I. ВВЕДЕНИЕ

В этом разделе мы будем иметь дело с общей природой чистой математики и с тем, как её можно обособить от других наук. На самом деле есть две различные категории вещей, отталкиваясь от которых можно выстроить рассмотрение.

Так, формалистская школа, наиболее именитым представителем ко-торой ныне является Гильберт, концентрируется на пропозициях математики, таких как '2 + 2 = 4'. Формалисты провозглашают последние не имеющими смысла формулами, с которыми обращаются согласно некоторым произвольным правилам; они считают, что математическое познание состоит в знании того, какие формулы могут быть выведены из других формул в соответствии с определёнными правилами. Как таковые пропозиции математики непосредственно влекут то, как формалисты рассматривают её понятия, например число 2. '2'- это не имеющий смысла значок, встречающийся в этих не имеющих смысла формулах. Но что бы ни подразумевалось под таким рассмотрением математических пропозиций, оно, очевидно, безнадёжно как теория математических понятий, ибо последние встречаются не только в математических пропозициях, но также и в пропозициях повседневной жизни. Так, '2' встречается не только в '2 + 2 = 4', но также в 'До станции 2 мили', что является не формулой, лишённой смысла, незначимой пропозицией, в которой '2' нельзя понять как не имеющий смысла значок. Не может быть никаких сомнений, что '2' используется в одном и том же смысле в обоих случаях, ибо мы можем использовать '2 + 2 = 4', чтобы из 'До станции две мили, и до Гагса две мили' вывести, что 'До Гагса через станцию четыре мили', так что эти обычные значения двух и четырёх явно включены в '2 + 2 = 4'.

Помимо установок формалистов, есть две главные общие установки в отношении оснований математики: установка интуиционистов, или фи- нитистов, типа Брауэра или Вейля, в его нынешних статьях, и установка логицистов- Фреге, Уайтхеда и Рассела. По общему признанию, теория интуиционистов отказывается от многих наиболее плодотворных методов современного анализа. Но, как мне кажется, для этого нет причины, кроме той, что эти методы не согласуются с их личными предубеждениями. Поэтому они претендуют не на то, чтобы дать основание математике, которая известна нам, но только на более узкую совокупность истин, ко- горая к тому же ещё и не вполне ясно определена. Остаются логицисты, чья работа достигла кульминации в Principia Mathematica. Выдвинутая чдесь теория отвергается из-за некоторых деталей, особенно из-за непреодолимых затруднений, связанных с аксиомой сводимости. Но эти касающиеся деталей дефекты кажутся мне результатом принципиального не-достатка, на который первым указал м-р Витгенштейн.

Логическая школа концентрируется на анализе математических понятий, относительно которых показывается, что они определимы в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий. Предпринимая такое рассмотрение понятий математики, они сразу же получают рассмотрение математических пропозиций, а именно, что они являются теми истинными пропозициями, в которых встречаются только математические или логические понятия. Так, Рассел в The Principles of Mathematics определяет чистую математику как 'класс всех пропозиций формы "р влечёт q", где р и q суть пропозиции, которые содержат одну или более переменных, одинаковых для обеих пропозиций, и нир, и ни q не содержат каких-либо констант, кроме логических' .

магическую или логическую истину; она совершенно отлична от такой пропозиции, как 'Любые две вещи в совокупности с любыми другими двумя вещами дают четыре вещи', которая является логической, а не про-сто эмпирической истиной. В соответствии с нашей философией мы можем провести различие, называя одну случайной, а другую необходимой пропозицией, или же одну - подлинной пропозицией, а другую - просто тавтологией. Но все мы должны согласиться, что между ними есть существенное различие и что определение математических пропозиций должно включать не просто их совершенную общность, но также и некоторые дальнейшие свойства. Указание на это, со ссылкой на Витгенштейна, со-держится в книге Рассела Introduction to Mathematical Philosophyr'\ но на это нет указания в Principia Mathematica, и м-р Рассел, видимо, не понимает его громадной важности, например при рассмотрении исходных пропозиций.

Формалисты вообще пренебрегают содержанием и лишают математику смысла, логицисты пренебрегают формой и считают, что математика состоит из любых истинных обобщений; адекватную теорию мы можем получить, только принимая в расчёт обе стороны, рассматривая математику как составленную из тавтологичных обобщений.

Теперь мы должны объяснить определение тавтологии, которое было дано м-ром Витгенштейном в Tractatus Logico-Philosophicus и которое представляет его наиболее важный вклад в эту тему. Здесь мы не можем уклониться от некоторых объяснений, касающихся его теории пропозиций в целом.

Начать мы должны с понятия атомарной пропозиции1', атомарная пропозиция - это пропозиция, которую нельзя разложить на другие пропозиции и которая может состоять только из имён без логических констант. Например, приписывая имя качества '(#' имени индивида 'о' и записывая 'фч\ мы получаем атомарную пропозицию, утверждающую, что индивид имеет качество. Таким образом, если пренебречь тем фактом, что 'Сократ' и 'мудрый' - неполные символы, и рассматривать их как имена, то 'Сократ мудр' будет атомарной пропозицией, а 'Все люди смертны' или 'Сократ не мудр' не будут.

Предположим теперь, что у нас есть, скажем, п атомарных пропозиций р, q, г .... В отношении их истинности и ложности имеется 2" взаимоисключающих окончательных возможностей, которые мы можем упоря-дочить в таблице типа следующей (И обозначает истину, Л - ложь; ради краткости примем п = 2). р я И И л И И л л л

Эти 2" возможностей мы будем называть истинностными возможностями п атомарных пропозиций.

Таким образом, р я И И л л И И И л И л л И

представляет собой пропозицию 'р и q не являются оба истинными' или 'р несовместимо с q\ ибо мы допустили все возможности, кроме первой, от которой отказались. Сходным образом р ч И И И л И И И л л л л И

представляет собой пропозицию 'Если р, то q\

Пропозиция, выражающая согласование и несогласование с истинностными возможностямиp,q ... (которым не обязательно быть атомарными) называется функцией истинности от аргументовp,q... . Или, более точно, о Р говорится, что она является той же самой функцией истин-ности от p,q ..., каковой является R от г, s ..., если Р выражает согласование истинностных возможностейр, q ... , соответствующее при подстановке р вместо г, q вместо s ... истинностным возможностям Г, S ... , с которыми R выражает согласование. Так, 'р и q' есть та же самая функция от р, q, каковой является 'г иот г, s; в каждом случае допускается единственная возможность того, чтобы оба аргумента были истинными. М-р Витгенштейн осознал, что если мы принимаем такое рассмотрение истинностных функций как выражение согласования или несогласования с истинностными возможностями, то нет причин, по которым аргументы истинностных функций не являлись бы бесконечными по числу . Поскольку никто из предшествующих авторов не рассматривал истинностные функции как применимые более чем к конечному числу аргументов, это нововведение является наиболее важным. Разумеется, если аргументы бесконечны по числу, их нельзя перечислить все и записать по отдельности; но нам и не нужно их перечислять, если мы можем определить их любым другим возможным способом, используя пропозициональные функции.

Пропозициональная функция - это такое выражение формы ', что оно выражает пропозицию, когда любой символ (определённого подходящего логического типа, зависящего от/) подставляется вместо' ^'.

Таким образом, обнаруживается, что общие пропозиции, содержащие 'нее' и 'некоторые', являются истинностными функциями, для которых аргументы не перечисляются, но даны другим способом. Но мы должны предостеречь здесь от возможной ошибки. Возьмём такую пропозицию, пак 'Все люди смертны'; она не является, как можно было бы предположить, логическим произведением пропозиций 'х смертен' для тех значений х, которые являются людьми. Можно легко показать, что такая интерпретация ошибочна (см., например, Principia Mathematica, І, Iм ed., p. 47, ed., p. 45). 'Все люди смертны' должно интерпретироваться как означающее '(*). если* — человек, то х смертен', т.е. она является логическим произведением всех значений функции 'если х — человек, то х смертен'.

М-р Витгенштейн утверждает, что все пропозиции являются в этом определённом смысле истинностными функциями элементарных пропозиций. Это сложно доказать, но благодаря ряду достоинств крайне удобно; оно говорит, что когда мы утверждаем что-либо, мы говорим об одной из определённых групп предельных возможностей, которая реализована, а не о тех возможностях, что остались. К тому же это применимо ко всем пропозициям, которые можно выразить в символизме Principia Mathematica, поскольку последние построены из атомарных пропозиций с помощью использования, во-первых, связок типа 'если, то' и 'или' и, во-вторых, различного вида общностей (мнимые переменные). Оба эти метода конструирования, как было показано, создают истинностные функции9.

На основании такого рассмотрения мы видим, когда два пропозицио-нальных символа должны рассматриваться как примеры одной и той же пропозиции, а именно когда они выражают согласование и несогласование с одним и тем же множеством истинностных возможностей атомарных пропозиций.

Так, в символизме Principia Mathematica

как 'р э q : ~р. э. q\ так и '<7 v : р . ~р' суть более усложнённые способы записи lq'.

4 Относительно формы 'А верит, чтор\ вероятно, будут высказаны сомнения. Ясно, что она не является истинностной функцией 'р', но тем не менее может быть одной из других атомарных пропозиций.

Для любого заданного множества из п атомарных пропозиций в качестве аргументов есть 2" соответствующих истинностных возможностей и, следовательно, подклассов их истинностных возможностей, а потому, истинностных функций от п аргументов, выражающих согласование с каждым подклассом и несогласование с остальными. Но среди этих есть два крайних случая наибольшей важности: один из них тот, в котором мы выражаем согласование со всеми истинностными возможностями, другой - в котором мы не выражаем согласование ни с одной из них. Пропозиция первого вида называется тавтологией, второго - противоречием. Тавтологии и противоречия являются не действительными пропозициями, но вырожденными случаями. Мы можем, вероятно, наиболее легко это прояснить, приняв простейший случай, когда есть только один аргумент.

Тавтология - это р И И л И

т.е. р или не-р .

В действительности она вообще ничего не утверждает; она не делает вас более знающим, чем вы были ранее. Вы ничего не знаете о погоде, если знаете, что дождь идёт или не идёт . Противоречие - это

ИЛ л

л т.е. 'р не является ни истинным, ни ложным'.

Это, очевидно, самопротиворечиво и не представляет возможного состояния дел, чьё существование могло бы утверждаться.

Тавтологии и противоречия могут быть любой степени сложности; приведём другие примеры: \х). феї і>'. фа' - тавтология,. (Эх). фс: фа'- противоречие. Ясно, что, отрицая противоречие, мы получаем тавтологию, а, отрицая тавтологию, - противоречие. Важно видеть, что тавтологии - это не просто истинные пропозиции, хотя для многих целей они могут трактоваться как истинные пропозиции. Подлинная пропозиция

игч го утверждает о реальности, и она является истинной, если реальность і икона, как утверждается. Но тавтология — это символ, сконструированный с тем, чтобы ничего не говорить о реальности, но выражать полное мснсдение, согласуясь с любой возможностью. Ассимиляция тавтологий н противоречий к истинным и ложным пропозициями соответственно

гскает из того факта, что тавтологии и противоречия могут рассматри-

миться в качестве аргументов истинностных функций так же, как обычные пропозиции, а при определении истинности или ложности истинно-стной функции тавтологии и противоречия среди её аргументов должны считаться за истинные и ложные соответственно. Так, если '/' - тавтоло- I им, а 'с' - противоречие, то и р\ 'Если t, то р\ 'с или р' суть то же самое, что и 'р\ а '/ или р\ 'Если с, то р' суть тавтологии.

Благодаря м-ру Витгенштейну, которому принадлежит весь этот анализ, мы получили здесь ясно определённый смысл тавтологии. Но можно шдаться вопросом, является ли смысл, который мы обнаружили у тавтологий, сущностной характеристикой пропозиций математики и символической логики? Вопрос должен решаться сравнением. Являются ли пропозиции символической логики и математики тавтологиями в смысле м- ра Витгенштейна? Начнём рассмотрение не с пропозиций математики, но с пропозиций I'rincipia Mathematica". Последние получаются с помощью процедуры дедукции из определённых исходных пропозиций, которые распадаются на две группы - на те, что выражены в символах, и те, что выражены в словах. Те, что выражены в словах, из-за теории типов почти все являются бессмысленными и должны быть заменены символическими конвенциями. Действительно, исходные предложения, те, что выражены в символах, за одним исключением, являются тавтологиями в смысле Витген-штейна. Поэтому, поскольку процедура дедукции такова, что из тавтологий следуют только тавтологии, если бы не один недостаток, вся структура состояла бы только из тавтологий. Этим недостатком является, конечно, аксиома сводимости, которая, как будет показано ниже , выступает подлинной пропозицией, чья истинность или ложность есть предмет грубого факта, а не логики. Следовательно, она в любом смысле не является тавтологией, и её введение в математику недопустимо. Но, предположим, без неё можно было бы обойтись и, соответственно, модифицировать Principia Mathematica, тогда последняя состояла бы только из тавтологий в смысле Витгенштейна. И, стало быть, если Principia Mathematica на

правильном пути в обосновании и интерпретации математики, математика оказалась бы тавтологичной в витгенштейнианском смысле тавтологии.

¦ г .

..і ikii, ш

Но адекватность Principia Mathematica есть предмет частностей; и поскольку мы видели, что она содержит весьма серьезный порок, мы более не можем быть уверены, что математика - это то, что предполагали под ней Уайтхед и Рассел, или, следовательно, что она состоит из тавтологий в витгенштейнианском смысле. Ясно тем не менее одно: математика не состоит из подлинных предложений или утверждений о фактах, которые могут быть основаны на индуктивной очевидности, на которой предлагалось основать аксиому сводимости, но является в некотором смысле необходимой или тавтологичной. В реальной жизни, как говорит Витгенштейн, "нет никаких математических пропозиций, в которых мы нуждаемся, но мы используем математические пропозиции только для того, чтобы из пропозиций, не принадлежащих математике, выводить другие, равным образом не принадлежащие математике'"3. Так, мы используем '2x2= 4', чтобы из 'В каждом кармане у меня лежит по два пенни' вывести 'В моих карманах всего лежит четыре пенни'. '2x2 = 4' само является не подлинной пропозицией, в пользу которого требуется опытная очевидность, но тавтологией, которую как тавтологию может видеть любой, кто способен полностью схватить её значение. Когда в ма-тематике мы продвигаемся дальше, пропозиции становятся столь усложненными, что мы непосредственно не можем видеть, что они являются тавтологиями, и должны убедиться в этом, выводя их из более очевидных тавтологий. Исходные пропозиции, на которые мы в конечном счбте выпадаем, должны быть такими, что для них не нужно требовать никакой очевидности, поскольку они являются явными тавтологиями типа 'Если р,тор'. Но тавтологии, из которых состоит математика, вероятно, могут, в свою очередь, относиться к тавтологиям не витгенштейнианского типа, но какого-то другого. Их сущностное использование должно облегчать вывод; наиболее наглядно это достигается конструированием тавтологий в смысле Витгенштейна, ибо если 'Еслир, то q' является тавтологией, мы можем логически вывести V из 'р', и наоборот, если V следует из 'р', то 'Еслир, то q' является тавтологией . Но возможно, что есть другие виды формул, которые могут использоваться, чтобы облегчить вывод; например, те, которые мы могли бы назвать тождествами типа la-b\ обозначающими, что 'а' и '&' могут быть подставлены вместо друг друга в любую

ІІ|ІИИП'ІИЦИЮ без ее изменения. Я имею в виду, не без изменения её ИСТИННО 111 или ложности, но без изменения того, чем является пропозиция. В ним смысле '2 + 2 = 4' вполне может быть тождеством, поскольку 'У МГ||< есть 2 + 2 шляпы' и 'У меня есть 4 шляпы' являются одной и той же пропозицией, так как они согласуются и не согласуются с одним и тем же множеством предельных истинностных возможностей.

І Іаша следующая проблема заключается в том, чтобы решить, состо- н і ни математика из тавтологий (в точном смысле, определённом Витген- 1П і сйном, которым мы в будущем будем ограничивать слово 'тавтология') пни формул некоторого другого сорта. Достаточно ясно, что геометрия, в мі юрой мы рассматриваем такие термины, как 'точка', 'линия', подразу- мпинощие какие-то вещи, удовлетворяющие определённым аксиомам, так •но истинностными функциями являются только константные термины і ими 'или' и 'некоторые', состоит из тавтологий. То же самое должно относиться к анализу, если мы рассматриваем числа как то, что удовлетворит аксиомам Пеано. Такая точка зрения, однако, была бы неадекватной, in пому что, поскольку числа, начиная со 100, удовлетворяют аксиомам І Ісаио, она не давала бы нам средство отличить 'Это уравнение имеет три корня' от 'Это уравнение имеет сто три корня'. Поэтому числа должны определяться не как переменные, но как константы, и природа пропозиций анализа становится сомнительной.

Я уверен, что все они являются тавтологиями, но доказательство это- и) зависит от задания нх детального анализа, а опровержение любой дру- |ий теории зависело бы от обнаружения непреодолимых затруднений в деталях её конструкции. В этом разделе я предлагаю обсудить вопрос общим способом, который неизбежно должен быть скорее смутным и неудовлетворительным. Вначале я попытаюсь объяснить значительные шгруднения, которые должна преодолеть теория математики как тавтоло- I ий, а затем я объясню, почему альтернативные виды теорий, предполагаемые этими затруднениями, кажутся абсолютно непригодными. В следующих разделах я вернусь к теории, что математика состоит из тавтологий, рассмотрю и отчасти отвергну тот метод преодоления затруднений, который предложен в Principia Mathematica, и сконструирую альтернативное и, по моему мнению, удовлетворительное решение.

Наша первая задача - затруднения в теории тавтологий. Они вытекают из фундаментальной характеристики современного анализа, на которую мы теперь укажем. Эта характеристика может быть названа экстенсиональностью, а затруднения можно объяснить как проблемы, которые истают перед нами, если мы пытаемся свести исчисление объёмов к исчислению истинностных функций. Здесь, конечно, мы используем 'объём' [extension] в его логическом смысле, в котором объём предиката является классом, объём отношения - классом упорядоченных пар; поэтому, назы-вая математику экстенсиональной, мы подразумеваем, что она имеет дело не с предикатами, но с классами, не с отношениями в обычном смысле, но с возможными соответствиями, или "отношениями по объёму", как называет их м-р Рассел. Возьмём в качестве примера этого пункта три фундаментальных математических понятия - идею действительного чис- : ла, идею функции (действительной переменной) и идею подобия классов (в смысле Кантора).

Действительные числа определяются как сегменты рациональных; любой сегмент рациональных чисел есть действительное число, и их име- j ется 2Хо. Нет необходимости в том, чтобы сегмент определялся каким- I либо свойством (или предикатом) его членов в обычном смысле предиката. Следовательно, действительное число - это объём и даже, быть мо- і жет, объём без соответствующего содержания [intension]. Тем же самым способом функция действительной переменной является отношением по объёму, которую не нужно задавать каким-либо реальным отношением или формулой.

Этот пункт, вероятно, наиболее рельефен в определении подобия у і Кантора. Говорится, что два класса подобны (т.е. имеют одинаковое кардинальное число), когда имеется одно-однозначное отношение, чьей об- і ластью является один класс, а конверсной областью - другой. Здесь су- j шественно то, что одно-однозначному отношению нужно быть только ; отношением по объёму; очевидно, что два класса могут быть подобны, 1 т.е. могут быть соотнесены, не находясь в каком-либо действительном соотносящем их отношении.

Есть проблема с языком, которую требуется здесь упомянуть; я использую слово 'класс' так, чтобы не привлекать принцип классификации, как естественно предполагается этим словом, но под 'классом' я подразу-меваю любое множество вещей одного и того же логического типа. Мне кажется, что такое множество может или не может быть определено перечислением или как объём предиката. Если этого сделать нельзя, мы не можем упоминать его само по себе, но можем иметь с ним дело только имплицитно в пропозициях относительно всех классов или некоторых классов. То же самое истинно для отношений по объёму, под которыми я подразумеваю не просто объёмы действительных отношений, но любое множество упорядоченных пар. То, что это понятие встречается в математике, кажется мне совершенно ясным из последнего из указанных выше примеров канторовского определения подобия, где, очевидно, для одно- однозначного отношения нет необходимости быть либо конечным, либо объёмом действительного отношения.

Таким образом, математика существенно экстенсиональна и может Оы гь названа исчислением объёмов, поскольку её пропозиции утверждают отношения между объёмами. Её, как мы говорили, сложно свести к исчислению истинностных функций, к которым она должна быть сведена, если математика состоит из тавтологий; ибо тавтологии являются ис- шпностными функциями определённого особого сорта, а именно истинностными функциями, согласующимися со всеми истинностными возможностями своих аргументов. Вероятно, наиболее легко мы сможем объяснить затруднение на примере. Возьмём экстенсиональное утверждение простейшего возможного шпа: утверждение, что один класс включает другой. Пока классы определяются как классы вещей, обладающих некими предикатами ф и % штруднения нет. То, что класс у-ок включает класс ф-ок, просто означает, что всё, что является ф, является щ а это, как мы видели выше, представляет собой истинностную функцию. Но мы видели, что математика имеет дело (по крайней мере, явно) также и с классами, которые не заданы определяющими предикатами. (Такие классы встречаются не только тогда, когда упоминаются раздельно, но также в любом высказывании обо 'всех классах', 'всех действительных числах'.) Возьмём два таких, по возможности наиболее простых, класса - класс (а, Ь, с) и класс (а, 6). Тогда то, что класс (а, Ь, с) включает класс (а, Ь), является в широком смысле тавтологичным и, несмотря на тривиальность, должно быть математической пропозицией; по оно, по-видимому, не является тавтологией в смысле Витгенштейна, т.е. некоторой разновидностью истинностной функции элементарных пропозиций. Очевидный способ попытаться образовать из этого истинностную функцию состоит в том, чтобы ввести тождество и записать '(а, Ь) содер-жится в (а, Ь, с)' как '(х):. * = a . v .х-Ь : г>: л: = а . v. * = Ъ . v .х = с'. Это определённо выглядит как тавтологичная истинностная функция, чьими предельными аргументами являются значения 1х = а\ 1х = Ь\ 1х = с\ т.е. пропозиции типа 'а = а', '6 = а\ ld= а\ Но последние вообще не являются действительными пропозициями; в 'а = 6' либо 'а' и '6' являются именами одной и той же вещи, и в этом случае пропозиция не говорит ничего, либо именами различных вещей, и в этом случае она является абсурдной. Ни в одном из случаев она не утверждает факт; она только кажется действительным утверждением из-за смешения со случаем, когда 'а' или 'b' является не именем, но дескрипцией". Когда и 'а', и '6' являются именами, единственное значение, которое может быть придано 'а = Ь\ состоит в том, что оно указывает на то, что мы используем 'а' и 'Л' в качестве имён одной и той же вещи или, более общо, как эквивалентные символы.

Предыдущее и другие наблюдения привели Витгенштейна к выводу, что математика состоит не из тавтологий, но из того, что он называл 'уравнениями', вместо чего я предпочёл бы поставить 'тождествами', т.е. формул формы 1а = Ь\ где 'а' и 'А' являются равными символами. В этом есть определённое удобство, например при рассмотрении '2 + 2 = 4'. Поскольку 'У меня есть 2 + 2 шляпы' и 'У меня есть 4 шляпы' являются одной и той же пропозицией , '2 + 2' и '4' являіотся равными символами. В таком виде это, очевидно, до смешного узкий взгляд на математику, ограничивающий её до простой арифметики; но интересно, можно ли сконструировать математику с тождеством в качестве своего основания? Я посвятил некоторое время развитию такой теории и нашёл, что она сталкивается с тем, что представляется мне непреодолимыми трудностями. Здесь следовало бы оставить попытку дать детальный обзор этого тупикового пути, но я попытаюсь в общем виде указать препятствия, в которые он упирается.

Прежде всего, мы должны рассмотреть, какая разновидность матема-і тических пропозиций будет в такой теории. Мы полагаем, что самым примитивным типом будет тождество 'а = Ь\ которое становится действительной пропозицией, если берётся не как пропозиция о вещах, подразумеваемых 'а' и 'А', но о самих этих символах. Математика тогда состоит из пропозиций, построенных из тождеств с помощью процесса, аналогичного тому, посредством которого обычные пропозиции конструируются из атомарных; другими словами, математические пропозиции в некотором смысле являются (согласно этой теории) истинностными функциями тождеств. Возможно, это преувеличение, и теория не может утверждать, что все математические пропозиции относятся к этой форме; но ясно, что это одна из наиболее важных форм, которые, по предположению, должны встречаться. Таким образом, о

'х2-3х + 2 = 0::э :x=2.v.x= Г

следовало бы говорить, что оно относится к такой форме и должно соответствовать вербальной пропозиции, которая является истинностной функ-цией вербальной пропозиции, соответствующей аргументам 1х = 2' и т.д. Таким образом, указанная выше пропозиции составляла бы 'Если "х2 - Зх + 2" иіішмнет 0, то "х" означает 2 или 1'. Математика была бы тогда, по край- іИІ мере частично, деятельностью по конструированию формул, которые і мким способом соответствуют вербальным пропозициям. Такую теорию IH.UH) бы трудно и, вероятно, невозможно развить в деталях, но, я думаю, ні п. другие, более простые причины её отвергнуть. Они возникают, как мни.ко мы прекращаем считать математику изолированной структурой и I (посматриваем математические элементы в нематематических пропозиціях. Для простоты ограничимся кардинальными числами и предположим, нам известен анализ пропозиции, что класс ф-ок есть п по числу

| ^ ((&)€«]. Здесь Сможет быть любым обычным предикатом, определяющим класс; например, класс ф-окможетбытьклассомангличан. Возьмём іепсрь такую пропозицию, как 'Квадрат числа ф-ок на два больше, чем куt> числа у/-ок'. Я думаю, нам не сможет помочь следующий анализ этой пропозиции:

(3/и, и) . х(фк)ет. х(і//х)єп. т1 = я3 + 2.

Это эмпирическая, а не математическая пропозиция, и относится она к ф-кш и (/Акам, а не к символам; однако в ней встречается математичес- МІИ исевдопропозиция т2 = п3 + 2, которой, согласно обсуждаемой теории, мы можем придать смысл, только относя её к символам, делая тем шмым всю пропозицию отчасти относящейся к символам. Кроме того, Луду чи эмпирической пропозицией, она является истинностной функцией элементарных пропозиций, выражающих согласование с теми возможностями, которые задают числа ф-ок и і//-ок, выполняющих т1 = г? + 2. Таким образом, '/и2 = я3 + 2' является, как это, по-видимому, и есть, не одним из аргументов истинности в указанной выше пропозиции, но скорее частью истинностной функции типа V или 'Э/и, п\ определяющей, какую истинностную функцию элементарных пропозиций мы ут- иерждаем. Такое объяснение использования т1 = и3 + 2 математической іеорией тождества является совершенно неадекватным.

С другой стороны, теория тавтологий делала бы всё, что требуется; согласно ей тг = и3 + 2 была бы тавтологией для тех значений man, которые её выполняют, и противоречием для всех других. Так,

х(фх)ет. х(щ)&п . т2- и3 + 2

для первого множества значений т и п была бы просто эквивалентна

(3/и, и). х(фх)ет.х

поскольку т2 = и3 + 2 является тавтологией и, следовательно, излишня; для всех других значений т2 = п} + 2 было бы самопротиворечивым. (5) Поэтому

'(Зт, п). х (фх)ет . х(щ)еп . т2 = п* + 2' была бы логической суммой пропозиций

''*х(фх)ет. /х(щ)єгі'

для всех тип, выполняющих т2 = и3 + 2, и противоречием для всех дру- j гих типи, следовательно, была бы требуемой нами пропозицией, по- I скольку логическая сумма противоречий является излишней. Поэтому затруднение, которое казалось фатальным для теории тождества, вообще избегается теорией тавтологий, следование которой, таким образом, вселяет в нас надежду и к которой мы обратимся, если не найдём способа преодолеть затруднения, которые обнаружились перед нами в попытке свести исчисление объёмов к исчислению истинностных функций. Попытка такого решения содержится в Principia Mathematica, и она будет обсуждаться в следующем разделе; но перед тем как мы к этому перейдём, необходимо кое-что сказать о хорошо известных противоречиях теории множеств, которых наша теория также должна избежать. j

(1) Класс всех классов, которые ие являются элементами самих себя, j

Отношение между двумя отношениями, где одно не находится в отношении самого себя к другому.

Парадокс Бурали-Форти относительно наибольшего ординала.

(4) 'Я сейчас лгу'.

Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами.

Наименьший неопределимый ординал.

Парадокс Ришара.

Парадокс Вейля относительно 'гетерологическое'10. Принцип, по которому я их разделяю, имеет фундаментальную важность. Группа А состоит из противоречий, которые, если против них не принять меры предосторожности, встречались бы в самих логических и математических системах. Они включают только логические или математические термины, такие как класс и число, и показывают, что здесь дол- лип быть какая-то ошибка с нашей логикой или математикой. Но проти- ипречия группы В не являются чисто логическими и не могут быть сфор- муииронаны в одних логических терминах, ибо все они содержат некоторую отсылку к мысли, языку или символизму, которые являются не фор- МИ1Н.НЫМИ, но эмпирическими терминами. Поэтому своим возникновением они могут быть обязаны не ошибочной логике или математике, но ошибочным идеям, касающимся мысли и языка. Если это так, их не сле- uyci относить к математике или логике, если под 'логикой' мы подразу- мпшсм символическую систему, хотя они, конечно, относятся к логике в і мі.ісле анализа мысли".

'Угот взгляд на вторую группу противоречий не является оригинальным. Например, Пеано решил, что "Exemplo de Richard поп pertine ad Mnlhcmatica, sed ad linguistica'"9, и поэтому отбросил его. Но такая уста- щнікн не вполне удовлетворительна. У нас есть парадоксы, включающие мк математические, так и лингвистические идеи; математики отбрасывают их, говоря, что ошибка должна заключаться в лингвистическом элементе, но лингвисты равным образом вполне могут отбросить их по про- I ниоиоложной причине, и противоречие никогда не будет разрешено. Един- t шейное решение, которое когда-либо было дано , содержащееся в I'rincipia Mathematica, определённо приписывает эти противоречия плохой логике, и необходимо ясно показать оппонентам этой точки зрения ошибку в том, что Пеано называл лингвистикой, но что я предпочёл бы шивать эпистемологией, которой обязаны эти противоречия.