ТЕМА 8. РЯДЫ

Рассмотрим выражение вида

, (1)

называемое бесконечным рядом, где — члены ряда.

Ряд называется числовым, если членами ряда являются числа, и функциональным, если членами ряда являются функции.

Сумма конечного числа первых n членов называется

n –ой частичной суммой ряда:

Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и ряд называется сходящимся. Если предел не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

Отметим следующие свойства рядов.

1. На сходимости ряда не сказывается отбрасывание конечного числа его членов.

2. Сходимость ряда не нарушится, если все члены умножить на одно и то же ненулевое число.

3. Сумма (разность) сходящихся рядов есть ряд сходящийся.

Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел n-ого члена равен нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

. (2)

Условие (2) является необходимым, но не достаточным условием сходимости, поэтому если , то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Однако, если , то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим предел общего члена ряда un:

, поэтому ряд расходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. . Необходимый признак не дает ответа на вопрос о сходимости данного ряда.

Сформулируем достаточные признаки сходимости некоторых рядов и вернемся к решению примера.

В первую очередь рассмотрим числовые ряды.

Числовые ряды

Знакоположительные ряды

Рассмотрим два ряда с положительными членами:

, (3)

, (4)

называемых знакоположительными.

Для них справедливы следующие признаки сходимости.

Признаки сравнения

Признак 1. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (4) сходится, то ряд (3) тоже сходится.

Признак 2. Если, начиная с некоторого n, выполняется условие , и ряд (4) расходится, то ряд (3) тоже расходится.

Признак 3. Если существует конечный и отличный от нуля предел, то ряды (3) и (4) ведут себя одинаково, т.е. сходятся и расходятся одновременно.

При использовании этих признаков нужно сравнивать исследуемый ряд с рядом, сходимость или расходимость которого уже известна.

Для сравнения обычно выбирают один из следующих рядов:

I. — гармонический ряд, он расходится.

II. () — геометрическая прогрессия, при ряд сходится, при 1 расходится.

III. — ряд Дирихле (обобщенный гармонический ряд), при сходится, при 1 расходится.

Пример 3. Вернемся к ряду из примера 2:.

Решение. Это ряд с положительными членами. Сравним исходный ряд с гармоническим рядом . Рассмотрим предел отношения общих членов рядов:

Ряд (2) расходится, следовательно, на основании признака 3 исходный ряд также расходится.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда.

Решение. В качестве сравнения возьмем геометрическую прогрессию , которая сходится, т.к. =1. Сравним общие члены рядов:. На основании первого признака сравнения исходный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда.

Решение. Рассмотрим расходящийся ряд (ряд Дирихле). Поскольку, начиная с , выполняется условие , то, согласно второму признаку сравнения, исходный ряд расходится.

Признак Даламбера

Если в знакоположительном ряде существует предел, то при q1 ряд сходится, при q1 расходится, при q=1 признак Даламбера ответа на вопрос о сходимости ряда не дает и надо использовать другие признаки.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда.

Решение. Поскольку , то . (Напомним, что n!=). Теперь найдем предел отношения :

Так как 0Даламбера исходный ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Если в знакоположительном ряде существует предел , то при q ряд расходится. Число называют радиусом сходимости степенного ряда.

Радиус сходимости R в частном случае может быть равен 0 или

. На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Для выяснения вопроса о сходимости ряда на концах интервала сходимости достаточно применить к ряду известные признаки сходимости, считая фиксированным и равным .

Пример 12. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:

Если , то исходный ряд сходится абсолютно, т.е. при 2 или на интервале .

Если , то ряд расходится, т.е. при .

Проверим сходимость на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд:

Это знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница неабсолютно (см. пример 9).

При получаем гармонический ряд:

который расходится.

Окончательный ответ: ряд сходится при .

Пример 13. Определить область сходимости ряда:

Решение. Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:

Исходный ряд сходится абсолютно, если, то есть при . Ряд расходится, если , то есть при .

Рассмотрим поведение ряда на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд: .

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака сходимости Лейбница: и . Поэтому ряд сходится (сходится условно, т.к. ряд расходится, а умножение всех членов ряда на постоянное число, отличное от нуля, не меняет его сходимости).