Процентная ставка

Самый большой и наименее рациональный риск из всех возможных — риск ничегонеделания.

Питер Ф. Друкер

Инвестиции в бизнес часто оцениваются посредством показателя норма прибыли.

Рассмотрим виды займов и расчет нормы прибыли на инвестированный капи­тал.

1. Вы занимаете определенную сумму денег и обязуетесь платить заемщику по­стоянно каждый год в течение нескончаемого периода времени равными суммами

процентную ставку (бессрочный аннуитет). Для определения процентной ставки используем формулу (3.13):

г = A/P, (3.17)

где А — ежегодные выплаты процентов по займу, руб.; Р — сумма займа, руб.

Пример 3.22. Компания «Лямбда» взяла кредит в сумме 1,5 млн руб. с усло­вием бессрочно каждый год выплачивать банку 105 тыс. руб. Определить про­центную ставку для полученного займа.

Примем А = 105 000 руб., Р = 1 500 000 руб., и тогда значение г равно:

г = 105 000/1 500 000 = 0,07, или 7% в год.

2. Вы занимаете сумму денег Р и обязуетесь через год (или менее одного года) выплатить большую сумму F в виде разового платежа. В этом случае процентная ставка определяется на основе формулы (3.3):

F = P(1 + г).

Откуда значение г будет равно:

г = F/P - 1. (3.18)

Пример 3.23. Петров взял ссуду 100 тыс. руб. с условием возврата через год ссу­ды и процентов по ней в виде разового платежа 112 тыс. руб. Определить процент­ную ставку по займу.

г = 112 000/100 000 - 1 = 0,12, или 12% в год.

Если заем выдается на срок более 1 года (n лет), то процентная ставка опреде­ляется из выражения:

г = (F/P)1/n - 1. (3.19)

Пример 3.24.

Примем F = 180 000 руб., Р = 120 000 руб. и n = 4 года. Подставим эти значения в формулу (3.20):

г = (180 000/120 000)1/4 - 1 = 0,107, или 10,7% в год.

3. Вы занимаете сегодня деньги в сумме Р руб. сроком на n лет. В течение n лет кредитору ежегодно выплачиваете А руб. и в конце срока возвращаете Р руб. Про­центная ставка по этому типу займа определяется на основе формулы (3.17). Та­кой вид платежей характерен для корпоративной облигации, по которой эмитент ежегодно выплачивает определенную сумму денег в течение срока обращения об­лигации, и по завершении этого срока держателю облигации выплачивается ее номинальная стоимость.

Пример 3.25. Компания «Пирамида» выпустила облигации номинальной стои­мостью 10 тыс. руб. со сроком обращения 5 лет. В течение 5 лет держатель облигации ежегодно получает 950 руб. и в конце срока обращения — 10 тыс. руб. Определить процентную ставку займа.

Для решения задачи обратимся к формуле (3.17), приняв А = 950 руб. в год, Р = = 10 000 руб.:

r = A/P = 950/10 000 = 0,095, или 9,5% в год.

В некоторых случаях денежный поток (в виде прихода или изъятия) растет или снижается с постоянным коэффициентом. Изменение (рост или снижение) мо­жет осуществляться по закону арифметической или геометрической прогрессии. На рис. 3.5, а представлен денежный поток, растущий ежегодно на 200 руб., а на рис. 3.5, б — снижающийся ежегодно на 200 руб.

Рис. 3.5. Изменение денежных потоков по арифметической прогрессии

Денежный поток на рис. 3.5, а может быть представлен в виде аннуитета, рав­ного 300 руб. в течение 4 лет, и дополнительного ежегодного прироста потока на 200 руб. Денежный поток на рис. 3.5, б — ежегодного аннуитета, равного 1 тыс.

Приведенная величина одного евро (или другой валюты) прироста или снижения денежного потока G при процентной ставке r и для периода n лет рассчитывается на основе выражения:

PG = (1/r) х [(1/r) - 1/(r(1 + r)n - n/(1 + r)n]. (3.20)

Если денежный поток в каждый следующий период изменяется (увеличивает­ся или снижается) на постоянный процент g, то говорят, что изменение подчиня­ется закону геометрической прогрессии.

Примем, что в первый период денежный поток равен 1 тыс. руб. и в каждый следующий период увеличивается на 10% (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Увеличение денежного потока по закону геометрической прогрессии с g = 10% за период

F4 = Р1 х (1 + g)n - 1 = 1000 х (1 + 0,1)4 - 1 = 1331 руб.

Если ставка дисконтирования г равна g, то приведенная величина денежного потока P определяется из выражения:

P = n х P1 /(1 + г), (3.21)

где n — количество периодов, в течение которых генерируется денежный поток; Р1 — величина денежного потока в первый период, руб.; г — ставка дисконтирова­ния, доли ед.

Если ставка дисконтирования г не равна g, то приведенная величина денежного потока P определяется из выражения:

P = р /(г - g)] х [1 - ((1 + g)/(1 + r))n]. (3.22)

Пример 3.26. Денежный поток первого года равен 1 тыс. руб. и в следующие три года ежегодно увеличивается на 10%. Ставка дисконтирования принята равной 8%. Определить приведенную величину денежных потоков. Примем, что P1 = 1000, n = 4, г = 0,08, g = 0,1, и подставим эти значения в выражение (3.22):

P = [1000/(0,08 - 0,1)] х [1 - ((1 + 0,1)/(1 + 0,08))4] = 3807 руб.

Пример 3.27. Обратимся к данным предыдущего примера и примем, что г = 12%, т. е. г > g. В этом случае приведенная величина денежных потоков равна:

P = [1000/(0,12 - 0,1)] х [1 - ((1 + 0,1)/(1 + 0,12))4] = 3477 руб.

Пример 3.28. Вновь обратимся к данным примера 3.26 и примем, что величина денежных потоков ежегодно снижается на 10%, т. е. g = -10%. Тогда приведенная величина денежных потоков будет равна (формула 3.22):

P = [1000/(0,08 + 0,1)] х [1 - ((1 - 0,1)/(1 + 0,08))4] = 2876 руб.

резюме

Цена капитала на финансовом рынке определяется процентной ставкой. Она за­висит от ряда факторов, основными из которых являются спрос и предложение денежных ресурсов на финансовом рынке.

Процентная ставка используется для определения стоимости денег с учетом временного фактора. Могут применяться простые, сложные и непрерывно начис­ляемые процентные ставки.

При сравнении разновременных денежных потоков особую роль играет поня­тие приведенная (текущая) стоимость денежных потоков. На практике применя­ются шесть процентных множителей:

1. Множитель сложного процента, который выражает стоимость 1 руб., ин­вестированного сегодня под г % в год сроком на n лет. Будущая величина инвестированных сегодня S руб. определяется как произведение множителя сложного процента на сумму инвестиций S.

2. Множитель приведенной стоимости 1 руб. выражает сегодняшнюю стоимость 1 руб., который будет получен через n лет при процентной ставке, равной г % в год. Для определения приведенной величины S руб., получаемых через n лет, необходимо значение S умножить на множитель приведенной стоимости 1 руб.

3. Множитель сложного процента для аннуитета, который позволяет найти бу­дущую стоимость вложений в виде аннуитетов в 1 руб. под г % в течение n лет.

4. Множитель приведенной стоимости 1 руб. аннуитета, который позволяет определить при заданной процентной ставке приведенную величину денеж­ных потоков в виде аннуитетов, получаемых в течение ряда лет начиная с бу­дущего года.

5. Множитель накопительного фонда, который позволяет определить, сколько денежных средств необходимо инвестировать каждый период под г % в пери­од, чтобы через n периодов на счету был накоплен 1 руб.

6. Множитель погашения кредита выражает собой сумму денег, которую не­обходимо платить каждый период в течение n периодов с целью погашения кредита в 1 руб., полученного под г % в период.

Если денежные потоки изменяются, подчиняясь закону арифметической про­грессии, приведенная величина потоков рассчитывается как сумма приведенной величины аннуитетов и приведенной величины приростной части таких денеж­ных потоков. Если денежные потоки изменяются, подчиняясь закону геометриче­ской прогрессии, значение приведенной величины таких потоков будет зависеть от величины ставки дисконтирования и знаменателя геометрической прогрессии.

При заключении кредитного соглашения с банком заемщик должен ориентиро­ваться на минимум издержек, связанных с обслуживанием долга, поскольку раз­ные схемы погашения кредита обусловливают разные издержки по амортизации основного долга.

контрольные вопросы и задачи к гл. 3

1. Как изменится значение приведенной стоимости 1 тыс. руб., получаемых че­рез год, если ставка дисконтирования уменьшится?

2. Как изменится значение будущей стоимости 1 тыс. руб., если процентная ставка возрастет с 10 до 11% в год?

3. Существует ли связь между приведенной величиной будущих денежных по­токов, полученных за счет инвестированного капитала, и ставкой доходности инвестиций? Объясните ответ.

4. Влияет ли инфляционный процесс в экономике на стоимость кредитов на финансовом рынке? Обоснуйте ответ.

5. Как изменится ставка дисконтирования при снижении темпов инфляции в эко­номике? Обоснуйте ответ.

6. Финансовый менеджер принимает проект инвестирования 500 тыс. руб. в фи­нансовый инструмент, который может обеспечить получение дохода в раз­мере 10% в год в течение 4 лет. После истечения 4 лет менеджер планирует реинвестировать полученную сумму под 8% в год сроком на 3 года. Опреде­лить будущую стоимость денежных потоков, генерируемых этим инвестици­онным проектом.

7. Вернемся к предыдущему примеру и предположим, что менеджер имеет аль­тернативный проект инвестирования 500 тыс. руб. сроком на 7 лет под 9% годовых. Оценить привлекательность данного проекта в сравнении с преды­дущим.

8. Если через 5 лет вам необходимо иметь 100 тыс. руб., то какую сумму денег вы должны вкладывать на депозитный счет каждый год, если банк обещает выплачивать ежегодно 10%? Проценты начисляются два раза в год.

9. Страховая компания гарантирует выплату клиенту 240 тыс. руб. через четыре года после заключения договора о страховании жизни. Какую сумму долж­на внести страховая компания на депозитный счет в Балтийский банк при годовой процентной ставке, равной 11%, чтобы через четыре года она могла выполнить свое обязательство?

10. Предположим, что сегодня вы вложили на накопительный счет 50 тыс. руб. сроком на 5 лет под 10% в год, а в последующие 4 года вы ежегодно вклады­вали 10 тыс. руб. под 8% в год. Определите сумму денег, которую вы буде­те иметь на своем накопительном счете через 5 лет, если проценты на ваши вклады начислялись в конце каждого года.