IV. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНЫЕ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Перед тем как продолжить, остановимся и посмотрим, чего мы доби» лись. Мы видели, что введение понятия предикативной функции дало нам область для ф, которая позволяет избавиться от аксиомы сводимости.

От затруднения с тождеством мы можем, ценой значительных неудобств, избавиться, применяя конвенцию Витгенштейна, которая позволяет нам удалить знак '=' из любой пропозиции, в которой он встречается. Но это ставит нас в безнадёжное положение относительно классов, поскольку, избавляясь от '=' вообще, мы больше не можем в определении конечных классов использовать х = у как пропозициональную функцию. Поэтому единственные классы, с которыми мы теперь способны иметь дело, - это классы, определяемые предикативными функциями.

Быть может, здесь полезно повторить определение предикативной функции индивидов; она представляет собой любую истинностную функцию атомарных функций и атомарных пропозиций. Мы называем такие функции 'предикативными', поскольку они соответствуют, насколько точное понятие может соответствовать смутному, идее, что фа предицирует а то же самое, что фЬ предицирует Ь. Они включают все пропозициональные функции, которые встречаются в Principia Mathematica, в том числе и тождество, как здесь определено. Очевидно, однако, что мы не должны так определять тождество, т.е. как согласованность в отношении всех предикативных функций, поскольку две вещи явно могут быть согласны в отношении всех атомарных функций и, следовательно, в отношении всех предикативных функций, тем не менее они могут быть двумя вещами, а не одной, как подразумевало бы предлагаемое определение тождества.

Поэтому наша теория в каждой части так же не адекватна, чтобы обеспечить экстенсиональную логику, как и Principia Mathematica; фактически, если мы отвергаем это ложное определение тождества, мы не способ-; ны включить в рассматриваемые классы даже конечные, перечислимые классы.

Если мы вообще должны сохранить обычную форму математики, то всё выглядит так, как если бы понятие пропозициональной функции не- нПчодимо было несколько расширить, с тем чтобы включить также и дру- I иг классы. Такое расширение желательно и по другим основаниям, по- I «ильку относительно многих вещей, которые было бы естественно рас- I ми тривать как пропозициональные функции, можно показать, что они иг инляются предикативными функциями.

Например,

F(x, у) = Нечто - иное, чем хиу- удовлетворяет фх .

(Здесь, конечно, 'иное, чем' должно рассматриваться строго, а не как 'неличное от' в смысле Principia Mathematica.)

Последнее не является предикативной функцией, но построено из чнстей двух предикативных функций.

Длях*>>

F(x, у) есть фх . фу : z>: Nc' z (фг) > 3 : . фс. ~фу. v . фу. ~фх : z>: Nc' z (фг) >2 : .

~фх. ~фу : э : Nc' z (фг) t 1.

Это - предикативная функция, поскольку она является истинностной функцией фс, фу и константной пропозиции Nc' ^ (фг) > 1,2, 3, которая не иключаетх и у.

Для х = у

F(x, х) есть ф(х). z>. Nc' z (фг) > 2 :

что является предикативной функцией.

Но сама F(x, у) не является предикативной функцией, вероятно, это более сложно увидеть. Но легко видеть, что все функции этого вида не могут быть предикативными, поскольку, если бы они были таковыми, мы могли бы найти предикативную функцию, выполняющуюся каким- то одним заданным индивидом а, что мы, очевидно, в общем не можем сделать.

Ибо допустим fa (для отрицания возьмём ~fx ).

Пусть а= х (fx),

/3=сс-(а). ¦rtitfи:і і --);

56 Опубликованные статьи .

Тогда фх = 'Помимо х нет ничего, что выполняет fx и не является чле-' ном р' применяется к я, и только к а.

Как F(x, у) выше, так и 1х=у' создано из двух предикативных функций.

Длях*>>

за 'х = у можно взять (3 ф). фх. ~фх : (3 ф).фу. ~фу, т.е. противоречие.

Для* =_у

за 1х = у' можно взять (ф):. фх. v. ~фс: фу. v . ~фу, т.е. тавтологию.

Но само 'х = у' не является предикативной функцией.

Таким образом, кажется, что нам нужно ввести непредикативные про-позициональные функции. Как это должно быть сделано? Единственно осуществимый способ должен сделать это настолько радикально и решительно, насколько возможно вообще исключить представление о том, что фа говорит об а то, что фЬ говорит о Ь\ трактовать пропозициональные функции как функции математические, т.е. полностью их экстенсионали- зировать. В самом деле, ясно, что, поскольку математические функции производны от пропозициональных, мы получим адекватное экстенсиональное рассмотрение первых, только обретя совершенно экстенсиональный взгляд на последние.

Поэтому в добавление к прежде определённому понятию предикативной функции, которое нам ещё потребуется в дальнейшем, мы определяем или, скорее, объясняем, ибо в нашей системе это должно приниматься как неопределяемое, новое понятие экстенсиональной пропозициональной функции [prepositional function in extension]. Такая функция от одного индивида проистекает из некоего одно-многозначного отноше-ния по объёму между пропозициями и индивидами; другими словами, из соответствия, осуществимого или неосуществимого, которое к каждому индивиду присоединяет особую пропозицию, индивид является аргументом функции, пропозиция - её значением.

Так, ^(Сократ) может быть: Королева Анна умерла.

^(Платон) может быть: Эйнштейн великий человек;

фх- это просто произвольно приписанные индивиду х пропозиции фх. Экстенсиональная функция будет отмечаться нижним индексом е следующим образом: фсх .

Тогда мы можем говорить о совокупности таких функций как об оОццсти мнимой переменной фе.

Рассмотрим теперь

(Фе) ¦ фх = Фу,

нотрое утверждает, что в любом таком соответствии пропозиция, соотнесенная с х, эквивалентна пропозиции, соотнесённой с у.

Если х-у, то это - тавтология (поскольку является логическим про- ишедением значений р гр).

11о если х фу, то это - противоречие.

Тогда для этого соответствия fcx ,fe х есть р,/еу есть ~р, поэтому I,х ш/еУ является самопротиворечивым и (ф^. фх = фу является самопро- ишоречивым.

Таким образом, . фх = фу является тавтологией, еслих=_у, и про- инюречием, если X фу*9.

Поэтому его, соответственно, можно взять как определение х = у.

х-у- это экстенсиональная функция двух переменных. Её значением является тавтология, когда хиу имеют одно и то же значение, и проти- иоречие, когда хиу имеют разные значения.

Теперь мы можем определить эту предполагаемую область функций дня переменной фс, предохраняясь от нападок, что она нелогична и ведёт к противоречиям. Она логична, поскольку является вразумительным способом записи, придающим определённое значение символам, в которых она разрабатывается. Не может она привести и к противоречиям, ибо будет избегать всех предполагаемых противоречий так же, как их будет избегать область предикативных функций. Любой символ, содержащий переменную ф , будет обозначать способом, отличным от символа, её не содержащего, и у нас будет тот же самый сорт двусмысленности 'значения', как в разделе III, который устранит противоречия. Посредством нашей новой записи нельзя будет каким-либо способом восстановить и первую группу противоречий, ибо для класса всё ещё невозможно будет являться членом самого себя, поскольку наши экстенсиональные функции по определению ограничены определёнными типами аргументов.

Теперь мы должны принять два определённых нами понятия, предикативные функции и экстенсиональные функции, и рассмотреть, в каких

" С другой стороны, (ф). фк в фу (ф предикативна) является тавтологией, если х=у, но не противоречием, еслиXФу.

случаях мы будем стремиться использовать одно, а в каких - другое , Для начала возьмём случай, когда аргументы являются индивидами: тогда есть все преимущества в том, чтобы рассматривать область функций, которую мы используем в математике, как область экстенсиональных фун-кций.

С другой стороны, когда мы переходим к функциям от функций ситуация становится совсем иной. По-видимому, здесь нет возможности рассматривать что-то помимо предикативных функций от функций; причины для введения экстенсиональных функций более не применимы. Ибо нам нужно определить не тождество между функциями, но только тождество между классами, сводимое к эквивалентности функций, которое легко определить. Мы ведь стремимся рассматривать не классы функций, но классы классов, более простая трактовка которых также возможна. Поэтому в случае функций от функций мы ограничиваемся такими, которые являются предикативными.

Напомним определение предикативной функции от функций; она является истинностной функцией их значений и константных пропозиций .

Ни- функции от функций, которые встречаются в Principia, относятся к null разновидности, но 'Я верю, что (х). фх' как функция фх - нет. Пре- шкмгивные функции от функций являются экстенсиональными в смысле

Л

І'і mcipia, т.е. если областьД ф х) является областью предикативных фун- ИІІПЙ от функций, то

')ТО происходит потому, ЧТОЛфс х ) является истинностной функцией ННІЧСНИЙ фх, которые эквивалентны соответствующим значениям у/х, так 410АФе х) эквивалентно^ у/ х).

Пели бы мы это предполагали, у нас была бы очень простая теория иннссов, поскольку не было бы нужды отличать X (фх) от X .

i.e. логическая сумма фх =л. у/х для всех функций у/ х , которые определяют члены класса классов. Конечно, если класс классов является бесконечным, это выражение не может быть записано. Но тем не менее логическая сумма этих функций будет, хотя мы и не можем её выразить .

Поэтому, чтобы получить полную теорию классов, мы должны принять, что область функций от индивидов является областью экстенсиональных функций; но область функций от функций является областью предикативных функций. Используя эти переменные, мы получаем систему Principia Mathematica, упрощённую тем, что опущена аксиома сводимости и несколько соответствующих изменений. Формально она почти не изменилась, но её смысл значительно переменился. И в таком сохранении формы при модификации интерпретации я следую великой школе математических логиков, которые посредством ряда поразительных оп- І Іоказав, таким образом, что аксиома сводимости не является ни тав- іиіци ней, ни противоречием, перейдём к аксиоме мультипликативности. < 'mi утверждает, что если задан любой реальный класс К реальных клас- пш, i.e. некий класс, имеющий в точности один общий член с каждым нп'ипм из К, если под 'классом' мы подразумеваем, как делаю я, любое •тожество вещей, однородных по типу и не с необходимостью определя-

чі.іх посредством функции, которая не является просто экстенсиональ-ной функцией, аксиома мультипликативности кажется мне наиболее оче- мнпиой тавтологией. Я не могу видеть, каким образом она может быть предметом сомнений, и, я думаю, она никогда не была бы предметом со-мнений, если бы не была неправильно интерпретирована. Ибо в значении, которое она имеет в Principia, где классы, чьё существование она уїмерждает, должны быть определимы только посредством пропозицио- шнп.ной функции той разновидности, которая встречается в Principia, она н'йетвителыю становится сомнительной и, подобно аксиоме сводимос-

II, ИС является ни тавтологией, ни противоречием. Мы доказываем это, показывая, что

Она не является противоречием.

Ибо вполне возможно, чтобы каждый класс (в моём смысле) был бы определён посредством атомарной функции, так что, поскольку обязан ІІІ.И Ь класс в моём смысле, имеющий один общий член с каждым членом н і К, он был бы и классом в смысле Principia.

Она не является тавтологией.

Чтобы это показать, возьмём не саму аксиому мультипликативности, ио эквивалентную теорему, что любые два класса соизмеримы.

Рассмотрим тогда следующий случай. Пусть существуют не атомарные функции от двух или более переменных, а только следующие атомарные функции от одной переменной:

Свяжем с каждым индивидом а атомарную функцию фа х такую, что

ф х . = , х = а.

~ и X

Другая атомарная функция fx такова, что как х (fx), так и х (~fx) ннл я юте я бесконечными классами.

Тогда, в смысле Principia, не существует одно-однозначного отношения, имеющего в качестве области либо х ifx), либо х i~fx), и, следовательно, эта два класса несоизмеримы.

Стало быть, аксиома мультипликативности, интерпретированная как п Principia, не является тавтологией, но логически сомнительна. Но, как ин« терпретирую еб я, она является очевидной тавтологией, и это можно считать дополнительным преимуществом моей теории. Вероятно, возразят, что если она является тавтологией, должна быть возможность её доказать, т.ч. вывести из более простых исходных пропозиций, которых достаточно для выводимости остальной математики. Но мне ничуть не кажется неправдоподобным существование тавтологии, которая формулировалась бы в конечных терминах и чье доказательство тем не менее было бы бесконечно сложным и, следовательно, для нас невозможным. Более того, мы не можем ожидать доказательства аксиомы мультипликативности в моей системе, поскольку моя система формально та же самая, что и система Principia, а аксиома мультипликативности, очевидно, не может быть доказана в сие-1 теме Principia, в которой она не является тавтологией. j

Теперь мы переходим к аксиоме бесконечности, для которой моя сис-1 тема и система Principia снова дают различные интерпретации. В Principia,! благодаря используемому здесь определению тождества, эта аксиома под-] разумевает, что существует бесконечность различимых индивидов, что| является эмпирической пропозицией; поскольку, даже предполагая, что| бесконечность индивидов должна быть, логика не может определить, существует ли их бесконечность, а не два, которые имеют общими все свойства. Но в моей системе, допускающй экстенсиональные функции, аксиома бесконечности утверждает просто то, что есть бесконечное число индивидов. Это равным образом представляется вопросом факта, но глубок кий анализ Витгенштейна показал, что это иллюзия и что если это нечтс подразумевает, оно должны быть либо тавтологией, либо противоречием, Это было бы гораздо легче объяснить, если бы мы начали не с бесконеч' ности, но с некоторого меньшего числа.

Начнем с 'Существуют индивиды', или, записывая в логической символике как можно проще, с

'(Эх) .х = х\

Что же представляет собой эта пропозиция? Она является логической суммой тавтологий х = х для всех значений х и, следовательно, является тавтологией. Но, предположим, индивидов бы не было и, следовательно, не было бы значений х, тогда вышеуказанная формула будет совершенно бессмысленной. Поэтому, если она нечто подразумевает, она должна быть тавтологией.

Следующим возьмём 'Существуют по крайней мере два индивида', или

'(3 х,у).хФу'.

и.і.іиічикашишшшшіїч

Это логическая сумма пропозиций х * у, которые являются тавтоло- мшми, если х и у имеют различные значения, и противоречиями, если кии имеют одинаковые значения. Поэтому она является логической суммой множества тавтологий и противоречий и, следовательно, тавтологи- •II. если какая-то одна из множества пропозиций является тавтологией, но, н противном случае, она является противоречием. То есть она являет- t н тавтологией, если х и у могут принимать различные значения (т.е. если ость два индивида), в противном случае, она является противоречием.

Непродолжительное размышление покажет, что это будет иметь силу не только для 2, но для любого другого числа, конечного или бесконечно- ю. То есть 'Существует по крайней мере п индивидов' всегда является инбо тавтологией, либо противоречием и никогда подлинной пропозици- Mt. Мы не можем, следовательно, ничего сказать о числе индивидов, поскольку, когда мы пытаемся это сделать, мы никогда не переходим к кон- с і руированию подлинной пропозиции, но только к формуле, которая яв- ние гся либо тавтологичной, либо самопротиворечивой. Число индивидов, но выражению Витгенштейна, может быть только показано, и оно будет ноказано тем, являются ли указанные выше формулы тавтологичными или противоречивыми.

Последовательность 'Существуют индивиды':

'Существует по крайней мере 2 индивида', 'Существует по крайней мере п индивидов', 'Существует по крайней мере К0 индивидов', 'Существует по крайней мере К, индивидов'

начинается как тавтологичная, но где-то она становится противоречивой, и позиция последнего тавтологичного элемента показывает число индивидов.

Можно удивиться тому, каким образом, если об этом числе ничего нельзя сказать, мы можем, как различные возможности, предвидеть, что число индивидов в мире является таким-то. Мы делаем это, воображая различные универсумы рассуждения, которыми мы можем быть ограни-чены, так что под 'все' мы подразумеваем все в универсуме расуждения; и тогда то, что такой-то универсум содержит такое-то количество индиви-дов, действительно является возможным и может утверждаться в подлин-ной пропозиции. Только тогда, когда мы берём не ограниченный универ-сум рассуждения, а мир в целом, нельзя ничего сказать о числе индивидов нем. Мы можем создать логику не только для всего мира, но также и для ограниченного универсума рассуждения; если мы возьмём универсум, содержащий п индивидов, то ,

і

Nc' х(х = х)~?п будет тавтологией,

Nc' х(х = х)>. п+1 будет противоречием.

Следовательно, Nc' х (х ~ х) п+\ не может быть выведено из исходных пропозиций, общих всем универсумам, стало быть, для универ» сума, содержащего п + 1 индивидов, должна приниматься как исходная пропозиция.

Сходным образом, аксиома бесконечности в логике всего мира, если она является тавтологией, не может быть доказана, но должна приниматься как исходная пропозиция. И разумеется, мы должны её принять, если но предпочитаем точку зрения, что всякий анализ является самопротиворен чивым и бессмысленным. Мы ведь должны предполагать не то, что какое-то отдельное множество вещей, например атомов, является бесконечным, но просто то, что есть некоторый бесконечный тип, который мы можем принять как тип индивидов.