3. ПРИНЦИП ДВОЙСТВЕННОСТИ

Дана система , причем для.

и . (1)

Доказательство:

- 7 -

Пусть для некоторого , но. То есть . (2)

Пусть теперь

хотя бы для одного . Тогда . Следовательно, .

Аналогично проводится доказательство второго тождества. Ч.Т.Д.

Упражнения:

1. . Чему равно ?

2. .

Чему равно ? А\ В ?

3. А - множество четных чисел натурального ряда. В - множество натуральных чисел, делящихся на 3, С - множество нечетных чисел, не кратных 3. Чему равно ?

4.Чему равны и ?

5. Пусть - множество точек плоскости, лежащих на кривой Чему равно множество

6. Существуют ли такие множества А, В и С , что

8. Доказать тождество:

а)

б)

в)

- 8 -

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

9.

10*.Доказать, что если множества образуют убывающую

последовательность, т.е.

то

11*. Доказать, что если множества дизъюнктны ( т.е. попарно не пересекаются ), а , то . При этом очевидно, что множества образуют убывающую последователь-ность, т.е. .