Введение

Среди достижений экономической науки, отмеченных в 20 веке Нобелевской премией, можно выделить премию 1997 года, присужденную американским математикам М, I Ноулсу и Р. Мертону «за разработку совершенно нового метода определения стоимости опционов», описанного ими и Ф, Блэком в 1973 году.

В то же время анализ имеющейся литературы по финансовому менеджменту на русском языке показывает, что метод Блэка-Шоулза- Мертона излагается очень редко, точнее, можно упомянуть лишь книги [5] и [9], Вызвано это, по-видимому, сложностью математического аппарата, используемого в рамках теории, поэтому пользователи в лучшем случае потребляют готовый продукт (например, формулу Блэка- IНоулза), не пытаясь анализировать адекватность предложенной теории существующим рыночным реалиям.

Исключением может служить книга А.В. Мельникова, С.Н. Волкова и М,Л,Нечаева [5], в которой ключевые и математически весьма сложные результаты современной теории хеджирования и инвестирования изложены на грани математической корректности и предельно строго показано, как эта общая методология преломляется в конкретных моделях финансовых рынков.

Спецкурс «Финансовые приложения стохастического анализа» имеет две основные цели: во-первых, познакомить студентов с формулами расчета стоимостей некоторых опционов, используемых на практике; во- вторых, научить студентов элементам техники, применяемой при выводе не только этих формул, но и их более сложных вариантов. Таким образом, студенты, освоившие курс, могут приступать к изучению и к практическому использованию более сложных курсов, например, уже упоминавшегося курса [5].

Изложение материала наиболее близко к книге М. Стеле [7], не переведенной на русский язык, но содержит ряд существенных отличий.

доказательство формулы Ито использует работу Т. Сабадоша [6], и представляется более естественным, чем соответствующее доказательство в [7] (хотя оно и ущербнее с точки зрения полноты обоснования). Наконец, отсутствие глубоко развитой теории мартингалов, которое не давало возможности на достаточно обоснованном уровне представить мартин- гальный подход к выводу7 формулы Блэка-Шоулза и формул расчета цен других опционов, было компенсировано включением вывода (на основе мартингального подхода) дискретной версии формулы Блэка-Шоулза — формулы Кокса-Росса-Рубинштейна из книги А.В. Мельникова [4]. Наконец, для усиления экономической составляющей был включен пункт о выводе формулы для расчета цены русского опциона из книги А.Н. Ширяева [9].

Включено также приложение, содержащее используемые сведения из теории меры и интеграла Лебега и из теории вероятностей. Следуют отметить, что теория меры и интеграла Лебега излагается по книге М.И. Дьяченко и академика РАН П.Л. Ульянова — одного из самых знаменитых первых выпускников механико-математического факультета СГУ.

Основная структура курса

Раздел 1. Мартингалы. Дискретное время.

Случайные блуждания: честная и нечестная игра. Время разорения, его ожидание, вероятность разорения. Понятие мартингала в случае дискретного времени, примеры мартингалов, применения к случайным блужданиям. Суть мартингального подхода на примере биномиального (Ь,8)-рынка. Вывод формулы Кокса-Росса-Рубинштейна для подсчета безарбитражной (рациональной, справедливой, взаимоприемлемой) цены европейского опциона покупателя и формулы паритета цен опционов покупателя и продавца.

Раздел 2. Мартингалы. Непрерывное время.

Понятие броуновского движения, его построение. Свойства траекторий броуновского движения.

Раздел 3. Стохастические интегралы.

Понятие интеграла Ито для различных классов. Пример явного вычисления интеграла Ито. Основные факты теории стохастического интегрирования. Формулы Ито. Интеграл Ито как (локальный) мартингал. Связь с теорией гармонических функций. Стандартные процессы. Обобщения формулы Ито.

Раздел 4. Формула Блэка-Шоулза и другие приложения мартингаль- ного подхода.

Вывод формулы Блэка-Шоулза с помощью решения уравнения теплопроводности. Схема мартингального подхода для вывода формулы Блэка-Шоулза. Невыгодность раннего погашения американского опциона. Оптимальное погашение русского опциона и его цена.

Опишем подробнее содержание пособия.

Первый параграф посвящен случайным блужданиям. На наглядном примере (игры в подбрасывание монеты) иллюстрируются простейшие теоретико-вероятностные методы, позволяющие найти ответы на некоторые вопросы, связанные со случайными блужданиями — вероятности (не)разорения, средняя продолжительность игры, исследование распределения времени достижения некоторого уровня.

Второй параграф содержит некоторые вопросы теории мартингалов для случая дискретного времени. Ввиду недостатка времени были опущены различные неравенства для мартингалов, теоремы о сходимости. Приводятся примеры мартингалов, связанные со случайными блужданиями, доказывается теорема о процессе остановки, которая применяется для ответа на вопросы, изученные в первом параграфе, но для случайных блужданий в случае нечестной игры.

Третий параграф — один из ключевых. В нем достаточно подробно, Cj і еду я А. В. Мельникову, изложена схема мартингального подхода для определения рациональной (безарбитражной) цены европейского опциона покупателя в случае дискретного времени. Ведены основные понятия, связанные с моделями биномиального рынка: хеджирование, арбитраж, производные ценные бумаги, дисконтированная цена акции, мартингаль- ные вероятностные меры.

Четвертый параграф посвящен броуновскому движению. Дано определение броуновского движения, доказано его существование с помощью конструкции 3. Чисельского, использующей простейшие всплески (вейвлеты) — функции Хаара. Доказывается теорема о плохих гладкост- ных свойствах траекторий броуновского движения, показывающая, что непрерывные и нигде не дифференцируемые функции, существование

которых отмечалось в курсе математического анализа, являются вполне естественным объектом, а не чем-то искусственно созданным.

В пятом параграфе рассмотрены мартингалы для случая непрерывного времени. Поскольку ряд основных положений теории мартингалов был пропущен даже в случае более простого случая — дискретного времени, то здесь приводятся лишь основные определения, даны простейшие примеры мартингалов, для понимания которых достаточно интуитивно понятных свойств условного математического ожидания. Также доказаны некоторые простые утверждения о локальных мартингалах, помогающие получить представление об элементах используемой при работе с ними технике.

Шестой параграф посвящен применениям теории мартингалов к изучению броуновского движения. Здесь приводятся некоторые примеры классических мартингалов, связанных с броуновским движением, которые используются вместе с теоремой Дуба о процессе остановки для изучения времени разорения и времени достижения некоторого уровня для броуновского движения.

Седьмой параграф содержит ряд основных моментов построения теории стохастических интегралов (интегралов Ито). Установлена изометрия Ито для класса функций, интеграл Ито от которых определяется естественным образом, которая является одним из ключевых инструментов в построении теории более общих интегралов Ито.

В восьмом параграфе собраны различные версии формул Ито, играющих в теории стохастических интегралов роль, аналогичную роли формулы Ньютона-Лейбница в теории обычного интеграла (Римана). Доказательство простейшего варианта изложено весьма подробно (следуя статье Т. Сабадоша). Формула Ито для пространства-времени анализируется с точки зрения получения условия мартингальности, которое применяется для решения ряда задач о вычислении величин, связанных как с обычным броуновским движением, так и с броуновским движением со смещением. Векторный вариант формулы Ито используется для демонстрации существенной разницы в поведении случайного блуждания на плоскости и в пространстве.

Девятый параграф содержит ставший уже классическим вывод формулы I >. нкн-і I Іоултн для безарбитражной цены европейского опциона

покупателя в случае непрерывного времени на основе использования решения уравнения теплопроводности.

Ко всем параграфам с первого по девятый даны задачи для самостоятельного решения.

Десятый параграф посвящен мартингальному подходу к управлению риском платежных обязательств в случае непрерывного времени. Здесь приведен вывод формулы Блэка-Шоулза на основе использования теории Гирсанова. Сама теория слишком сложна для того, чтобы привести с достаточным обоснованием ее основные положения, но использование апелляции к аналогии с дискретным вариантом позволяет дать вполне логичный вывод. Далее приводится весьма компактное доказательство результата, одна из интерпретаций которого состоит в невыгодности раннего погашения американского опциона. Наконец, следуя книге А.Н. Ширяева, приводится вывод теоремы, описывающей оптимальный момент погашения и цену русского опциона. Поскольку последний параграф опирается на довольно сложную теорию, задачи к нему не приводятся (достаточно разбора приводимых доказательств).

Приложение содержит основные используемые сведения теории меры и интеграла Лебега, а также некоторые сведения из теории вероятностей (теорема Бореля-Кантелли, свойства многомерного нормального распределения и условного математического ожидания), которые редко излагаются в соответствующих курсах.

1