1.3 Сложная процентная ставка

S = Р(1 + г)" (1-14)

где S — наращённая сумма, Р — первоначальный размер долга, і — сложная ставка наращения, п — число периодов (лет) наращения, (1 — множитель наращения по сложным процентам.

Пример 1.8. Какой величины достигнет долг, равный 6ООО руб,, через А года при росте по сложной ставке наращения 18,5 % год оных? Решение- S = Р(1 + бОООф+ІМШ}4 - 11831 }09 руб. е При наращении по сложным процєіітам наращенная сумма быстро растёт при у пел имении числа периодов (лет). В табл. 1.1 представлен множитель наращения в зависимости от числа лет дли двух значений ставки,

Таблица 1.1 TL, ЛЄТ г = 10% і =. 20% 5 1,61 2А9 Ю 2,594 G:192 20 0,727 38,34 50 117,4 9100,4

Формулу (1.14) используют и в том случае, когда срок для начисления процентов яаляегся дробиым числом.

Пример 1.9. Какой величины достигнет долг, равный 8000 руб, через 4,6 года при росте по сложной ставке наращения 20 % годовых?

Р cine и н Є-

S- + = 8 000- (1 + Q,2)4fi = 18506,48 руб. ¦

1.3.2, Номинальная процентная ставка наращения. Часто в финансовых операциях в качестве периода наращения процентов используется не год, а, например, месяц, квартал или другой период, В этом случае говорят, что проценты начисляются тп раз в году.

f і \тп

Пр и м ер 1.10. Какой величины достигнет долг, равный 15 000 руб, через 5,7 года при росте по сложной ставке 16,5 % Е-ОДОВЫХ при начислении процентов раз в году и помесячно?

Р ешен не.

5 = Р( 1 4- г)" = 15 000 (1 + 0,Ш)*7 = 35 821,93 руб.

S = p(l + X)mT1 - 16000 (l -4- Ц^)1^7 = 38 173,55 руб. ¦

S:v3] Сложная прд^скттгмол с шнека II

1-3.3. Дисконтирование. Определение дисконтирования по сложной процентной ставке то же, что и по простои, данной о разделе 1.2.2, Используя (1.14) Й (1.15), получим формулы дисконтирования сложных процентов:

іу <1ЛВ)

МІЮЖИТЄЛИ = v и ~ 1, ч = tf называются дисконтиЫМ11

Ы)

множителями. Разность

D^S - Р (1-17)

называется дисконтом с суммы Я.

Пример 1.11. Построить таблицу для дисконтного множителя при сроке ссуды 5; 10; 20; 50 лет и при сложной ставке наращения 10 % и 20%.

Решение. Результаты приведены в табл. 1.2. я

Таблица 1-2 rlj лет і ^ 10% і = 20% 8 0,621 | 0,402 10 0,386 0,Ш 20 0,149 0,026 50 0,008 52 0,00011

Пример 1.12. Сумма 12000 руб. выплачивается через 2,4 года. Номинальная ставка процентов — 16% годовых:. Определить современ-ную стоимость при ежеквартальном начислении процентов. Решение,

D & 12000 nt й

р = ^ —= 8234,95 руб. ¦

і і

NT b

1.3.4. Сложная учётная ставка. В этом случае каждый раз учетная ставка применяется не к первопачалыюй сумме, как при просіюй учётной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем шаш во времени. Поэтому сумма, выдаваемая банком при учёте векселя, рассчитывается по формулам:

f А ч"1*1

P = S{\-df-t , (lis)

12

Простые и сложные процетпы

Пример 1.Щ Вексель на сумму 20ООО руб., срок платежа, по которому наступает через 1,8 года^ учтён но СЛОЖНОЙ процентной ставке 18% годовых.

Решение,

Р = 5(1 - = ]ЗІ2,40 руб.

[) = ? ~ Р 20000 - 13Ш,48 = 0007,51 руб.

/ р і штіг f л -t ц ч 12 Q Iti

Р ^ (i-^J = 20000 (1 - ^-J - 14429,52 руб.

D = S - P = 20000 - 14 42H(52 = 5ШЩ і>У& в

1,3.5, Сила роста, Цели б фирмуле (1.15), определяющей наращённую сумму при использовании номинальной процентной Ставки наращения, периоды начислення процентов постои и но уменьшать, то кол и честно этих периодов в году будет уиели чи ваться. R пределе при стремлении длительности периодов к нулю их число стремится к бесконечности. Такое начисление процентов называется непрерывном, а процентная станка при непрерывном начислении называется силой роста. Большое значение ие прерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например, при анализе характеристик ценных бумаг.

Сила роста называется постояиной, если она ие изменяется во времени. Если сила роста изменяется во времени, то она наэыиается переменной.

Формула для наращённой суммы при непрерывном начислении процентов для постоянной силы роста 5 следует из формулы (1.15) при стремлении 171 к бесконечности, то есть:

s ы ІІШ р

m-юв \ in/

Т^к как iim (1 4- j/m)m — &, где е — число Эйлера (основание нату-

ХП + со

ральных логарифмов), то, заменяя j іга силу роста (5, получим формулу для наращённой суммы при непрерывном начислении процентов;

(MB)

Связь дискретных ставок і и j с силой роста її находится из равенства множителей наращения дискретных (1.14), (1.15) и непрерыв^ пой (1.19) ставок, то есть;

(I + і)" = (і + = ёЩ

Решив эти у раине и ия, получим:

N^-ClW, г = сг — 1, (1.20)

ff = mln(l + i), (1.21)

1.3 J

13

Сложная процентная станка

По формулам (1.20) и (1.21) можно, в частности, зная дискретные ставки ценных бумаг, рассчитать силу роста этих бумаг.

Пример 1.14 На сумму 15000 руб, начисляются проценты по сложной годовой ставке і = 22% в течение 3,6 лет. Определить силу роста и наращённую сумму при дискретном it непрерывном начислении.

Решён иё.

6 ~ In (1 -I- г) — In 1,22 = 0,198 Ш 84 или Н),й85 084 %.

Наращённая сумма при непрерывном начислении:

S Ь РеАп 150= 30085,04 руб.

Наращённая сумма при дискретном начислении:

S = P(l + i)n = 15 000(1 4-0,22)^ =30085,04 руб.

Таким образом, как и следовало ожидать, наращённые суммы при дискретном и непрерывном начислениях совпали.

Пусть переменная сила роста изменяется во времени, то есть 5ц =¦ = f(t). В этом случае наращённая сумма и современная стоимость определяются соотношениями;

S dtР dty (1.22)

о о

Рассмотрим случаи изменения силы роста по линейному закону и но экспоненте.

При линейном изменении силы роста от времени множитель наращения имеет вид:

п п / 2\

expQ St — exp^ j (Jo + й?) = exp + j > 0 0 ^ '

где Jo — начальное значение силы роста, а — прирост силы роста.

При экспоненциальном изменении силы роста от времени множитель наращеиня имеет вид:

Tt и

exp^ It dtj = exp^j^oe4 dt^j = exp(Jo (б'1 ~ О) • о о

ТЪким образом, формулы (1.22) для рассмотренных случаев можно переписать в виде:

S = Рехр(4(еп ~ 1)), (1.22а) P^Sexp t^ Uott^^-jj , Р = Sexp(~Men-l)). (1-226)

Простые и сложпьіе проценты

Пример 1.15. Определить современную стоимость суммы 25000 руб., выплачиваемой через 2,8 года, при линейном изменении силы роста, когда начальное значение силы роста So — 0,12, а прирост силы роста а = 0,1. Решение.

— 25ООО ^ехр ^ (о,12 2,8 + Slil^jjj - 12071,84. Л

1.3.0, Определение срока ссуды и величины процентной станки. Формулы для определения срока ссуды и величины процент^ nofl ставки при начислении ло сложным процентам следуїог ни формул для расчет наращённой суммы (1Л4> 1.15,1,18,1*19,1.22а). В качестве примера рассмотрим методы определения срока ссуды н величины процентной оаекн для номинальной ставки (1 15) и для линейного изменения силы росга (1.22а).

Формулу (1Л5) перепишем в виде,-

1=(1+?Г- и»)

Прологарифмировав левую и правую чисти этого уравнения, получим:

Окончательно находим;

<4

7t w , г _ , {1,24)

Г»

Дли определения величины номинальной процентной ставки возведем правую и левую части уравнения (1.23) в степень 1/тп,

(?Г=>+1

Of г к кі а находим;

^Ч^Г"1)- (І-*)

лЛ Р" ге|> 1Ж За какс>й Равная 25 000 руб., достигнет

„рт начислении но сложной процентной ставке 18% годовых , 1 осмотреть случаи помесячного начисления процентов и раз

1-31 Сложная яроцдитндл ставки 16

Р еш е н и е.

In — in 4tLODO ft^ я ll_25QCQ—.

|w 1+

Э ЩЩ

При начислении процентов раз у году формула (1.24) приобретает вид:

1п? |п 40 000

п - - Р , — 24 ООО _

In (1-М) ~ Ї^ЇТЇЇД&) = ш лет>

Таким образом, срок ссуды при намислений раз в году больше срока ссуды при помесячном начислении. ¦

Пример L17, Финансовый инструмент куплен за 25ООО руб., его выкупная цена через 1,8 года составит 35 000 руб., проценты начисляются один раз в месяц. Определить доходность операции в виде номинальной Ставки и годовой ставки сложных процентов.

Решение. Находим номинальную процентную ставку по формуле (1.25):

_ Л _ 12//Ш*-')

; - ^щ) -11= 0,183393

или 18,84 %. Определяем доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов, используя соотношение:

і = (f fi -1 = (ІЦ)^ - 1М 0,205 5417 или 20,55 %. Я

Определение срока платежей и силы роста при остальных известных параметрах для случая непрерывного начисления процентов рассмотрим на примере линейного изменения силы роста от времени. Для этих целей первую формулу (1.22а) запишем в виде:

І 5 JT . in — = 50п + —.

Отсюда определяем искомые величины:

Ф

п —

-'¦""'''"Л ьЛ- X п.щ

ТІ

Знак «плюс» перед корнем выбран из-за условия га > 0.

Пример 1.18. За какой срок сумма, равная 22000 руб., достигнет 50 000 руб, при непрерывном начислении процентов? Сила роста во времени изменяется по линейному закону, начальное значение силы роста = 0,12, а прирост силы роста а — 0,1.

Только " для'' ознакомления. Специально для МирКниг

[Гл.1

16

Простые и сложные проценты

Решени е.

~с / 50 ООО

-А + Jsl + 2а In ? -0,12 + Ja,n* + 2 . од In

0,1

а

п —

= 3,026 года.

Пример 1.19- Определить начальное значение силы роста при ее линейном изменении во времени, если долг о a 2h5 года увеличится с У ООО руб до 10 ООО руб. при приросте силы роста а = —ОД, Решен и е,

? - h 15000 + °'Д '2^ S0 = = " 8ШЮ _ 2_ в о 3764 или 37,64%.

п

2,5