III. ПРЕДИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ

В этом разделе мы рассмотрим второе из трёх возражений, которые сделали в последнем разделе относительно теории оснований математики, данных в Principia Mathematica. Это возражение, вероятно, наиболее серьёзное из трёх, направлено против теории типов, которая, по-видимому, включает либо принятие неоправданной аксиомы сводимости, либо отказ от такого фундаментального типа математического доказательства, как Дедекиндово сечение.

Мы вновь начнём с той части его теории пропозиций, о которой уже говорилось в первом разделе. Мы видели, что он объясняет пропозиции в общем, ссылаясь на атомарные пропозиции; каждая пропозиция выражает согласование и несогласование с истинностными возможностями атомарных пропозиций. Мы видели также, что можно сконструировать много различных символов, и все они будут выражать согласование и несог-ласование с одним и тем же множеством возможностей. Например,

lp z> q\ l~p . v . q\ '-:/>. ~q\ ~p' MIWMMIICH таким множеством; все они согласуются с тремя возможностями

'/?. q\ '-/?. q\ '-/? . ~q\

ми не согласуются с одной 'р. ~q\ О двух символах такого рода, которые мирнжиюг согласование и несогласование с одним и тем же множеством *И ІМОЖІІОСТЄЙ, говорится, что они являются примерами одной и той же н||ин(11иции. Они являются её примерами так же, как все определённые и|ч мкми на странице являются примерами слова 'the'. Но тогда как опре- киїИішьіе артикли являются примерами одного и того же слова из учёта и* физического сходства, различные символы являются примерами одні ill II гой же пропозиции из-за того, что они имеют один и тот же смысл, і г иыражают согласование с одним и тем же множеством возможностей.

I о иропозициях, мы будем подразумевать типы, примерами которых

ннііииііся индивидуальные символы, и будем включать типы, для которых примеров, возможно, нет.

Июбая пропозиция выражает согласование и несогласование с допол- шпольными множествами истинностных возможностей атомарных проникший, и наоборот, для любого множества таких истинностных возможностей было бы логически возможным утверждать согласование с одними пропозициями и несогласование со всеми другими, стало быть, мно- •ми ию истинностных возможностей определяет пропозицию. На прак- I икс эта пропозиция может быть крайне трудной из-за ограниченности но іможностей нашего языка, ибо нам недостаёт как имён для множества оЫ.октов, так и методов создания утверждений, включающих бесконечное число атомарных пропозиций, кроме относительно простых случаев, IHKHX как '(х). фх\ который, вероятно, включает бесконечное множество (н определённых случаях) атомарных пропозиций 'фа\ *фЬ' и т.д. Тем не менее мы должны рассмотреть и те пропозиции, для выражения которых IIIIIII язык не подходит. В '(х) . фх' мы утверждаем истинность всех возможных пропозиций, которые имели бы форму 'фх\ и неважно, есть ли у икс имена для всех значений х. Очевидно, что общая пропозиция должна пониматься как то, что применяется вообще ко всему, а не просто ко всему тому, для чего у нас есть имена.

Теперь в связи с теорией типов мы подходим к самому важному пун- и іу. В последнем разделе мы объяснили, что подразумевается под элементарной пропозицией, а именно пропозиция, эксплицитно сконструи- роианная как истинностная функция атомарных пропозиций. В данный

—'tiMjjjj^^

момент нам необходимо заметить, что, по теории Витгенштейна, эдеме» тарность в общем является прилагательным не для типа пропозиций, но только для его примеров. Ибо элементарный и неэлементарный пропозициональный символ могут быть примерами одной и той же пропозиции. Так, предположим, что создан список из всех индивидов 'я', '6', ...

Тогда, если бы фх была элементарной функцией, то ' фа. фЬ фг' была

бы элементарной пропозицией, а '(*) • Ф*? - неэлементарной; но они выражали бы согласование с одними и теми же возможностями и, стало быть, были бы одной и той же пропозицией. Или возьмём пример, который дей' ствительно может встретиться,' фа' и ''фах (Зле) ¦ фх' являются одной и той же пропозицией, поскольку (3*). фх ничего не добавляет к фа. Но первая является элементарной, а вторая - неэлементарной.

Следовательно, некоторые примеры пропозиций могут быть элементарными, а некоторые - неэлементарными, так что элементарность на самом деле является характеристикой не пропозиции, но её способа вьг ражения. 'Элементарная пропозиция' подобна 'высказанному слову'; по> добно тому, как одно и то же слово может быть и сказано и написано, тац и одна и та же пропозиция может быть выражена как элементарно, так и не элементарно.

После этих предварительных объяснений мы перейдём к теории про позициональных функций. Под пропозициональной функцией от инди видов мы подразумеваем символ формы 'Д ?, у, ?, ...)', который таков,

что, если вместо ' JC '» ' у \ ' z ' ¦•• в него подставить любые индивиды,

результат всегда будет пропозицией. Это определение нужно дополнить объяснением, что два таких символа рассматриваются как одна и та же функция, когда подстановка того же самого множества имён в тот и дру гой символ всегда даёт одну и ту же пропозицию. Так, если '/(а, Ь, с)' и b, с) являются одной и той же пропозицией для любого множества а,

Ь, с, то 'Д х , у, z )' и 'g( х, у, г)' являются одной и той же функцией,

даже если они выглядят совершенно по-разному.

Функция32 'ф' х Даёт нам для каждого индивида пропозицию в смысле пропозиционального типа (который может не иметь каких-либо примеров, если мы не смогли придать индивиду имя). Поэтому функция собирает вместе множество пропозиций, чью логическую сумму и произведение мы утверждаем, записывая соответственно '(Эх) . фх' и '(х).

новятся пропозициями, если ввести в них имя индивида. И эта области символов, действительная или возможная, не фиксируется объективно, но зависит от наших методов их конструирования и требует более точно) го определения.

Это определение может быть дано двумя способами, которые можнй развести как субъективный и объективный методы. Субъективный метод - это метод, принятый в Principia Mathematica', он состоит в о преде» лении функций как всех тех функций, которые, в первом приближении, могут быть сконструированы определённым способом лишь использова) нием знака'/'. Мы видели, каким образом это приводит к тупику аксиомы сводимости. С другой стороны, я буду применять совершенно оригиналу ный объективный метод, который приведёт нас к удовлетворительной теории, где такая аксиома не требуется. Этот метод должен трактовать фунн кции от функций, насколько это возможно, тем же самым способом, как функции от индивидов. Знаки, которые могут быть подставлены как аргументы ъ'фх \ функции от индивидов, определяются их значениями; они должны быть именами индивидов. Сходным образом, я предлагаю опре<| делять символы, которые могут быть подставлены как аргументы в %фх )', не по способу их конструирования, но по их значениям. Это более труда ио, поскольку функции не обозначают единичные объекты, как делаюі имена, но обладают значением более сложным способом, производным от значений пропозиций, которые являются их значениями. В конечном счёте проблема в том, чтобы в качестве значений /[фх) зафиксировать некоторое определённое множество пропозиций так, чтобы мы могли утверждать их логическое произведение или сумму. В Principia Mathematica они определялись как все пропозиции, которые могут быть сконструиро-ваны определённым способом. Мой метод, с другой стороны, состоит в том, чтобы рассмотреть, как мы можем их сконструировать и определит^ с помощью описания их смысла или сути; и, поступая так, мы могли бы быть способны включить в это множество пропозиции, для которых у нас нет способа конструирования, точно так же, как мы включаем в область значений фх пропозиции, которые не можем выразить из-за недостатка имён для рассматриваемых индивидов.

Мы должны начать описание нового метода с определения атомарных функций индивидов как результата замены переменными любых имён индивидов в атомарных пропозициях, выраженных использованием одних имён; если имя встречается в пропозиции более чем однажды, оно ни*» і быть заменено одной и той же или разными переменными или ос- ІМИ.ГИ одной в её различных вхождениях.

Інієм мы распространяем на пропозициональные функции идею ис- ишннстных пропозициональных функций. (Первоначально, конечно, функции, на которые мы её распространяем, являются только атомарны- ми, но расширение работает также и в общем; поэтому я установлю его в нЛщим.) Предположим, у нас есть функции фх( X , у ),ф2( X , у ) и т.д., тог- ¦I», шворя, что функция у{х,у) является определённой истинностной функцией (например, логической суммой) функций X , у ), ф2( X , у ) И і и и пропозиций р, q и т.д. мы подразумеваем, что какое-то значение "і і, у), скажем, цКа, Ь), является этой истинностной функцией от соот- ііі-ігтпующих значений ф[х, у), ф2(х,у) и т.д., т.е. ф[а, Ь), фг(а, Ь) и т.д., и пропозиций р, q и т.д. Это определение позволяет нам включить функции и число аргументов любой истинностной функции, ибо оно всегда даёт ним уиикальную функцию, которая является истинностной функцией от • і их аргументов; например, логическая сумма фх( х), ф2(х) ¦¦¦ определя- 1чсм как і/jx), где цКа) есть логическая сумма фа, ф2а ..., определённая пропозиция для каждого а, так что \р(х) есть определённая функция. Она миимотся уникальной, поскольку, если бы их было две, а именно у/х(х) и уі), то у/х(а) и у/г(а) были бы для каждого а одной и той же пропозици- гІІ, п следовательно, две функции были бы идентичными.

Теперь мы можем дать наиболее важное в этой теории определение, определение предикативной функции. Я не использую этот термин в смыс- ||г первого издания Principia Mathematica, как я следую более поздним рпботам Рассела в использовании 'элементарная'. Понятие предикатив-ной функции в моём смысле - это понятие, которое не встречается в I'rincipia и которое отмечает существенное расхождение двух процедурних методов. Предикативная функция индивидов - это функция, которая ннляется любой истинностной функцией, аргументами которой, конечными или бесконечными по числу, являются все либо атомарные функции от индивидов, либо пропозиции .

<К х , у ), ф( X , у ) . V . р, О) . 0( X ,у)

является предикативной функцией. [Последняя является предикативной, поскольку представляет собой логическое произведение атомарных функций ф(х ,у) для различных значений у.

Для функций от функций есть более или менее аналогичное опреде-ление. Во-первых, атомарная функция от (предикативных) функций индивидов и от индивидов может иметь только один функциональный аргумент (скажем, ф), но может иметь много индивидных аргументов (х, у и т.д.) и должна обладать формой ф(х,у ... a, b ...), где la', lb'... являются

именами индивидов. В частности, атомарная функцияz ) имеет форн му фа. Предикативная функция от (предикативных) функций индивидов и от индивидов - это функция, которая является истинностной функцией,

чьими аргументами являются все либо пропозиции, либо атомарные функ-

Л л

ции от функций индивидов и от индивидов, например ф а. r>. w bw.p

л

(функция ф, і//), (х). ф х (логическое произведение атомарных функций

Л л

фа , ф b и т.д.). Ясно, что функция встречается в предикативной функции только посредством своих значений. Этим путём мы можем перейти к определению предикативных функций от функций функций и т.д. до любого порядка.

Л Л Л

Рассмотрим теперь такие пропозиции, как (ф) . Дф х), где Дф * )

является предикативной функцией от функций. Под областью значений ф мы понимали все предикативные функции; т.е. (ф) .Дф х ) является логи-ческим произведением пропозиций Лф х ) для каждой предикативной функции, и поскольку это определённое множество пропозиций, мы приписали (ф) . /(Рассмотрим теперь функцию отх, функцию (ф) .,/{ф г , х). Является ли она предикативной функцией? Она представляет собой логическое про-изведение пропозициональных функций от х,Лф z , х) для различных ф- ок, которые, поскольку/предикативна, являются истинностными функ-

НИЧМИ от фх и пропозициями, возможно переменными для ф, но постоянными для х (например, фа), фх-ы, поскольку ^-ки предикативны, являются m і иипостными функциями атомарных функций х. Таким образом, пропо- шииональные функции отх, т.е.Д^г, х), являются истинностными функциями атомарных функций х и пропозиций. Следовательно, они являются индикативными функциями и их логическое произведение (ф) •Цф'т , х) •пишется предикативным. Более общо, ясно, что посредством обобщения, ні швисимо от типа мнимых переменных, мы никогда не сможем создать функцию, ибо обобщение является истинностной функцией своих примеров и, если примеры предикативны, предикативным IIикнется и оно.

Таким образом, все функции индивидов, встречающиеся в Principia, ніііініотся предикативными в нашем смысле и включены в нашу переменную ф, так что всякая необходимость в аксиоме сводимости исчезает.

11о, возразят, в этом, конечно же, содержится порочный круг, вы не

мнжете включить Fx-ІФ) 'Афг , х) в ф- ки, ибо это предполагает совокупность ф-ок. Однако на самом деле это не является порочным кругом. Пропо- ищни Fa - это, конечно, логическое произведение пропозицийД^ z , а), но имріпить её подобным образом (единственно возможным для нас) - значит просто описать её определённым способом, ссылаясь на общность, чле- инм которой может быть она сама, так же как мы можем указать на чело- иска как на самого высокого в группе, идентифицируя, таким образом, ічо посредством совокупности, членом которой является он сам, не впадин и порочный круг. Пропозиция Fa в своём значении, т.е. факт, о котором она утверждает, что он имеет место, не включает совокупность функций, её включает просто наш символ. Возьмём простой случай: (/) . фа является логическим произведением пропозиций фа, одной из которых является она сама, но этот случай значителен и порочен не более, чем тот факт, что пропозиция р. q является логическим произведением множества р, q,p . q, членом которого является она сама. Единственное различие состоит в том, что благодаря нашей неспособности записы- нпгь пропозиции бесконечной длины, что логически является случайным, (ф). фа не может, как р . q, быть выражена элементарно, но должна быть ш.іражена как логическое произведение множества, членом которого она інкже является. Если бы мы обладали бесконечными ресурсами и могли имразить все атомарные функции типа^х и ^х, то мы могли бы образо- ниі ь все пропозиции фа, т.е. все истинностные функции ц/fi, ц/га и т.д., и і'реди них была бы та, которая является логическим произведением их всех, нключая саму себя, так же какр. q является произведениемp,q,pv q,p .q. ')та пропозиция, которую мы не можем выразить непосредственно, т.е.

элементарно, мы выражаем опосредованно, как логическое произведение их всех, записывая '(ф) . фа\ Это, конечно, круговой процесс, но в нём явно нет ничего порочного.

На этом основано большое преимущество моего метода перед методом Principia Mathematica. В Principia область ф-это область функций,] которые могут быть выражены элементарно, а поскольку (ф) .Лф! z > х) так выразить нельзя, она не может быть значением ф\, но я определяю) значения ф не по тому, как они могут быть выражены, но по тому, какой разновидностью смыслов обладают их значения или, скорее, по тому, какие факты, утверждаемые их значениями, относятся к их аргументам. Таким образом, я включаю функции, не говоря уже об элементарных, ко-торые даже не могут быть выражены нами вообще, кроме как посредством бесконечной символической системы. И любая функция, образо-" ванная посредством обобщения, является действительно предикативной, и более нет необходимости в аксиоме сводимости.

Остаётся показать, что моё понятие предикативных функций не вовлекает нас в какое-либо противоречие. Все подходящие противоречия, как я отмечал ранее, содержат некое слово типа 'означает', и я покажу, что они принадлежат сущностной двусмысленности таких слов, а не какому- либо недостатку в понятии предикативной функции.

Возьмём первым противоречие Вейля относительно 'гетерологическое', которое мы обсуждали в последнем разделе. Ясно, что данное там решение более нам не подходит. Ибо, как и раньше, если R есть отношение означивания между 'ф' и фх, то 'х есть гетерологическое' эквивалентно '(3ф) : z ). ~фх\ понимаемая здесь область 0 является областью предикативных функций. Тогда

которую я буду называть Fx, сама является предикативной функцией.

Поэтому

'F R(Fx)

и

(3 ф)'.^К{фх)

и, следовательно,

FQF). в. ~F(lF), что является противоречием.

Заметим, что противоречие по существу зависит от вывода (3ф): 'F' "(ф х ) из 'F' R(F х ). Согласно Principia Mathematica этот вывод незаконнії, поскольку FHe является возможным значением фх . Но если область t Y является областью предикативных функций, то это решение ошибочки, поскольку Fx определённо является предикативной функцией. Но, очі иидио, есть другое возможное решение - отрицать, что 'F' ^(Fx) явимо і ся посылкой вывода. 'F' R(Fx) говорит, что 'F' означает Fx. Это определённо истинно для некоторых значений 'означает', поэтому, чтобы моцдержать наше его отрицание, мы должны продемонстрировать неко- I мрую двусмысленность в значении значения и сказать, что смысл, в коміром 'F' означает Fx, т.е. в котором 'гетерологическое' означает гете- |ННЮ1 ическое, не является смыслом, обозначенным посредством '/?', т.е. імі.іслом, который входит в определение гетерологического. Мы можем іігі кс) показать, что это действительно имеет место, так что противоречие им шикает просто благодаря двусмысленности слова 'значение' и вообще не имеет отношения к математике.

Прежде всего, говорить об 'Р как об обозначающем F х вообще ка- шетея очень странным с точки зрения нашего определения пропозицио- мши.пой функции как самого символа. Но выражение просто сжато. Факт, шиорый мы пытаемся описать в этих терминах, состоит в том, что мы произвольно выбрали букву 'F'для определённой цели, так что 'Fx' имеет определённое значение (зависящее от х). В результате этого выбора '/'", первоначально не значимая, становится значимой; она имеет значение. Но ясно, что предположение о том, что есть единственный объект F, который она обозначает, - невозможное упрощение. Её значение более сложное, чем это, и должно быть исследовано далее.

Возьмём простейший случай, атомарная пропозиция полностью записывается как 'aSb\ где 'а' и '6' являются именами индивидов, а '5' - именем отношения. Тогда 'а', '6' и '5' простейшим способом обозначают отдельные объекты a, b и S. Предположим теперь, что мы определяем

фх. = . aSx Df.

Тогда 'ф ' подставляется вместо 'а5' и обозначает не единственный обьект, но имеет значение более сложным способом посредством трёхчленного отношения и к а, и к S. Тогда мы можем сказать, что 'ф ' обозначает

nSx, подразумевая под этим, что 'ф ' имеет это отношение к а и S. Мы можем расширить этот подход, чтобы иметь дело с любой элементарной

функцией, т.е. сказать, что 'ф!' обозначает ф! х, означает, что'ф!' определённым способом относится к объектам a, b и т.д., включённым в фіх.

Но предположим теперь, что мы берём неэлементарный функционалы ный символ, например,

(у) .yRx Df.

Здесь объекты, включённые в фхх у затрагивают все индивиды как зна-чения у. И ясно, что вообще не относится к ним тем же способом, каким 1ф!' относится к объектам в своём значении. Ибо 1фГ относится к a, b и т.д., будучи сокращением для выражения, содержащего имена a, b и т.д. Но ' является сокращением для выражения, содержащего не 'а','b'..., а только мнимую переменную, значениями которой могут быт! последние. Ясно, что 1фх обозначает то, что обозначает, более сложным способом, совершенно отличным от способа, которым обозначает 1ф !', Конечно, так же как элементарность на самом деле не является характер ристикой пропозиции, так и этот способ в действительности не является

характеристикой функции; другими словами, х и ф\х могут быть одной и той же функцией, поскольку фх всегда является той же самой пропозицией, что и фіх. Тогда и'фУ будут иметь одинаковое значение, но будут подразумевать его в совершенно различных смыслах значения. Сходным образом, 'фг\ включающая мнимую функциональную переменную,' всё ещё будет обозначать иным и более сложным способом .

Таким образом, в противоречии, которое мы обсуждали, если 'R\ символ отношения обозначения между и ф, должен иметь определённое значение, то может быть определённым способом только симво-лом некоторого типа значения; предположим мы ограничиваем 1 ф элементарными функциями, принимая 'Л' за отношение между 'ф!' и ф! х '

Тогда 'Fx' или '(Вф): хЛ(фг). ~фх' являются не элементарными, но являются 'ф2'.

Следовательно, 'f обозначает не в смысле значения, обозначаемого посредством 'R' соответствующего '(^!'-кам, но в смысле, соответствующем '^2'; поэтому мы имеем Г R(F x ), которое, как мы объяснили I

выше, разрешает противоречие для этого случая.

Существенный пункт для понимания причины, почему

л

(В ф):*ПКфх)

М" И' і быть истинным, только если 'F' является элементарной функцией, і їй мни не в том, что область ф яв'ляется областью элементарных функции, НО D том, что символ не может иметь отношение R к функции, если nil (к им вол) не является элементарным. Ограничение приходит не от '3 ф', ни пі '1С. Различия 'ф Г-ок, 'ф{'-ок и 'ф2'-ок применяется к символам и к шму, как они обозначают, но не к тому, что они обозначают. Поэтому я "іди (н этом разделе) заключал 'ф !','ф ' и 'ф2' в кавычки. Мне могут возразить, что это неполное решение; ибо, предположим, пи мы приняли заЛ сумму отношений, соответствующих 'ф !'-кам,4ф >им и 'ф2'-тм. Тогда 'F', поскольку оно всё ещё содержит только 3ф ,

ні с 14Цй является 'ф2', и в этом случае у нас должно быть 'F' RiF^), кото- ||цг разрушает наше решение.

По это не так, поскольку сверхкомплексность, включённая в новое N, аолает 'F* не 'ф2', но ещё более сложным символом. Ибо для этого

Инною R, для которого 'ф^(ф2 х), поскольку 'ф х' есть какая-то форма,

ІНШІ (3ф) .Лф z , х), в (3$) . 'PR(Fx ), затрагивается по крайней мере

переменная функция/(0г , х) от функций индивидов, ибо она включена в понятие переменной 'ф2, которая включена в переменную ф, взятую в і'осдипении с R. Ибо если нечто имеет отношение R к предикативной фун-кції н фх,то фх должна быть выразима посредством либо 'ipi', либо 1ф', ии(н> 'ф2'.

11оэтому (Эф). 'F'R(Fx ) включает не просто переменную ^(предика- пншую функцию индивидов), но также скрытую переменную/(функцию

їй функции индивида и от индивида). Поэтому 'Fx' или (3 ф):хР(фг).~фх представляет собой не 'ф2\ но то, что мы могли бы назвать 'ф т.е. функ- щпп от индивидов, включающую переменную функцию от функций ин- ШІШ1ДОВ. (Она, конечно, не является той же самой вещью, что 'фъ' в смыс- '11' Principia Mathematica, 2"d ed.) Поэтому 'F' обозначает более сложным

способом, ещё не включённым в Л, и у нас нет 'F'R(Fx ), так что проти- моречие вновь исчезает.

Из противоречий явно вытекает го, что мы не можем получить для про- 110 іициональньїх функций всеохватное отношение значения. Какое бы отношение мы не брали, всё ещё есть способ конструирования символа, котрий обозначает таким способом, который не включён в наше отношение. Значения значения образуют логически неправильную совокупность.

Посредством начатого выше процесса мы получаем иерархию про» позиций и иерархию функций от индивидов. И та и другая основаны на фундаментальной иерархии индивидов, функций от индивидов, функций от функций индивидов и т.д. Функцию от индивидов мы можем назвать функцией типа 1; функцию от функций индивидов - функцией типа 2 и т.д, Теперь мы следующим образом конструируем иерархию пропозиций!

Пропозиции порядка 0 (элементарные), не содержащие мнимых пе-' ременных.

Пропозиции порядка 1, содержащие индивидные мнимые переменные.

Пропозиции порядка 2, содержащие мнимые переменные, чьими значениями являются функции типа 1.

Пропозиции порядка п, содержащие мнимые переменные, чьими значениями являются функции типа п - 1.

Из этой иерархии мы выводим другую иерархию, иерархию функций, безотносительно к их типу, согласно порядку их значений. Таким образом,

функции порядка 0 (матрицы) не содержат мнимой переменной;

функции порядка 1 содержат индивидные мнимые переменные;

и т.д., т.е. значения функции порядка п суть пропозиции порядка п. Для I этой классификации тип функций безразличен. j

Мы должны подчеркнуть сущностное различие между порядком и типом. Тип функции является действительной её характеристикой, зависящей от аргументов, которые она может принимать, но порядок пропозиции или функции является не действительной характеристикой, но тем, что Пеаио называл псевдофункцией. Порядок функции напоминает числитель дроби. Так же как из 'х=у' мы не можем вывести, что числитель х равен числителю^, так и из того факта, что и lq' являются примерами одной и той же пропозиции, мы не можем вывести, что порядок равен порядку'q'. Это было показано выше (с. 40) для отдельного случая элементарной и неэлементарной пропозиций (порядков 0 и > 0), и очевидно, что это имеет силу в общем случае. Порядок есть лишь характеристика отдельного символа, который является примером пропозиции или функции.

Теперь мы кратко рассмотрим, каким образом эта теория разрешает оставшиеся противоречия группы В .

(а) 'Я сейчас лгу'.

'Mo нам следует анализировать как '(3 "р", р) : Я говорю "/?" . "/?" и почиет р. ~р\ Здесь, чтобы получить определённое значение для озна- "ичн", необходимо некоторым образом ограничить порядок 1р'. Предпо- 'ш«ч1м, что '/>' должно относиться к «-ному или меньшему порядку. Tor- Ill, если посредством ф символизировать функцию типа п,'/?' может быть

І Іозтому 31р' включает 3фп+1 и 'Я сейчас лгу' в смысле 'Я сейчас ут- я)'|)*дию ложную пропозицию порядка и' относится по крайней мере к мнридку я +1 и не противоречит само себе.

(/>) (1) Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами.

Наименьший неопределимый ординал.

Парадокс Ришара.

Мее они проистекают из очевидной двусмысленности слов 'именующее' и 'определяющее'. Имя, или определение, является в каждом случае Функциональным символом, который является именем или определением, ниш. что-то обозначая. Смысл, в котором он обозначает, необходимо уточни ї ї. с помощью фиксации его порядка; имя или определение, включающее нее такие имена или определения, будет относиться к более высокому порядку, а это устраняет противоречие. Моё решение этих противоречий, очевидно, весьма похоже на решение Уайтхеда и Рассела, различие между ними основано просто на наших различных концепциях порядка пропозиції!) и функций. Для меня пропозиции сами по себе не имеют порядков; ими, так же как и различные истинностные функции атомарных пропози- нпй, суть определённые совокупности, зависящие только от того, чем явля- инея атомарные пропозиции. Порядки и логически неправильные совокуп- I и іс і и возникают лишь из-за символов, которые мы используем, чтобы сим- нолизировать факты, различными усложнёнными способами.

Подведём итог. В этом разделе я определил область предикативных функций, которые избегают противоречие и позволяют нам избавиться от нксиомы сводимости. Я разрешил противоречие группы В, которое объясняйся тем фактом, что все они содержат некоторый эпистемический элемент.

" Когда я говорю "'р' означаетр", я не предполагаю, что должен быть единственный иІУьсктр, обозначаемый 'р\ Значение 'р' состоит в том, что реализуется одна возможность tit определенного множества возможностей, и это значение проистекает из отношений ііиі'іспия отдельных знаков в'р' к реальным объектам, о которых говорит 'р'. Эти отношении шачения различаются с порядком 'р'. И порядок 'р' ограничен не потому, чтор ограничено в (3р), но из-за 'означает', которое различается по значению с порядком 'р'.