Содержание

1 Случайные блуждания 7

2 Мартингалы. Дискретное время 15

2.1 Примеры мартингалов .................................................................... 16

2.2 Момент остановки и соответствующий мартингал.....................

2.3 Применение мартингалов к случайным блужданиям .... 19

3 Мартингальный подход к управлению риском платежных обязательств. Дискретное время 21

4 Броуновское движение 30

5 Мартингалы. Непрерывное время 39

6 Применения теории мартингалов к изучению броуновского движения 43

6.1 Примеры мартингалов, связанных с броуновским движением 44

6.2 Время разорения............................................................................... 45

6.3 Время достижения некоторого уровня........................................... 46

7 Стохастические интегралы 49

7.1 Построение стохастического интеграла(интеграла Ито) . . 49

7.2 Пример явного вычисления интеграла Ито................................... 54

8 Формулы Ито 58

8.1 Простейший вариант формулы Ито............................................... 58

8.2 Формула Ито для пространства-времени...................................... 64

8.3 Векторное обобщение формулы Ито............................................. 68

8.4 Обобщение формулы Ито для стандартных процессов , , , 70

9 Вывод формулы Блэка-Шоулза 72

10 Мартингальный подход к управлению риском платежных

обязательств. Непрерывное время 78

10.1 Вывод формулы Блэка-Шоулза (мартингальный подход) , 78

10.2 Американский опцион покупателя............................................... 81

10.3 Русские опционы............................................................................. 82

А Приложение 88

А.1 Основные понятия теории интеграла Лебега по (вероятностной) мере 88

А,2 Некоторые сведения из теории вероятностей................................. 95