с периодом осцилляций Раби. Тогда, считая малым T2, во втором из уравнений Блоха второе слагаемое в левой части (P0/T2) можно считать много большим, нежели первое (dP0/dt).

Тогда система уравнений Блоха чрезвычайно упрощается и можем

исключить P₀ и φ. Выражая δίπφ из (1.10) и οοδφ из третьего урав­нения Блоха, а также пользуясь тем, что сумма квадратов синуса и косинуса есть единица, получим выражение для P₀². Подставив полученное из (1.10) δίπφ в первое уравнение, в правой части этого уравнения имеем P₀² с некоторым коэффициентом. Тогда, подстав­ляя найденное выше P₀², в итоге получим

где, как и раньше, Γ - однородная ширина линии, а символом L обозначен лоренцев формфактор линии поглощения.

Теперь перейдем к измеряемым величинам. Так, в эксперименте обычно измеряется не напряженность электрического поля света E, а интенсивность I:

Часто используют плотность потока фотонов, имеющую тот же физический смысл, что и интенсивность, но представляющую со­бой интенсивность, деленную на энергию одного фотона

Подставив это выражение в (1.11), окончательно получим кинети­ческое уравнение для двухуровневой системы

I

где введено обозначение для не зависящего от времени коэффици­ента

называемого сечением поглощения.

Аналогичным образом уравнения (1.12) легко получить непо­средственно для населенностей в более традиционной форме

^dn₁ⁿ₂

=-σ (Ω) qn_x +-^. (1.14б)

dt T₁

Итак, из первых принципов мы получили уравнения, описывающие динамику населенностей двухуровневой системы. Важно помнить, какие именно приближения при этом были сделаны: 1) полуклас­сическое приближение; 2) усредненное по направлениям значение дипольного момента; 3) приближение вращающегося поля; 4) при­ближение некогерентного взаимодействия. Тем самым, в уравне­ниях (1.14) получили некоторый принцип, позволяющий математи­чески описывать поведение системы во времени.

1.3. Поглощение света: закон Бугера - Ламберта - Бэра

Однако для практических задач необходимо описывать процес­сы взаимодействия излучения с веществом не только во времени, но и в пространстве.

Выясним физический смысл введенной выше величины сечения поглощения (см. (1.13)). Эта величина имеет размерность площади. В силу (1.14), произведение этой величины на плотность потока фотонов (т. е. на число фотонов, проходящих в единицу времени через единицу площади) дает нам долю частиц, перешедших из состояния 1 в состояние 2 в единицу времени (долю от n1, т.е. от всех частиц в состоянии 1). Каждый переход совершается вследст­вие поглощения одного фотона. Оценим число поглощенных фо­тонов AQ в некотором объеме вещества толщиной Ax и площадью 5 за время At. Пусть концентрация частиц в этом объеме (число частиц в единице объема) равна n и все частицы находятся в ниж­нем состоянии 1.

скольку мы рассматриваем только первичный процесс - поглоще­ние фотона. По отношению к этому процессу можно считать, что релаксации еще нет - т.е. она бесконечно медленна.) Если число упавших на фотонов Q, тогда, из (1.14) получим

Это выражение носит название закона Бугера - Ламберта - Бэра (английский эквивалент - Beer's law). Легко видеть, что аналогич­ное выражение справедливо и для интенсивности

Закон Бугера определяет распределение интенсивности падающего света в поглощающей среде. Для однородного по пространству распределения поглощающих частиц (т.е. n(x) = Const) это уравне­ние легко решается и дает

Произведение сечения поглощения на концентрацию погло­щающих частиц называется коэффициентом поглощения

и измеряется в обратных сантиметрах (см^-1). По смыслу, величина, обратная коэффициенту поглощения есть глубина проникновения света в вещество (1/k, см).

Из выражений (1.17), (1.18) следуют важные для эксперимента характеристики. Так, зная концентрацию частиц и измеряя долю прошедшего через вещество толщиной x света (I/I₀), можно вычис­лить сечение поглощения:

Наоборот, зная сечение поглощения для выбранного типа частиц, можно в эксперименте выяснить их концентрацию и т.д.

Таким образом, мы получили возможность описывать поведе­ние возбужденных молекул во времени (кинетические уравнения

(1.14)) и в пространстве (закон Бугера - Ламберта - Бэра (1.16)). Заметим, что все используемые в модели параметры определимы экспериментально.