7. ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА.

7.1. Назовем открытым ( замкнутым ) шаром с центром в точке а и радиусом r множество элементов х метрического пространства Х, удовлетворяющих, соответственно, условиям:

Примеры: 1.

2. В С(a,b): составляют множество непрерывных функций, графики которых не выходят из полосы шириной :

7.2. Окрестностью точки х называют любой открытый

шар с центром в этой точке.

Точка называется внутренней, если она входит во множество вместе со своей окрестностью.

Множество - открытое, если все его точки внутренние.

Пример: (a,b) - открытое множество.

7.3. ТЕРЕМА 1. Открытый шар с центром в некоторой

точке и радиусом - открытое множество.

Доказательство:

Пусть .

Построим .

Действительно: для

Ч.Т.Д.

- 19 -

ТЕОРЕМА 2. Объединение открытых множеств в любой совокупности и пересечение открытых множеств в конечном числе есть открытое множество, т.е.:

- открытые множества.

Доказательство:

1. открытое множество из определения. Действительно, если

, т.к. U - открытое множество. Но

. Ч.Т.Д.

2. - открытое множество. Действительно, для -открытое

множество, тогда входит в с шаром , в с шаром , ... , в с шаром . Следовательно,

. Ч.Т.Д.

Для утверждение неверно, т.к. бесконечного множества положительных чисел может быть равен нулю.

Пример: - не открытое множество.

8.