II. PRINCIPIA MATHEMATICA

В предыдущем разделе я попытался объяснить затруднения, с которыми сталкивается теория: пропозиции математики являются тавтологи- ими, в этом разделе мы должны обсудить неудавшееся решение этих затруднений, данное в Principia Mathematica.

Существуют неопределяемые классы или же нет - это вопрос эмпирический; обе возможности мыслимы. Но даже если на самом деле все классы определимы, мы не можем в нашей логике отождествить классы с определяемыми классами, не нарушая априорности и необходимости, которые являются сущностью логики. Но если кто-либо всё ещё считает, что под классами мы подразумеваем определяемые классы, а под 'Суще-ствует класс' - 'Существует определяемый класс', предложим ему рассмотреть следующую иллюстрацию. Эта иллюстрация относится не точно к этой проблеме, а к соответствующей проблеме для двух переменных. Но этот вопрос настолько явно аналогичен другому, что ответ на оба вопроса должен быть одним и тем же.

Риссмотрим пропозицию' х (^c)sm х щ' (т.е. класс, определяемый по-

• |нчіі том фх , имеет то же самое кардинальное число, что и класс, опре-

мимисмый посредством ц/х ); она определяется так, чтобы подразумевать, •і мі гушествует одно-однозначное отношение по объёму, чья область есть

«(|Л<) и чья конверсная область есть х(цдс). Теперь, если под отношени- I м по объёму мы имеем в виду определяемое отношение, это подразуме- иііі'і, что два класса имеют одинаковое кардинальное число только тогда, пила существует действительное отношение или функция Дд:,^), соотно- I нити их элемент за элементом. Однако ясно, что Кантором, который перни П дал это определение, подразумевалось просто то, что они могут быть І HOI несены, а не то, что должна быть пропозициональная функция, кото- |шч действительно нх соотносит . Так, класс ангелов-мужчин и класс ан- I ічіии-женщин могут быть бесконечными и равными по числу, так что можно было бы разделить всех мужчин и женщин на пары, без наличия мікоіх)-либо действительного соотносящего их отношения, такого как брак.

Второй недостаток в Principia Mathematica представляет неудачную попытку преодолеть не затруднения, вызванные экстенсиональностью математики, как в случае с первым недостатком, но затруднения, вызванные противоречиями, обсуждаемыми в конце раздела I. От этих противоречий предлагается избавиться с помощью того, что называют теорией типов, которая в действительности состоит из двух различных частей, мимравленных соответственно против двух групп противоречий. Эти две части были объединены, будучи выведены скорее небрежным способом из 'принципа порочного круга', но мне кажется существенным рассматривать их раздельно.

Противоречия группы А устраняются указанием на то, что пропозициональная функция не может значимо принимать саму себя в качестве аргумента, и разбиением функций и классов на иерархию типов в соответствии с их возможными аргументами. Так, утверждение, что класс является членом самого себя, не истинно и не ложно, но бессмысленно. Эта часть теории типов кажется мне безусловно правильной, и я не буду обсуждать её далее.

Далее, первая часть теории различает типы пропозициональных функций по их аргументам; так, есть функции от индивидов, функции функций от индивидов, функции функций от функций индивидов и т.д.

Мы начинаем с атомарных пропозиций, которые объяснены в разделе I. Из них посредством штриха (p!q = нир, нн q не являются истинными) мы можем сконструировать любую истинностную функцию конечного числа атомарных пропозиций в качестве аргументов. Семейство полученных таким образом пропозиций называется элементарными пропозициями. Подстановкой переменной вместо имени индивида на место одного или более его вхождений в элементарную пропозицию мы получаем элементарную функцию от индивидов. Элементарная функция от индивида 'ф х ' есть, таким образом, функция, чьими значениями являются элементарные пропозиции, т.е. истинностные функции конечного числа атомарных пропозиций. Такие функции в первом издании Principia Mathematica назывались предикативными функциями. Мы будем говорить о них под их новым названием, а выражение 'предикативная функция' в следующем разделе будем использовать в новом оригинальном смысле, для которого оно, по-видимому, подходит больше. В общем, элементарная функция или матрица одной или более переменных, неважно являются ли последние индивидными или же нет, - это функция, чьими значениями являются элементарные пропозиции. Матрицы обозначаются восклицательным знаком после функционального символа. Так, 'F!(0!z, 0 ' 2 , х > у У есть матрица, имеющая в качестве аргументов два индивида и две элементарные функции от индивидов.

Из элементарной функции ' $ ! х ' мы, как в разделе I, получаем про-

шпиции '(х). $ їх' и '(Эх). $ !*', которые утверждают истинность всех mm но крайней мере одного из значений 'ф 1х\ Сходным образом из эле-

мюнирной функции от двух индивидов 'ф\(х, у)' мы получаем функ-

мин от одного индивида типа (у).

Предположим, а является константой. Тогда кф !а' будет обозначать ппи различных значений ф все различные элементарные пропозиции, у которых а является конституентой. Следовательно, мы можем образовать пропозиции (ф). ф\а и (3ф). ф\а, утверждающие истинность всех или по >рнйией мере одной пропозиции из вышеуказанного семейства пропозиций.

Іншеє общо, записывая (ф). Я(ф] z) и (Эф). Щф! z), мы можем утверж-

жи ь истинность всех или по крайней мере одного из значений Р,(ф! z). Такие пропозиции явно не являются элементарными, поэтому, такие функции, как (ф). Р\(ф г !, х), не являются элементарными функциями от*. О іііких функциях, включающих совокупность элементарных функций, говорится, что они относятся ко второму порядку, и их записывают как ф^с. І Ірименяя новую переменную ф2, «мы получим другие новые функции:

(f2).f\(f1Az,x)u(3f1).fl(fJ,x),

которые опять-таки не встречаются среди значений для ^ jc (где фг является аргументом), потому что совокупность значений фг z , которые зат- ріи иваются теперь, отличаются от совокупности значений ф !, которые подразумевались первоначально. Однако мы можем расширить значение ф так, чтобы функция OTJC, В которой ф встречается как мнимая переменная, имела, соответственно, расширенное значение; однако чтобы ф можно было определить, (ф) ./\(ф z, х) и (3ф) ./1(ф z , х) никогда не могут быть значениями фх. Попытка сделать их таковыми похожа на попытку поймать свою собственную тень. Невозможно получить одну переменную, которая охватывает среди своих значений все возможные функции от индивидов» .

Для способа, где такое различие функций на порядки, для которых невозможна общность, используется для того, чтобы избежать противо- речий группы В, рассматриваемых как следствие двусмысленности языка, не учитывающего это различие, можно сослаться на Principia Mathematical. Здесь этот метод можно подходящим образом применить к не указанному в этой работе противоречию, которое свободно от посторонних деталей.

Согласно принципам Principia Mathematica это противоречие следует решать следующим способом. Прилагательное является символом для

пропозициональной функции, например 'ф' для фх . Пусть R является

отношением обозначения между '0' и фх . Тогда 'w есть гетерологическое' представляет собой '(3 ф). \\>Я{ф х).~фм\ Здесь, как мы видели, мнимая переменная (^должна иметь определённую область значений (например, область элементарных функций), членом которой не может быть само Fx = :. (Эф) : хЯ(ф х ). ~фх. Поэтому само 'гетерологическое' или 'F ' не является прилагательным в том смысле, в котором прилагательным является 'ф '. У нас нет (3$). 'Р'Я(фх ), поскольку значение '/*" не является функцией, включённой в область 'ф'. Поэтому, когда гетерологическое и автологическое определяются недвусмысленно, 'гетерологическое' не является прилагательным в рассматриваемом смысле и не является ни гетерологическим, ни автологическим, и противоречия - нет.

Таким образом, эта теория иерархии порядков функций от индивидов избегает противоречий, но она приводит нас к почти равному серьёзному затруднению, ибо лишает силы многие важные математические аргументы, которые, как оказывается, содержат такие же ошибки, что и противо-речия. В первом издании Principia Mathematica предлагалось оправдать эти аргументы с помощью специальной аксиомы, аксиомы сводимости, которая утверждала, что для каждой неэлементарной функции существу- ні ніишшлентная элементарная функция . Нет причины предполагать ис- | инность данной аксиомы; если бы она и была истинной, то это было бы rim і никой случайностью, а не логической необходимостью, ибо она не ни ІЧҐТСЯ тавтологией. Определённо это будет показано в разделе V, но і сИчнс достаточно было бы того, что она не кажется тавтологией, и нет причины предполагать, что она является таковой. Такая аксиома не должно нмеїь места в математике, и всё, что не может быть доказано без её in пользования, вообще не может рассматриваться как доказанное.

Они, вероятно, имеет ценность, пока мимоходом не заметят то, что нпиїла пропускается. Можно спросить, почему аксиома сводимости не іінгіїроіпводит противоречия, которые устранило различие между элемен- I >і|м11.1 ми и другими функциями? Ибо она утверждает, что для любой не- • м'моп гарной функции есть эквивалентная элементарная функция, а по- шму может утратиться то, что было достигнуто проведением различия. Ни, однако, не имеет места благодаря особой природе рассматриваемых противоречий, ибо, как указано выше, второе множество противоречий иг инляется чисто математическим, но включает идею мысли или значе-нии, и связи с которыми эквивалентные функции (в смысле эквивалент- ікн'гп, объяснённой выше) не являются взаимозаменимыми; например, і к VI определённым словом или символом может подразумеваться одно, а ні' цруroe, и одно может быть определимым, а другое - нет . С другой і тропы, любое чисто математическое противоречие, возникающее из смешения элементарных и неэлементарных функций, исправлялось бы с помощью аксиомы сводимости благодаря экстенсиональной природе мате- мшики, в которой эквивалентные функции взаимозаменимы. Но то, что ііікое противоречие возникает, показано не было, поэтому аксиома сводимости, по-видимому, не является самопротиворечивой. Эти рассуждении проясняют особенности этой второй группы противоречий и даже делают более вероятным то, что они имеют психологическое или эпистемологическое, а не чисто логическое или математическое решение; поэтому в рассмотрении этой темы в Principia есть нечто ошибочное.

Принципиальные математические методы, которые, по-видимому, требуют аксиомы сводимости, - это математическая индукция и Дедекиндово сечение, сущностные основания арифметики и анализа соответственно. М-р Рассел преуспел в том, чтобы обойтись без этой аксиомы в первом случае2', но отказался от надежды на подобный успех во втором. Та-ким образом, Дедекиндово сечение остаётся, по существу, нелогичным методом, как часто подчёркивалось Вейлем , и обычный анализ рассы-пается в прах. То, что это является её следствиями, - второй недостаток теории Principia Mathematica, и, по моему мнению, является абсолютно последовательным доказательство того, что в ней есть нечто ошибочное. Ибо, поскольку я не в состоянии ни принять аксиому сводимости, ни отвергнуть обычный анализ, я не могу поверить в теорию, которая не предоставляет мне третьей возможности.

Третий серьёзный недостаток Principia Mathematica заключается в трактовке тождества. Следует разъяснить, что подразумевается под нуме- рическим тождеством, т.е. тождеством в том смысле, чтобы считать за одно, а не за два. Для этого даётся следующее определение:

'х = у. = \(ф)-.ф\х.-э.ф\у. Df.' .

То есть две вещи являются тождественными, если у них все их элементарные свойства общие.

В Principia утверждается, что это определение зависит от аксиомы сводимости, поскольку без этой аксиомы две вещи могут иметь общими все свои элементарные свойства, но всё-таки не согласовываться в отношении функций более высокого порядка; и в этом случае их нельзя рассматривать как нумерически тождественные . Хотя, как мы увидим, оп-ределение должно быть отвергнуто на других основаниях, я не думаю, что оно таким способом зависит от аксиомы сводимости. Ибо, хотя от-брасывание аксиомы сводимости разрушает очевидное общее доказательство того, что две вещи, согласующиеся в отношении всех элементарных функций, согласуются также в отношении всех других функций, я думаю, что это всё ещё следует и, вероятно, может быть доказано в любом отдельном случае. Возьмём, например, типичные фикции второго порядка:

Тогда, если у нас есть (ф) : ф\х . = . ф 1у (х = у), отсюда следует

іф)./\(ф1 z ,х). = .р.(ф \ z поскольку/\(ф\,х)является элементарной нкцией х. Откуда

и (Зф) ./!(<#! 2, д ) : в : (30 ./!(<# lz,y).

< нодовательно, отбрасывание аксиомы сводимости не приводит непосредственно к отбрасыванию определения тождества.

Реальное возражение на такое определение тождества - это то же самое возражение, что было выдвинуто против определяющих классов как определяемых классов. Данное определение интерпретируется неверно, поскольку не определяет тот смысл, в котором действительно использу- • ии символ тождества. Последнее можно наблюдать, когда определение мокнет самопротиворечивым то, что у двух вещей все их элементарные шойства общие. Это вполне возможно, даже если, фактически, этого никогда не происходит. Возьмем две вещи а и Ь. Тогда ничего самопротиво- рсчиного нет ни в том, чтобы а обладало любым самонепротиворечивым множеством элементарных свойств, ни в том, чтобы этим множеством обладало Ь, ни, следовательно, в том, чтобы а и Ь имели эти свойства общими. Стало быть, поскольку это логически возможно, существенно иметь такой символизм, который позволял бы нам рассматривать эти возможности, а не исключать их посредством определения.

Бесполезно выдвигать возражения, что невозможно различить две мсти, у которых все свойства общие, поскольку если дать им различные имена, это будет значить, что обладание этими именами уже является различными свойствами. Ибо, хотя, так сказать, это и совершенно верно, что и ис могу по указанной причине знать какие-то две отдельные неразличимые вещи, однако я вполне могу рассматривать такую возможность или диже знать, что есть две неразличимые вещи, не зная, что они собой представляют. Возьмбм аналогичную ситуацию: поскольку людей на земле больше, чем волос на голове любого человека, постольку я знаю, что должны быть по крайней мере два человека с одним и тем же числом волос, но я не знаю, какие именно это люди.

Эти аргументы усилены открытием Витгенштейна, что знак тождества не является необходимой конституентой логического символизма, но может быть заменён соглашением, что различные знаки должны иметь различные значения. Это можно найти в Tractatus Logico-Philosophicus

Лі ".jiiuU'

ii W

40 Опубликованные статьи

на с. 139; данное соглашение несколько неясно, но его можно сделан определённым и, следовательно, работающим, хотя, в общем, и неудобным. Но даже не имея другой ценности, оно обеспечивает эффективное доказательство того, что тождество может быть заменено символической конвенцией и, следовательно, является не подлинной пропозициональной функцией, но просто логическим приспособлением.

Мы, следовательно, делаем вывод, что трактовка тождества в Principia Mathematica основана на неправильном понимании математики и так же, как ошибочное определение классов особенно неудачно в связи с аксиомой мультипликативности, так и ошибочное определение тождества особенно вводит в заблуждение в связи с аксиомой бесконечности. Ибо, как мы увидим в разделе V, две пропозиции 'Существует бесконечное число вещей' и 'Существует бесконечное число вещей, отличающихся друг от друга в отношении элементарных функций' крайне различны.