ЭПИЛОГ (1925)

Будучи обязан написать работу для Общества, я, как обычно, затруднился с выбором темы, но я льстил себя тем, что этот порок касается не только меня, а вырастает из того факта, что предмета, подходящего для обсуждения, действительно нет.

Если это истинно, вопрос серьёзен. Ибо для чего же существует Общество, если не для дискуссий? А если нечего обсуждать... но это можно оставить на потом.

Я не собираюсь утверждать, что не было ничего, что стоило бы обсуждать, но утверждаю, что нет ничего помимо этого; действительно, мы установили всё, осознав, что, помимо науки, познать ничего нельзя. И поскольку большинство из нас некомпетентно в большинстве наук, то, обмениваясь информацией, мы не можем с пользой обсуждать эту информацию, поскольку являемся только слушателями.

Окинем взглядом возможные предметы для дискуссии. Насколько я могу видеть, они подпадают под следующие заголовки: наука, философия, история и политика, психология и эстетика (предваряя какие бы то ни было вопросы, я отделяю психологию от других наук). Если исключить специалистов, то наука, история и политика не подходят для обсуждения. Другие темы просто требуют большей информации, и до тех пор, пока дополнительная информация не получена, необходимо только мнение тех, кто в этой области разбирается лучше всех. Существует ещё философия, но она также стала слишком техничной для непрофессионалов. В добавок к этим недостаткам, есть мнение величайших современных философов, что такого предмета, как философия, нет, что она является не учением, а методом и что вместо ответов на вопросы она просто нацелена на исцеление головной боли.

Возьмём в качестве примера недавнюю лекцию Рассела "Во что я верю". Предмет своей веры он разделяет на две части: философию природы и философию ценностей. Его философия природы в главном состоит из выводов современной физики, физиологии и астрономии с незначительной примесью его собственной теории материальных объектов как отдельной разновидности логического конструирования. Её содержание, следовательно, может обсуждаться только теми, кто обладает соответствующими знаниями в теории относительности, атомистической теории, физиологии и математической логике. Единственная остающаяся возможность для дискуссии, связанная с этим разделом его статьи, состояла бы в подчёркивании ошибок в определённых пунктах, например в несоразмерности физических размеров звёзд и человека. К этой теме я ещё вернусь.

Его философия ценностей состояла в утверждении, что единственные вопросы о ценностях - это вопросы о потребностях людей и о том, как их потребности могут быть удовлетворены; отталкиваясь от этого, он переходит к ответам на эти вопросы. Поэтому вся проблема оказывается частью психологии и её обсуждение следует отнести к вопросам последней.

Его главное высказывание о ценностях можно, разумеется, оспорить, и большинство из нас согласны с тем, что объективность добра - это то, что мы принимаем или отвергаем в связи с существованием Бога. Однако нам следует осознать, что теология и абсолютная этика, эти две известные темы, не имеют предмета.

Этика тогда сводится к психологии, и это приводит меня к психологии как теме для обсуждения. О большинстве из наших собраний можно было бы сказать, что они имели дело с психологическими вопросами.

Я думаю, что мы редко, если вообще когда-либо, обсуждаем фундаментальные психологические вопросы, но гораздо чаще просто сравниваем их с нашим опытом, что не является формой дискуссии. Я думаю, мы слишком редко осознаём, насколько часто наши аргументы имеют следующую форму: А:. "По полудни я ходил в Гранчестер"; В.: "А я не ходил". Часто мы обсуждаем и другую тему, например, что мы восхище- ны некоторыми людьми или поступками или стыдимся их. Возьмём наше обсуждение способности сдерживать аффекты. А., например, утверждает, что он испытывает неловкость, утрачивая невозмутимость, а В. утвер-ждает, что в этом случае он не чувствует никакой вины. Но, несмотря на приятное времяпрепровождение, это, вообще говоря, является ие дискуссией, но обменом мнений.

Подлинная психология, с другой стороны, - это наука, о которой большинство из нас знает слишком мало, чтобы отважиться на рискованное суждение.

Наконец, остаётся эстетика, включая литературу. Эта тема возбуждает нас более, чем что-либо ещё, но на самом деле мы не обращаемся к ней не часто. Наши аргументы слишком слабы, мы всё ещё находимся на уров-не "Давайте обсуждать вкус бананов с теми, кто их ел" и слишком мало можем сказать о психологических проблемах, из которых действительно состоит эстетика, например почему определённое сочетание цветов вызывает у нас такие особые впечатления. То, что мы действительно делаем, вновь похоже на сравнение с нашим опытом. В данном случае эта практика особенно выгодна, поскольку критика может указать другим на то, относительно чего они, если бы уделили внимание, получили бы те же самые впечатления, которых лишились бы в противном случае.

Я прихожу к заключению, что обсуждать действительно нечего, и это заключение соответствует ощущению, которое я обычно испытываю от разговоров. Это относительно новое явление, которое вызвали две причины, оказывающие постоянное воздействие на протяжении девятнадцатого века. Одна из них - это прогресс науки, другая - упадок религии; и это сделало все прежние общие вопросы либо техническими, либо смешными. Этот процесс в развитии цивилизации каждый из нас должен повторить в себе. Я, например, пришёл как новичок и получал удовольствие от обсуждений и доказательств как никто другой в мире. Но постепенно я пришёл к тому, что рассматриваю их как всё менее и менее важные, поскольку они перестали казаться мне чем-то большим, чем разговоры о покупках и частной жизни, а это едва ли подходит для общей беседы. К тому же, по мере размышлений, я пришёл к выводу, что люди знают о себе гораздо меньше, чем они воображают, и практически перестал стремиться говорить о себе, как обычно бывало, считая, что это достаточно скучно. Всё ещё остаётся литература и искусство, но о них никто не может рассуждать доказательно, можно только обменяться мнениями, так же как можно обменяться информацией об истории или экономике. Но об искусстве обмениваются не информацией, а впечатлениями. Это возвращает меня к Расселу и к его лекции "Во что я верю". Если я должен был бы написать Weltanschauung, я предпочёл бы название не "Во что я верю", но "Что я переживаю". Это связано с витгенштейновским взглядом на философию, что философия не даёт нам убеждений, но просто об-легчает чувство интеллектуального дискомфорта. Также если бы я должен был поспорить с лекцией Рассела, это относилось бы не к тому, во что он верит, но к указаниям на то, что он переживает. На самом деле никто не может спорить с переживаниями человека, можно только иметь иные пере-живания и, вероятно, рассматривать свои собственные переживания как более привлекательные или более способствующие счастливой жизни.

Видимо, я отличаюсь от некоторых своих друзей в том, что придаю малое значение физической стороне. Я не чувствую ущербность перед величием небес. Звёзды могут быть большими, но они не способны мыс-лить или любить; и эти качества впечатляют меня гораздо больше, чем размер. Меня не убеждает вес в сто килограммов.

Меня привлекает мир в перспективе, а не как модель в масштабе. На переднем плане находятся человеческие существа, а звёзды столь же малы, как трёхпенсовые монеты. В действительности, я не верю в астрономию, кроме как в усложнённое описание отдельных моментов того, как протекают ощущения человека и, возможно, животных. Эту свою перспективу я применяю не только к пространству, но также и ко времени. Мир без-различен ко времени, всё умрёт, но до этого ещё далеко, а с точки зрения нынешней ценности мира это не значит практически ничего. Настоящее не менее ценно из-за того, что будущее пусто. Человечество, которое в моей картине мира находится на первом плане, я нахожу интересным и в целом привлекательным. По крайней мере сейчас, я нахожу мир приятным и увлекательным местом. Вы можете находить его угнетающим; мне вас жалко, а вы меня презираете. Но у меня есть причина, а у вас нет. У вас была бы причина презирать меня, если бы ваше чувство соответство-вало факту, тогда как моё - нет. Но факту не может соответствовать ни то, ни другое. Сам по себе факт не является ни добрым, ни злым; факт - это как раз то, что волнует меня, но угнетает вас. С другой стороны, у меня есть причина жалеть вас, поскольку взволнованным быть приятнее, чем угнетённым, и не просто приятнее, быть взволнованным-лучше любого другого занятия.

28 февраля 1925. 2 Философские исследования ПЛ. Витгнештейн Философские работы Ч. 1. М.: Гиозис, 1994. С. 78.

3 См.: Sahltn N.-E. The Philosophy of F.P.Ramsey.

6 О подробностях биографии см.: Mellor D.H. F.P.Ramsey // Philosophy. 1995. Vol. 70; Sahlin N.-E. The Philoso hy of F.P.Ramsey. Cambridge University Press, 1990.

7 Укажем на одну из последних: Ramsey F.P. Philosophical Papers / Ed. D.H. Mellor. ('iiniluirigc: University Press, 1990.

" Текст "Универсальность закона и факта" переведён по публикации в сб.: Ratrlsey II' t'ouiulntions: Essays in Philosophy, Logic, Mathematics and Economics / Ed D.H. Mellor. Гінкіші Koutledge and Kegan Paul, 1978.

* Лрлиіі Ф П. Рамсея не так давно и практически полностью был издан в двух книгах: Ннпму I- I' On Truth / ed N. Rescher and U. Majer. Dordereht: Kluwer. 1991; Ramsey F. P. Nniri on І'ІіІІпжфІїу. Probability and Mathematics / Ed. M. C. Gavalotti. Napoli. Bibliopolis. IVUI

"M m t )n и Problem of Formal Logic // Ramsey F. P. The Foundations of Mathematics . i' к; III

" ( m , unii|)iiMC|i: Грэхем P Начала теории Рамсея. M.: Мир, 1984.

"См Китму /•.'/'. Foundations: Essays in Philosophy, Logic, Mathematics and Economics / I d 1)11 Mdlor London: Roulledge and Kegan Paul, 1978.

6 Р. 205,

7 Витгенштейн называет их 'элементарными пропозициями', я назвал нх 'атомарными', чтобы следовать м-ру Расселу, используя 'элементарные' в другом значении.

" Это различие проводится только потому, что Principia Mathematica может быть ошибочной интерпретацией математики; в главном, я думаю, оиа является правильной интерпретацией,

15 Wittgenstein. Op. cit., 6-211.

15 Более полное обсуждение тождества см. в следующем разделе.

17 О первых семи парадоксах см.: Principia Mathematica. I (1910). P. 63. О восьмом

Эти два значения слова 'логика' часто смешиваются. В действительности должно быть ясно, что те, кто говорит, что математика есть логика, не подразумевают под 'логикой' все то, что подразумевают те, кто определяет логику как анализ и критику мысли.

" Rivista di Mat., 8 (1906). P. 157.

24 Principia Mathematica. I. 2"J ed. (1925). P. 117.

28 См.: Principia Mathematica. I. 2nd ed. (1925). Appendix B.

11 В будущем, под 'функцией' мы всегда будем подразумевать пропозициональную функцию, если не устанавливается противоположное.

I игсльно области функций фх , задающих значенияЛфх), относительно мморых мы утверждаем логическую сумму или произведение. В этом отношении между функциями от функций и функциями от индивидов есть нижное различие, которое стоит рассмотреть ближе. На самом деле, по- нндимому, ясно, что выражения 'функция от функций' и 'функция от ин- дішидов' не являются строго аналогичными, ибо тогда как функции являются символами, индивиды являются объектами, поэтому, чтобы полу- чип. выражение, аналогичное 'функция от функций', нам следовало бы ікіпать 'функция от имён индивидов'. С другой стороны, по-видимому, нет простого способа изменить выражение 'функция от функций' так, мі «бы сделать его аналогичным 'функция от индивидов', и как раз это ииляется причиной неприятностей. Ибо область значения функции от ин- дннидов определённо фиксирована областью индивидов, объективной общностью, от которой нельзя избавиться. Но область аргументов функ- ннн от функций является областью символов, всех символов, которые ста-

»іл процедура может быть расширена до случая нескольких переменных. I'm і мотрим х' У ) и придадим у любое константное значение rj; тогда /І і rj) даёт пропозицию, когда вместо подставляется любое инди- мшшос имя, и, следовательно, является функцией одной переменной, из ыинрой мы можем образовать пропозиции

'(Зх). tfx, 7)' и '(х). ЛЇ-

('лсдующим рассмотрим '(Эх). ф(х, у)'. Как мы видели, это даёт пройм ищию, когда любое имя (например, '77') подставляется вместо 'у', и, І иі'жиштельно, является функцией одной переменной, из которой мы мо- с"м образовать пропозиции

(3у): (Эх). <Цх, у) и (у): (Эх) . <Цх, у).

І Іока не возникнет затруднений, мы попытаемся трактовать функции пі функций в точности таким же способом, как трактовали функции от индивидов. Для простоты возьмём функцию одной переменной, которая ИПІІЯСТСЯ функцией ОТ ИНДИВИДОВ. Это был бы СИМВОЛ формы X )', ммормй становится пропозицией при подстановке вместо ' $ х ' любой функции от индивида. Тогда х )'собирает вместе множество пропорций, одно для каждой функции от индивида, для которых мы утверж- Ліісм логическую сумму или произведение, записывая '(Эф) . Лфх)' и '(/) • Яфх У соответственно.

11о это рассмотрение страдает от плачевной двусмысленности отно-

ределений оборонили математику от скептиков и обеспечили твёрдое доказательство её пропозиций. Только так мы можем предохранить её от боль» шевистской угрозы со стороны Брауэра и Вейля.

V. АКСИОМЫ

В последних двух разделах я показал, как исправить три принципиальных недостатка в Principia Mathematica как основании математики, Теперь мы рассмотрим два важных оставшихся затруднения, которые связаны с аксиомой бесконечности и аксиомой мультипликативности. Введение этих двух аксиом не так губительно, как введение аксиомы сводимости, поскольку сами по себе они не являются столь уж сомнительными предпосылками и поскольку математика в большей части независима от мультипликативной аксиомы и, как можно предположить, требует аксио- | му бесконечности. Тем не менее мы должны попытаться определить ло-гический статус этих аксиом - являются ли они тавтологиями, эмпири« ческими пропозициями или даже противоречиями. В это исследование я, из любопытства, включу аксиому сводимости, хотя, поскольку мы от ней избавились, она нас больше не касается.

Начнём с аксиомы сводимости, которая утверждает, что все функции от индивидов, получаемые обобщением матриц, эквивалентны элементарным функциям. При обсуждении этого возникает несколько случае^ из которых я рассмотрю только наиболее интересный, а именно тот, прі| котором и число индивидов, и число атомарных функций от индивидов являются бесконечными. В этом случае аксиома является эмпирической пропозицией, другими словами, не является ни тавтологией, ни противоІ речием, и следовательно, не может ни утверждаться, ни отрицаться логи) кой или математикой. Это демонстрируется следующим образом:

Эта аксиома не является противоречием, но может быть истинной.

Ибо вполне возможно, чтобы существовала атомарная функция, оп< ределяющая каждый класс индивидов. В этом случае каждая функция была бы эквивалентна не просто элементарной, но атомарной функции.

Эта аксиома не является тавтологией, но может быть ложной. I

* Ибо вполне возможно, чтобы существовала бесконечность атомарш ных функций, и индивид я, такой, что, какую бы атомарную функцию мьі не взяли, есть другой индивид, согласующийся с я в отношении всех друя гих функций, но не в отношении взятой функции. Тогда (ф). ф\х = ф\аЩ могло бы быть эквивалентно какой-либо элементарной функции отх

ииальная пропозиция выражает всё то, что вы когда-либо знали, и, возможно, всё то, что вы когда-либо будете знать на эту тему.

Наконец, даже явно индивидуальные факты простой арифметики кажутся мне на самом деле общими. Ибо что представляют собой числа, о которых они говорят? Согласно Гильберту они представляют собой значки на бумаге, сконструированные из значков 1 и +. Но этот подход кажется мне неадекватным, поскольку, если бы я сказал 'У меня две собаки', я сообщил бы тебе нечто. Ты понял бы слово 'два', и всё предложение толко- иилось бы как 'Существуют* к у, которые являются моими собаками и не идентичны друг другу'. Это высказывание, по-видимому, включает идею существования, а не относится к значкам на бумаге. Поэтому я не вижу, как серьёзно можно считать, что кардинальное число, отвечающее на вопрос 'Сколько?', является лишь значком на бумаге. Если затем мы берём один из інких индивидуальных арифметических фактов, типа 2 + 2 = 4, мне кажется, что это подразумевает 'Если того, что является р, - два, а также два гото, что является <7, и ничто не является и р, и q одновременно, то число пещей, являющихся либо р, либо <7, - четыре'. Ибо именно в этом значении мы должны принять 2 + 2 = 4, чтобы использовать его, как мы делаем, переходя от того, что у меня две собаки и два кота, к тому, что у меня четыре домашних животных. Этот явно индивидуальный факт (факт, что

Можно подумать, мы избежали бы этого вывода, говоря, что даже если Ппшшечные множества не могут существовать, понятие бесконечного множества не является самопротиворечивым и, следовательно, допустимо в математике. Но, я полагаю, это предположение бесполезно по трём причинам: во-первых, в результате достаточно сложного, но, я думаю, последовательного рассуждения, согласующегося с теорией Витгенштей- нн, оказывается, что если мы принимаем его теорию общих и экзистенци- ппьных пропозиций (а это привело бы лишь к тому, что мы избавились бы in аксиомы сводимости), то отсюда следовало бы, что, если бесконечных множеств не существует, то понятие о таком множестве было бы самопро-

I иноречивым; во-вторых, как бы то ни было, обычно принимается, что един- г 1'пенный способ демонстрации совместимости постулатов состоит в дока- штсльстве теоремы о существовании, показывающей, что система посту- нируемого вида не просто может быть, но действительно есть; в-третьих, даже при условии несамопротиворечивости понятия бесконечного множе- сіва мы должны были бы в нашей системе логики сделать значительные изменения, чтобы подкрепить доказательства, зависящие от конструкций, касающихся вещей, которые могли бы существовать, но не существуют. Гистема Principia стала бы совершенно неподходящей.

Другая возможность состоит в том, чтобы адаптировать общий метод Гильберта и использовать его доказательство, что противоречие не может быть выведено из аксиом математики, включающих эквивалент аксиомы бесконечности. Мы можем тогда доказывать следующим образом. Воп-рос о том, имеет данное число свойство р или же нет, всегда можно ре-шить посредством вычисления. Это будет давать нам формальное доказательство результата для этого отдельного числа, который не может проти- иоречить общему результату, выводимому из аксиомы бесконечности, являющейся, таким образом, обоснованной.

Но это доказательство всё ещё будет неполным, ибо оно будет применяться только к числам, которые можно символизировать в нашей системе. И если мы отрицаем аксиому бесконечности, то для значков чисел, которые могут быть сделаны на бумаге, существовал бы верхний предел, поскольку пространство и время были бы конечными как по объёму, так и по делимости, поэтому некоторые числа были бы слишком большими для того, чтобы быть записанными, и к ним доказательство не было бы применимо. Эти числа, являясь конечными, будут существовать на достаточно высоком уровне, и теория Гильберта не окажет нам помощи в доказательстве того, что они обладают свойством р.

Другое серьёзное затруднение относительно аксиомы бесконечности состоит в том, что если она является ложной, то затруднительно видеть,

для xRa. v. xSb. И это является причиной, делающей неизбежной введ* ниє пропозициональных функций. Здесь подразумевается просто то, что в таких случаях 'ф' является не именем, но неполным символом; 'f н» может быть определено в изоляции, и нельзя допустить, чтобы оно сто» ял о само по себе.

Но вывод относительно xRa. v. xSb неприменим ко всем пропозици- ональным функциям. Если фа является двучленной атомарной пропозицией, то У является членом, отличным от а, и вполне может стоять сам по себе. Поэтому зададимся вопросом, почему же мы пишем 1фх' вместо также и в этом случае? Причина этого лежит в фундаментальной ха-рактеристике математической логики, её экстенсиональности, под кото-рой я подразумеваю её первичный интерес к объёмам понятий класса и отношения. Так, если в любой пропозиции мы заменим какое-то имя на переменную, получившаяся пропозициональная функция определяет класс, и этот класс может быть одинаковым для двух функций, совершенно различных по форме, в одной из которых 1ф' является неполным символом, в другой - именем. Поэтому математическая логика, заинтересо! ванная в функциях как обозначениях классов, не видит потребности н различении этих двух видов функций, поскольку различие между ними, несмотря на всю важность для философии, не соответствует какому-либо? различию между классами, которые они определяют. Таким образом, поскольку некоторые ф являются неполными и не могут стоять в одиночку, а все ф, чтобы избежать бесполезного усложнения, должны трактоваться) единообразно, то единственное решение состоит в том, чтобы не позвод лять никакому ф стоять в одиночку.

Таково оправдание практики м-ра Рассела. Но это к тому же опровер-і гает его теорию, неверно оценивающую различие между теми функциями, которые являются именами, и теми, которые являются неполным!! символами, различие, которое, как отмечалось выше, несмотря на несущественность для математики, весьма важно для философии. Я не имею в виду то, что м-р Рассел отрицает это различие теперь; наоборот, из вто-" рой редакции Principia Mathematica ясно, что он его принимает; но я думаю, что его нынешняя теория универсалий является пережитком его неверной её оценки в прошлом.

Напомним, что мы нашли два возможных аргумента в пользу его тео-| рии универсалий. Один аргумент основывался на эффективности функциональной записи. Он, очевидно, отпадает, поскольку, как мы видели,| функциональная запись просто упускает сущностное различие, которое! не представляет интереса для математиков, и поскольку факт, что некото-і рые функции не могут стоять в одиночку, не является доказательством]

* В математическом смысле, в котором две линии или две точки образуют вырожденный конус.