МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (1926)

Меня попросили рассказать о развитии математической логики со ирсмени опубликования Principia Mathematica, и я подумал, что интереснее было бы, если бы вместо описания различных достижений относи- іельно деталей, я бы кратко обсудил работу, которая была проделана в совершенно иных направлениях и претендовала на то, чтобы вообще вы- ісснить позицию, принятую Уайтхедом и Расселом относительно приро- ш.і математики и её логических оснований.

Начну с напоминания взглядов Уайтхеда и Рассела.

Фреге первый утверждал, что математика является частью логики, и па этой основе сконструировал обстоятельную теорию. Но он столкнулся со знаменитыми противоречиями теории множеств; оказалось, что из его исходных пропозиций могут быть выведены противоречивые следствия. Уайтхед и Рассел избежали этой участи, введя свою теорию типов, подробное рассмотрение которой здесь дать невозможно. Но чтобы понять последующие развитие, одно из её следствий объяснить необходимо.

Предположим, у нас есть множество характеристик, скажем А, заданных, как все характеристики определённого сорта, тогда относительно какой-либо вещи мы можем спросить, обладает ли она характеристикой сорта А.

ка. Более общо, любое высказывание обо всех характеристиках должно рассматриваться как подразумевающее все характеристики определённого порядка. Само по себе это кажется правдоподобным, к тому же это единственный способ избежать определённых противоречий, которые вырастают из смешения этих порядков характеристик. Уайтхед и Рассел считают также, что высказывания о классах или множествах должны, в действительности, рассматриваться как высказывания о характеристиках, которые определяют эти классы (класс всегда задаётся как класс вещей, обладающих определённой чертой), поэтому любое высказывание обо всех классах на самом деле будет высказыванием обо всех характеристиках и будет подвержено тем же самым затруднениям в отношении порядка этих характеристик.

Такая теория позволяет нам легко избежать противоречий теории множеств, но она также имеет плачевное следствие, делая недействитель-, ным обычный и важный тип математического доказательства, посредство^ которого мы в конечном счёте устанавливаем существование верхней границы множества или существование предела ограниченного монотонно-] го ряда. Обычно такие пропозиции выводят из принципа Дедекиндова| сечения, из принципа, что если действительные числа полностью разделены на высший и низший класс, то должно быть разделяющее число, которое является либо нижним числом высшего класса, либо верхним числом низшего класса. Это, в свою очередь, доказывается рассмотрением действительных чисел как секций рациональных чисел; секции рациональных чисел являются особым видом классов рациональных чисел и, следовательно, высказывание о действительных числах будет высказыванием о виде классов рациональных чисел, т.е.

Предположим теперь, что у нас есть множество Е действительны* чисел; оно будет классом характеристик рациональных чисел. ? верхняя граница Е, определяется как секция рациональных чисел, которая является суммой членов из Е; т.е. Е, есть секция, чьи члены суть все те рациональные числа, которые являются членами любого члена из Е, т.е. все те рациональные числа, которые характеризуются тем, что обладают любой характеристикой, приданной членам Е. Поэтому верхняя граница ? является секцией, которую определяет характеристика более высокого порядка, чем характеристики членов Е. Следовательно, если все действительные числа означают все секции рациональных чисел, определяемых посредством характеристик определённого порядка, верхняя граница, в общем, будет секцией рациональных чисел, определяемых характеристи-

Mill более высокого порядка, и не будет действительным числом. Это под- |т іумевает, что анализ, понимаемый в обычном смысле, полностью ос- иннан на ошибочном виде доказательства, которое при применении к дру- I им областям ведёт к самопротиворечивым результатам.

Этого плачевного следствия теории типов Уайтхед и Рассел пытались тбежать с помощью введения аксиомы сводимости, которая утверждала, 'і го для любой характеристики более высокого порядка есть эквивалент- мпн характеристика более низкого порядка - эквивалентная в том смысле, чю всё, что имеет одна, имеет и другая, а потому они определяют один и піт же класс. Верхняя граница, которая, как мы видели, была классом |1ициональных чисел, определяемых с помощью характеристики более пысокого порядка, определялась бы тогда эквивалентной характеристи-кой более низкого порядка и была бы действительным числом. К сожалению, эта аксиома определённо не является самоочевидной, и нет каких- либо причин предполагать её истинной. Если она была бы истинной, это (1ыло бы, так сказать, лишь счастливой случайностью и она не была бы ногически истинной, как другие исходные пропозиции.

Во втором издании Principia Mathematica, первый том которого был опубликован в прошлом году, м-р Рассел показал, как математическая индукция, для которой, по-видимому, также требовалась аксиома сводимости, может быть сформулирована без неё, но он не сулил никакой надежды на то, что такой же успех ожидает теорию действительных чисел, для которой неприменим изощрённый метод, использованный для целых чисел.

На это указал Вейль, который в 1918 году опубликовал небольшую работу под названием Das Kontinuum, где он отверг аксиому сводимости и пришёл к выводу, что обычный анализ ошибочен. Тем не менее он показал, что различные теоремы, такие как общий принцип сходимости Коши, всё ещё могут быть доказаны.

С тех пор Вейль изменил свою точку зрения и стал последователем Врауэра, лидера так называемой интуиционистской школы, основная доктрина которой заключается в отвержении закона исключённого третьего, согласно которому каждая пропозиция является истинной или ложной . Данный закон отрицается, видимо, потому, что считается невозможным знать это a priori и равным образом невозможно знать это из опыта, поскольку, если мы не знаем либо то, что пропозиция является истинной, либо то, что она является ложной, мы не можем верифицировать, что она является истинной или ложной. Брауэр отказался бы признать, что дождь либо идёт, либо не идёт, если бы не выглянул, чтобы посмотреть. Хотя, і очевидно, затруднительно дать философское объяснение и нашему знанию этого закона логики. Я не могу убедить себя в том, что с достоверно* стью не знаю об истинности закона исключённого третьего. Конечно, он! не может быть доказан, хотя Аристотель и привёл следующий остроум- ный аргумент в его пользу. Если пропозиция не является ни истинной, ни ложной, назовём её сомнительной; но тогда, если закон исключённого третьего был бы ложен, не нужно было бы сомневаться или не сомневать-і ся, поскольку у нас было бы не три возможности, а четыре: она истинна,!1 она ложна, она сомнительна, она ни истинна, ни ложна, ни сомнительна. И так далее ad infinitum.

Но если спросить: 'Почему бы и нет?', ясно, что сказать больше нечего, и я не вижу, каким образом можно найти какое-то общее основание, на котором можно обсуждать проблему. Брауэр считает закон исключённого третьего ложным в тех случаях, в которых, как сказал бы я, мы не в состо-і янии сказать, является пропозиция истинной или ложной.

т ,

найти целые числа тип такие, что — = 2 , следовательно, оно не явля-

п

ется рациональным. И мы ие можем показать, что невозможно найти такие целые числа; следовательно, оно не является иррациональным. Я не могу не видеть, что проблема всё равно не решена, если сказать, что оно не является ни рациональным, ни иррациональным, но не сказать, каким. Отрицание закона исключённого третьего отказывает в логичности доказательству, называемому дилеммой, при котором демонстрируется, что если нечто следует из одного условия, а также из того, что этому условию противоречит, то делается вывод, что это нечто истинно безусловно. Брауэр неспособен оправдать многое из обычной математики, и его выводы даже более скептичны, чем выводы Вейля в его первой теории.

Вторая теория Вейля очень похожа на теорию Брауэра, но он, по-видимому, отрицает закон исключённого третьего по иным причинам и менее общим способом. Кажется, он не отрицает, что любая пропозиция является либо истинной, либо ложной, но отрицает производный закон, что либо каждое число имеет данное свойство, либо по крайней мере одно число его не имеет. Своё отрицание он объясняет прежде всего для действительных чисел следующим образом. Действительное число задаётся рядом целых чисел, например как десятичная дробь; этот ряд мы можем

tiiUlilUililiillb

понимать как порождаемый либо законом, либо последовательными ак- інми выбора. Если теперь мы говорим, что существует действительное число или ряд, обладающий определённым свойством, это может подра- іумевать только то, что мы нашли задающий ряд закон; но если мы говорим, что все ряды имеют некое свойство, мы подразумеваем, что обладание этим свойством относится к сущности ряда и, стало быть, принадлежит рядам, возникающим не только согласно закону, но и в результате нюбодных актов выбора. Следовательно, не верно, что либо все ряды имеют это свойство, либо есть ряд, его не имеющий.

Но прежде я должен кое-что сказать о системе Гильберта и его последователей, в которой планируется раз и навсегда положить конец подобному скептицизму. Это должно быть сделано рассмотрением высшей ма-тематики как манипуляции с не имеющими значения символами согласно фиксированным правилам. Мы начинаем с определённых последовательностей символов, называемых аксиомами; из них мы можем вывести другие последовательности с помощью подстановки одних символов, называемых константами, вместо других, называемых переменными, и перехода от пары формул-р и если р, то q - к формуле q.

Собственно математика рассматривается, таким образом, как разно» видность игры, разыгрываемой с не имеющими смысла значками на бумаге, по типу игры в крестики-нолики. Но помимо собственно математики, есть другой предмет, называемый метаматематикой, который не является бессмысленным, но состоит из действительных утверждений относительно математики, говорящих нам, что та или иная формула может или не может быть получена из аксиом согласно правилам вывода. Наиболее важная теорема метаматематики состоит в том, что из аксиом невозможно вывести противоречие, где под противоречием подразумевается формула определённых очертаний, за которую можно принять 0*0. Это, как я полагаю, Гильберт доказал и поэтому устранил возможность! противоречий и основанного на них скептицизма.

Итак, что бы ни делал математик, он определённо оставляет значки на бумаге, и поэтому эта точка зрения безусловно истинна, но трудно предположить, что в этом вся истина. Должна быть некоторая причина для выбора аксиом и какая-то причина, по которой особый значок 0*0 рассматривается с таким предубеждением. Однако этот последний пункті можно объяснить тем фактом, что аксиомы вообще не должны допускать) никакого вывода из 0 * 0. Поэтому если бы 0 * 0 можно было бы доказать,| можно было бы доказать вообще всё, что навеки прекращало бы игру,, которая стала бы весьма скучной для потомков. Но опять же можно спро-| j сить, действительно ли можно доказать, что аксиомы не ведут к противо* ; речию, поскольку, если некоторые принципы не берутся за само собой 1 разумеющееся и, по предположению, не ведут к противоречию, доказал^ j ничего нельзя. Это возражение принимается, но настаивается, что прин-^ ципы, используемые в метаматематическом доказательстве того, что аксиомы математики не ведут к противоречию, столь очевидно истинные, что даже скептик не может в них усомниться, ибо все они относятся не к абстрактным или бесконечно сложным вещам, но к значкам на бумаге. И , хотя если и можно усомниться в том, должен ли подкласс определённого сорта бесконечного ряда иметь первый элемент, никто не может усомниться в том, что если значок = встречается на странице, то на этой странице есть место, где он встретился первый раз.

Но, приняв всё это за само собой разумеющееся, всё ещё необходимо спросить, какое предназначение или достоинство заключается в той игре, которую разыгрывают математики, если это действительно игра, а не форма знания. Единственный ответ, который даётся, состоит в том, что некоторые формулы математиков имеют значение или же им можно было бы его придать и что если эти формулы могут быть доказаны в символической системе, их значение будет истинным. Поскольку Гильберт разде- нист мнение Вейля, что общие и экзистенциальные пропозиции не имеют шачения, постольку единственными разделами математики, нечто под- |Ш іумевающими, являются отдельные утверждения о конечных целых числах типа '47 является простым' и конъюнкции и дизъюнкции конечного числа утверждений типа 'Существует простое число между 50 и 100', которое может рассматриваться как означающее 'Либо 51 является простым, или 52 является простым и т.д., вплоть до или 99 является про- иым'. Но поскольку все такие пропозиции элементарной арифметики можно легко доказать совершенно без использования высшей математики, такое употребление вообще не может быть для неё важным. И кажет- 1 н, что хотя работа Гильберта обеспечивает новый и мощный метод, который он успешно применил к проблеме континуума, в качестве философии математики она едва ли может рассматриваться как адекватная.

Мы видим, что эти авторы, хоть и значительны различия между ними, согласны, что математический анализ, в обычном смысле, не может рас- гматриваться как предмет истины, но либо является ложным, либо, в лучшем случае, представляет собой игру со значками на бумаге. Это подразумевает, я полагаю, что математикам Британии стоило бы уделить определённое внимание их мнениям и попытаться найти некоторый способ действовать согласно обстоятельствам.

Рассмотрим теперь, как можно было бы защитить классическую математику и расселовскую философию классической математики.

Мы должны начать с ключевого вопроса, со значения общих и экзистенциальных пропозиций, относительно которых Гильберт и Вейль, по существу, придерживаются одной и той же точки зрения. Вейль говорит, что экзистенциальная пропозиция является не суждением, но абстрактом суждения и что общая пропозиция является разновидностью чека, который можно обналичить в действительное суждение, когда встречается его пример.

Гильберт менее метафорично говорит, что они являются идеальными пропозициями и выполняют в логике ту же самую функцию, которую выполняют идеальные элементы в различных областях математики. Он объясняет их происхождение следующим образом. Подлинную конечную пропозицию типа 'Существует простое число между 50 и 100' мы записываем как 'Существует простое число, которое больше 50 и меньше 100', что, по-видимому, содержит часть '51 является простым, или 52 является простым и т.д., ad infinitum' и поэтому является бесконечной логической суммой, которая, как и бесконечная алгебраическая сумма, прежде всего бессмысленна и может получить вторичное значение, подчинённое определённым условиям сходимости. Но введение этих не имеющих значения форм настолько упрощает правила вывода, что их удобно сохранить, рассматривая как идеалы, для которых должна доказываться теорема непро» тиворечивости. '

Мне кажется, что такая точка зрения на предмет обусловливает ряд затруднений. Во-первых, затруднительно видеть, каким образом предпоч лагается использовать эти идеалы, ибо собственно математика, по-видимому, сводится к элементарной арифметике, не допускающей даже алгебры, поскольку сущность алгебры в общих утверждениях. Любое же высказывание элементарной арифметики может быть легко проверено или доказано без использования высшей математики, которая, если её суще- ¦ ствование предполагается только ради простой арифметики, кажется со-1 вершеино бесцельной. Во-вторых, затруднительно видеть, каким обра- j зом понятие идеала может снять предположение о возможности общего і знания. Ибо оправдание идеалов покоится на том факте, что все ие содер-1 жащие идеалов пропозиции, которые могут быть доказаны с их помо-1 щью, являются истинными. И поэтому метаматематика Гильберта, кото-ij рой приписывается подлинная истина, обязана состоять из общих пропозиций обо всех возможных математических доказательствах, которые, хотя! каждое доказательство является конечной конструкцией, вполне могут* быть бесконечными по числу. И если, как говорит Вейль, экзистенциаль-1 j ная пропозиция - это бумага, подтверждающая существование сокровищницы знания, но не говорящая, где оно, я не могу видеть, каким образом! мы объяснили бы полезность такой бумаги, кроме как предполагая у её получателя способность к экзистенциальному знанию того, что сокровища где-то есть.

Кроме того, даже если подход Гильберта и можно принять в той сте-1 пени, в которой мы ограничиваем наше внимание математикой, я не вижу, каким образом его можно было бы сделать правдоподобным в отноше- Ї нии к зиаиию вообще. Так, если я говорю вам 'Я - владелец собаки', вы, 1 по-видимому, получаете знание о факте, тривиальное, но всё же знание. ; Но 'Я - владелец собаки' в логическом символизме должно формулироваться как 'Существует нечто, что является собакой и владельцем чего я являюсь'; стало быть, это знание есть знание экзистенциальной пропози-ции, покрывающей, возможно, бесконечную область 'вещей'. Но, быть может, утверждалось бы, что моё знание о том, что я держу собаку, возникает способом, описываемым Гильбертом, в результате некорректного рассмотрения того, что, по-видимому, является частью конечной пропозиции, типа 'Ральф — это собака, владельцем которой являюсь я'. Но ваше знание, вероятно, таким способом объяснить нельзя, поскольку экзистен- поле пасётся бык, и нет никакой пользы в том, чтобы вместо какого-то быка на каком-то поле знать, что это за бык и где это поле. [

Как тогда мы должны объяснить общие и экзистенциальные пропоИ зиции? Я не думаю, что мы можем сделать что-то лучшее, нежели при- > нять точку зрения, выдвинутую Витгенштейном в качестве следствия его h общей теории пропозиций. Он объясняет их ссылкой на то, что мы могли] бы назвать атомарными пропозициями, которые утверждают самую про» стую разновидность фактов и могут быть выражены без использования,1 возможно скрытого, любых логических терминов типа: или, если, все, некоторые. 'Это - красное' является, вероятно, примером атомарной пропозиции. Предположим теперь, что у нас есть, скажем, п атомарных пропозиций; в отношении их истинности или ложности имеется 2" взаимоисключающих предельных возможностей. Примем эти истинностные ВОЗ-j можности п атомарных пропозиций; тогда мы можем взять любое под^ множество этих истинностных возможностей и утверждать, что оно естьк реализованная возможность из этого подмножества. Мы можем выбраты это подмножество возможностей, которые, как мы утверждаем, соответ^ ствуют истине 2 "способами, и это будут все пропозиции, которые мы I можем построить из этих п атомарных пропозиций. Так, если взять про-|] стой пример, 'Если р, то q' выражает согласование с тремя возможности;! ми (и р, и q являются истинными; р - ложно, q - истинно; р - ложно, q ложно) и отрицает одну возможность (р - истинно, q - ложно). L

Мы можем легко увидеть, что с этой точки зрения во всех обычны* логических способах записи есть некоторая избыточность, поскольку мы можем многими способами записать то, что является существенным дл) одной и той же пропозиции, выражающей согласование и несогласование с одним и тем же множеством возможностей. М-р Витгенштейн считает, что все пропозиции выражают согласование и несогласование с истинностными возможностями атомарных пропозиций или, как говорим мы, являются истинностными функциями атон марных пропозиций. Правда, рассматриваемые атомарные пропозиции часто неперечислимы, но определяются, как все значения определённой пропозициональной функции. Так, пропозициональная функция 'х есть красное' определяет совокупность пропозиций, которые являются её значениями, и мы можем утверждать, что все или по крайней мере одно из этих значений является истинным, говоря 'Для всех х, х есть красное' и 'Существуетх такое, что х есть красное' соответственно. То есть если мы можем перечислить значения х как а, Ь ... z, то сказать 'Для всех х, х есть красное' было бы эквивалентно пропозиции 'а есть красное, и b есть красное, и ... и z есть красное'. Разумеется, ясно, что состояние сознания че- ишска, использующего одно выражение, в некоторых отношениях отличается от состояния сознания человека, использующего другое выражение, но то, что может быть названо логическим значением этого высказы- ііішия, утверждаемый факт остаётся одним и тем же в обоих случаях.

Сейчас невозможно обсудить все аргументы, которые могут быть ис- шшьзованы против этой точки зрения, но кое-что необходимо сказать об Аргументе Гильберта. Гильберт считает, что если переменная имеет бес-конечное число значений, если, другими словами, в мире существует бесконечное число вещей рассматриваемого типа, мы обладаем здесь бесконечной логической суммой или произведением, которые, подобно бесконечной алгебраической сумме или произведению, изначально бессмыс- щ'нны и значение которых может быть дано только опосредованным спо- гобом. Мне кажется, что это основано на ложной аналогии; логическая сумма множества пропозиций есть пропозиция о том, что одна пропозиция из этого множества является истинной, и представляется безразличным, конечно это множество или бесконечно. Она не похожа на алгебраическую сумму, для которой конечность существенна, поскольку алгебраическая сумма шаг за шагом увеличивается за счёт суммы двух элемен- тв. Сказать, что нечто, возможно включающее бесконечность какого-то иида, бессмысленно, - значит сразу же провозгласить, что любая реальная теория множеств является невозможной.

Помимо обоснования простого подхода к экзистенциальным и общим пропозициям, теория Витгенштейна урегулирует другую проблему пер- нейшей важности, точно объясняя особую природу пропозиций логики. Когда первоначально м-р Рассел говорил, что математика может быть сведена к логике, его взгляд на логику состоял в том, что она включает все истинные, абсолютно общие пропозиции, т.е. пропозиции, которые не содержат материальных (в противоположность логическим) констант. Позднее он отказался от этой точки зрения, поскольку было ясно, что помимо общности требуются некоторые дальнейшие характеристики. Ибо нполне возможно описать весь мир без упоминания каких-либо отдельных вещей и очевидно, что нечто случайно может быть истинным вообще для всего, не обладая характеристикой необходимости, принадлежащей истинам логики.

Тогда, если мы должны определить, что есть логика и, согласно точке зрения м-ра Рассела, математика, нам следует попытаться определить эту дальнейшую характеристику, которую в первом приближении можно было бы назвать необходимостью или, с другой точки зрения, тавтологичнос- тью. Например, 'р - либо истинно, либо ложно' можно рассматривать или как необходимую истину, или как тавтологию. Между прочим, эта про- !!tt:;ii:!!!iimM»muiimmuii:

блема была решена в теории пропозиций Витгенштейна. Пропозиции, мы] говорили, выражают согласование и несогласование с истинностными] возможностями атомарных пропозиций. Если взять п атомарных пропої зиций, тогда существует 2" истинностных возможностей, и мы можем согласиться с любым их множеством и не согласиться с остальным. ТОГДА будет два предельных случая: в одном из них мы соглашаемся со всеми возможностями и не отвергаем ни одной; в другом мы не соглашаемся нн с одной возможностью, отвергая их все. Первый случай называется тав> тологией, второй - противоречием.

Простейшей тавтологией является 'р или не-р'; это высказывани! ничего не добавляет к нашему знанию и действительно вообще не ут-, верждает никакого факта; на самом деле, оно не является действительной пропозицией, но представляет собой вырожденный случай. Обнаруживает! ся, что все пропозиции логики в этом смысле являются тавтологиями, и ЭТО j их отличительная характеристика. Все исходные пропозиции Principitn Mathematica за исключением, аксиомы сводимости, являются тавтологиям^ а правила вывода таковы, что из тавтологий можно вывести только тавтсшої гии, так что если бы не один недостаток, вся структура состояла бы из тавто| логий. Таким образом, мы возвращаемся к прежнему затруднению, но ест» надежда, что оно также может быть устранено некоторой модификацией теории типов, вытекающей из подхода Витгенштейна. ¦

Теория типов должна дать нам возможность избегать противоречий^ Теория Уайтхеда и Рассела состоит из двух различных частей, обьеди нённых только тем, что обе они выводятся из достаточно смутного 'Принципа порочного круга'. Первая часть разделила пропозициональные функции согласно их аргументам, т.е. классы согласно их членам; вторая часті породила необходимость в аксиоме сводимости, требуя различия межд> порядком функций с одним и тем же типом аргументов.

Мы легко можем разделить противоречия согласно тому, какая часть теории требуется для их решения, и когда мы делаем это, обнаруживается^ что эти два множества противоречий различаются также и другим способом. Одни, разрешаемые в первой части теории, все являются чисто логи-ческими; они не включают иных идей, кроме идей класса, отношения и числа, могут быть сформулированы в логическом символизме и встречаются в действительном развитии математики, когда она следует в правиль-і ном направлении. Таковы противоречие о наибольшем ординале и протин воречие о классе классов, которые не являются членами самих себя. В от-ношении их решение м-ра Рассела кажется неизбежным.

M і 11 Ч І іііікнШЖіШшцйітні"

Математическая логика 77

С другой стороны, ни одно из второго множества противоречий не оляется чисто логическим или математическим, но все они включают некоторый психологический элемент, такой как значение, именование или ушерждение. Они встречаются не в математике, но в мышлении о математике, поэтому возможно, что они вырастают не из ошибочности логики или математики, но из двусмысленности психологических и эпистемо- цогических понятий значения и утверждения. Кажется, что здесь действи- іельно должно быть именно так, поскольку проверка вскоре убеждает, •но в каждом из этих случаев для противоречия существенно наличие психологического элемента, который не может быть сконструирован без ішедения отношения слов к их значению или чего-то подобного.

Если же мы попытаемся применить к проблеме теорию общности Иитгенштейна, я думаю, что в этом направлении сконструировать решение достаточно легко. Объяснение в полном объёме само по себе потребовало бы статьи, но быть может, в нескольких словах удастся представить общую идею. Согласно теории Витгенштейна, общая пропозиция жвивалентна конъюнкции своих примеров, поэтому разновидность факта, утверждаемого общей пропозицией, по существу не отличается от факта, утверждаемого конъюнкцией атомарных пропозиций. Но символ общей пропозиции обозначает своё значение способом, отличным от того, которым своё значение обозначает символ элементарной пропозиции, поскольку последний содержит имена всех тех вещей, о которых он говорит, тогда как символ общей пропозиции содержит только переменную, сразу же обозначающую все свои значения. Поэтому, хотя две разновидности символа могут подразумевать одно и то же, смысл, в котором они это обозначают, должен различаться. Следовательно, порядки пропозиций будут характеристиками не того, что они обозначают, - это уместно лишь в математике, - но характеристиками символов, используемых для того, чтобы это обозначать.

Пропозиции первого порядка будут вполне подобны высказанным словам; одно и то же слово может быть как высказано, так и написано, и одна и та же пропозиция, теоретически, может быть выражена в различных порядках. Применяя это mutatis mutandis к пропозициональным функциям, мы обнаруживаем, что типические различия между функциями с одними и теми же аргументами применяются не к тому, что они обозначают, но к отношению обозначения между символом и обозначаемым объек-том. Следовательно, в математике они могут быть опущены, а решение можно сохранить в несколько модифицированной форме, поскольку противоречия должны относиться здесь ко всему тому, что имеет дело с отношением обозначения.

Этим способом, я думаю, можно избежать затруднений, связанных и аксиомой сводимости, и избавиться от других, более философских возра» жений, выдвинутых Витгенштейном, реабилитируя, таким образом, общий подход к основаниям математики, предложенный Уайтхедом и Расселом. Но всё ещё остаётся важный пункт, в котором результирующая теория должна считаться неудовлетворительной, и это связано с аксио-мой бесконечности.

Согласно авторам Principia Mathematica, нет способа доказать, что существует бесконечное число вещей какого-то логического типа, а если не существует бесконечного числа вещей какого-либо типа, вся теория бесконечных множеств и рядов, дифференциальное исчисление и анализ, в общем, разрушаются. Согласно их теории числа, если было бы только десять индивидов, в том смысле, в котором число подходит для индиви- ; дов, все числа, большие десяти, были бы тождественны нуль-классу, а потому друг другу. Конечно, существовало бы 210 классов индивидов и, таким образом, для следующего типа чисел всё было бы нормально вплоть до 210. Поэтому, принимая достаточно высокий тип, можно достичь лю-lj бого конечного числа. !

Но таким способом было бы невозможно достичь К0. Существую^ различные естественные предположения, устраняющие это затруднение, it но все они, по-видимому, ведут к восстановлению противоречия с най- і большим ординалом.

По-видимому, и анализ нельзя было бы развить, кроме как в качестве! следствия аксиомы бесконечности; и я не вижу, что на это вообще можної было бы возразить, поскольку практически нельзя было бы доказать про-і позиции о бесконечных рядах, если бы таковые не существовали. С дру-1 гой стороны, математика мира с заданным конечным числом членов име-' ла бы небольшой теоретический интерес, так как все её проблемы можно было бы разрешить посредством механической процедуры.

Но мне кажется, что в связи с элементарными пропозициями теории чисел, которые можно доказать только с помощью трансцендентального метода, типа метода оценок Дирихле для числа классов квадратичных форм, возникает затруднение. Рассмотрим заключение следующей формы: 'Каждое число имеет свойство р\ доказанное с помощью трансцендентальных методов только для случая бесконечного мира. Если, кроме того, мы знаем, что мир содержит, скажем, 1 ООО ООО вещей, мы можем доказать его, проверяя числа до 1 ООО ООО. Но если предполо-жить, что мир конечен и мы тем не менее не знаем какой-то верхней границы его размера, то вообще остаёмся без какого-либо метода доказательства этого. .и., mi

каким образом математический анализ можно использовать в физике, математика которой, по-видимому, требует, чтобы он был истинным, а не просто следовал из, возможно, ложных гипотез. Но подробное обсуждав ние этого вопроса увело бы нас слишком далеко.

У меня нет предположений относительно того, как развить эту тему далее. Я лишь надеюсь прояснить, что проблема является весьма сложной и что ведущие авторы весьма скептичны относительно того, можно | ли чистую математику, как обычно подаётся, оправдать посредством логики, ибо Брауэр и Вейль говорят, что нельзя, а Гильберт предлагает оправдать её только как игру с лишёнными значения отметками на бумаге. С другой стороны, несмотря на свои попытки преобразовать точку зрения Уайтхеда и Рассела, я думаю, что из-за многих затруднений её нельзя считать вполне удовлетворительной. Ill