ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ В «МАТЕМАТИЧЕСКИХ РУКОПИСЯХ» К. МАРКСА

К. Маркс неоднократно проявлял большой интерес к математике. Как сообщает в своих воспоминаниях П. Лафарг, Маркс считал, что «наука только тогда достигает совершенства, котда ей удается пользоваться математикой» [7, с.

Математика была необходима Марксу в первую очередь для его экономических исследований,* что он подчеркивал в письме Энгельсу от 11 января 1858 г. [1, т. 29, с. 210]. Известно, что в «Капитале» он широко пользуется математическими методами, начиная от простой коммерческой арифметики и кончая высшей математикой. Однако математика интересовала его не только с та-кой узкой, чисто прикладной точки зрения. Систематическое изу-чение высшей математики убедило Маркса в том, что исходные понятия и принципы анализа бесконечно малых величин недо-статочно обоснованы с логической й теоретико-познавательной точек зрения. Вместе с тем обнаружилось, что нахождение верного решения проблемы связано с рядом методологических проблем диалектики познания вообще. В 70-х годах, особенно с 1878 г., Маркс специально занялся исследованием этих проблем; он проанализировал целый ряд попыток решить проблемы обосно-вания анализа бесконечно малых и обнаружил в них существен-ные методологические изъяны. Тогда он взялся за эту проблему заново, с более широкой методологической и теоретико-познава-тельной точек зрения. Так возникли математические рукописи Маркса объемом около 1000 листов, оставшиеся в его рукописном наследстве, которым Энгельс придавал большое теоретическое значение .

Подход Маркса к обоснованию дифференциального исчисления. Основное содержание «Математических рукописей» составляют вопросы философско-методологического обоснования такой важнейшей ветви математического анализа, какой является дифференциальное исчисление. Во фрагменте «Исторический ход развития» Маркс критически анализирует три этапа в обосновании этого исчисления.

С созданием этих исчислений наука получила мощный инструмент для количественного исследования явлений природы. Однако успехи в применении новых методов математики на долгое время заслонили задачу логического обоснования этих методов. Многие последователи Ньютона и Лейбница, увлеченные вновь открывающимися возможностями анализа, не обращали достаточного внимания на исследование его исходных понятий и принципов. В конечном итоге все это привело к кризису оснований математики, который был вторым по счету в ее истории. Первый такой кризис произошел в античной математике и был вызван открытием несоизмеримых отрезков.

Возникшими трудностями анализа бесконечно малых не за-медлили воспользоваться идеалисты и фидеисты еще в XVII в. В этом отношении весьма примечателен эпизод с появлением памфлета «Аналитик», написанного субъективным идеалистом епископом Дж. Беркли и посвященного критике неверующих ма-тематиков. Беркли, прокламируя, что догматы христианства не доказуемы, заявлял, что принципы исчисления бесконечно малых еще менее доказуемы и тем не менее математики верят в них. Он, в частности, упрекал Ньютона в том, что последний выводит значение флюксий (производных) с помощью своеобразного ма-тематического фокуса, а не аргументированного рассуждения. И хотя критика Беркли была продиктована отнюдь не интересами науки, все же он нащупал действительно слабые пункты анализа бесконечно малых. Таким образом, проблема обоснования анализа уже давно приобрела философский характер. Она при-влекла и внимание Гегеля в его «Науке логики», но он не смог пойти дальше туманного вывода, что бесконечно малые — это «ничто и нечто» одновременно.

В «Математических рукописях» Маркс указывает, что творцы анализа бесконечно малых начинали строить исчисление сразу же с готовых дифференциалов и оперативных формул.

Второй этап обоснования дифференциального исчисления Маркс характеризует как рациональное дифференциальное исчисление и связывает прежде всего с работами Ж. J1. Д’Аламбера. Хотя Д’Аламбер и начинает построение исчисления с отправного пункта, принятого Ньютоном и Лейбницем, он вносит весьма существенную поправку. Превращение конечного приращения в дифференциал, отмечает Маркс, «у него лишь конечный результат развития или по крайней мере его заключительная стадия, тогда как у мистиков и инициаторов исчисления оно является исходным пунктом» [3, с. 169—171]. Д’Аламбер показывает, как из отношения приращения функции к приращению аргумента может быть получена производная. Он прослеживает, как происходит превращение конечных приращений в дифференциалы на левой, символической стороне равенства.

Третий этап обоснования дифференциального исчисления Маркс называет чистым алгебраическим исчислением и связывает главным образом с работами Ж. Л. Лагранжа. По идее Лагранжа производные различного порядка представляют дифферен-циальные коэффициенты в алгебраическом разложении прираще-ния функции по возрастающим степеням аргумента. Маркс видит заслугу Лагранжа не только в алгебраическом обосновании диф-ференциального исчисления, но и во введении понятия производ-ной функции, которым неявно пользовались его предшественники [см. 3, с. 203].

Критикуя и желая преодолеть имевшиеся методы обоснования дифференциального исчисления, Маркс стремился, конечно, устранить антиномическое формально-логическое противоречие в самом понимании бесконечно малой величины, которая отождествлялась то с нулем, то с конечной, хотя и весьма малой, величиной. Решение этой задачи побудило Маркса заняться проблемой генезиса и развития весьма сложных и многоступенчатых математических абстракций, объединенных в некоторые системы исчислений, Эту проблему Маркс решал на конкретном материале ис-

Нисления бесконечно малых, но затем Это привело его к важным выводам в отношении абстракций и их значений вообще.

Для Маркса самым существейным было лишь это исчисление покрова таинственности. Но обоснование анализа бесконечно малых нельзя было осуществить без уяснения происхождения и реального смысла таких исходных понятий нового исчисления, какими являются производная й дифференциал. В одной из основных рукописей, «О понятий производной функции», Маркс на примере конкретных алгебраических функций анализирует способ нахождения производных функций и выясняет реальный харак-тер- совершающихся при этом математических процессов. Если представить ход рассуждений Маркса в современной математи-ческой символике, то суть его подхода сводится к следующему.

Пусть нам дана некоторая функция у — І(х).:Чтобы получить ее производную, Маркс дает переменным действительно изменяться, а не начинает с готовых дифференциалов, как Поступали Ньютон и Лейбниц.

. ; &У = У і — У = /О*і) — /(*)..-

Представив полученное значение аргумента в виде суммы х-\-Ах, мы можем выразить приращение функции А у в другой форме:

ку = Цх Аг A?) — f(x).

Если приравнять приращение аргумента Ах к нулю, тогда сама функция получит первоначальное значение, в результате чего мы получим тождество 0 = 0. «Сначала полагание разности,— указы-вает Маркс,— а затем обратное ее снятие приводит, таким образом, буквально к ничему. Вся трудность в понимании диффе

ренциальной операции (как и в понимании отрицания отрицания вообще) заключается именно в том, чтобы увидеть, чем она отличается от такой простой процедуры и как ведет поэтому к действительным результатам» [3, с. 29]. Первым шагом в дифференциальной операции Маркс считает получение «предварительной производной», которую он обозначает символом f(x). В современной терминологии она будет представлять отношение приращения функции к, приращению аргумента, т. е.

• . У /дЛ = _Ау = 7/1 — У = 1 (? ч- -Аа:) — •¦/*

¦ •;; ; •••-•‘¦-V/ Аа:.-;: ' :;х1. — х ; Ах '

Для' определения «настоящей» производной при некотором гфиксйровапном значении х необходимо не только: придать неко-торое приращение аргументу, но и диалектически «снять» Полу-ченную разницу. В современной математике «снятие» разности ХІ—:х ' происходит с . помощью операцйй предельного перехода.

Маркс по сути дела подчёркивает ту же идею, когда характеризует окончательную производную как «предварительную «производную», приведенную к ее минимальной величине» [там же, с. 37]. Если в формуле «предварительной» производной хи убьь вал, будет стремиться к х, тогда и у і также будет стремиться к у. В конечном итоге отношение приращения функции к прира- щеййю аргумента превратилось бы в 0/0.

Когда выяснен реальный характер происхождения дифференциальных символов, введение производных различного порядка уже не кажется больше таинственным. Маркс указывает, что таинственными производные различного порядка «становятся лишь в том случае, если трактовать их как исходный пункт движения, а не просто как выражения последовательно выведенных функций х» [там же, с. 37]. Уже ДАламбер вместо готовых диф^ ференциалов рассматривал сначала конечные приращения, чтобы понять происхождение производной. Но на этом пути возникают две принципиальные трудности. Первая из них состояла в обосновании перехода от конечных приращений к дифференциалам. Вторая — в том, чтобы рационально объяснить, почему дифференциалы превращается в оперативные символы, т. е. символы операций, которые должны быть осуществлены для нахождения производных. Маркс решает эту задачу с помощью особого диалектического приема, который он называет «оборачиванием метода». Вначале символы дифференцирования возникают как отображение некоторых реальных математических процессов, которые совершаются на правой стороне равенства. Все алгебраические преобразования происходят именно справа от знака равенства, вот почему Маркс называет этот процесс алгебраическим дифференцированием. Левая же сторона равенства в символической форме выражает изменения, происходящие на правой. З^тем эти роли коренным образом меняются. Инициатива с правой стороны переходит к левой. Если раньше символ дифференцирования свидетельствовал об операциях, уже выполненных над функциями, то теперь он начинает играть роль оперативного символа, т. е. символа тех операций, .которые предстоит еще осуществить. ¦ і :±

«Символический дифференциальный коэффициент,— пишет Маркс,— становится, таким образом, самостоятельным исходным

119

пунктом, реальный эквивалент которого лишь должен быть найден» [там же, с. 55]. Переход к специфическому дифференциальному исчислению становится необходимым потому, что он позволяет применить одну и ту же схему вычисления, или, как говорит Маркс, «стратагему действия», для решения самых разнообразных задач определенного класса.

Значение «Математических рукописей» для методологии и гносеологии науки. Со времени, когда Маркс занялся проблемами обоснования математики, математический анализ, как и вся математика вообще, сделал гигантский шаг вперед. Не только появились новые, более общие и абстрактные математические теории и дисциплины, но значительное изменение претерпели принципы и методы, на которых строится обоснование математики. И тем не менее ряд идей теоретико-познавательного и методологического характера, выдвинутых Марксом, продолжает сохранять свою большую ценность не только для математики, но и для других наук.

Обращение к методологии становится особенно необходимым тогда, когда в науке возникают трудности и кризисные ситуации. В математике такие трудности стали особенно заметными в первой четверти нашего века, когда для многих стало очевидным, что канторовская теория множеств, по крайней мере в ее прежней форме, не может претендовать на роль фундамента здания классической математики. Парадоксы, обнаруженные в ней, свидетельствовали о том, что идея актуальной бесконечности, на которой базируется канторовская теория, нуждается в пересмотре. Более критически настроенные математики, принадлежавшие к интуиционистам и конструктивистам, полностью отказались от актуальной бесконечности. Так, интуиционисты Брауэр, Вейль и Гейтинг стали считать, что источник всех трудностей в теории множеств состоит в том, что Кантор неправомерно переносит на бесконечность принципы, справедливые только для конечных множеств. Уподобляя бесконечное множество конечному, рассматривая его как совокупность готовых элементов, Кантор и его последователи забыли о подлинной сущности бесконечного — его незавершенности. Но диалектика потенциальной и актуальной бесконечности с ее антиномиями не была осмыслена интуицио- нистами, а здесь также необходим диалектический Марксов подход.

В «Математических рукописях» Маркс неоднократно подчеркивает необходимость исследования переменных в процессе их изменения и становления. По словам Энгельса, существо метода Маркса состоит в том, что он дает возможность «х превращаться в #і, следовательно, действительно изменяться, тогда как другие исходят из x + h, что всегда представляет лишь сумму двух величин, но никак не изменение одной величины» [1, т. 35, с. 92]. Эта идея о диалектически потенциальном характере математической бесконечности успешно разрабатывается сторонника- ми конструктивного направления в математике как за рубежом, так и у нас.

«Математические рукописи» Маркса проливают свет и на мно-гие трудные проблемы методологии математики, касающиеся про-исхождения и роли символических исчислений. В связи с разра-боткой вопросов математического обеспечения вычислительной техники эти исчисления приобретают ныне особенно важное зна-чение. На примере дифференциального исчисления Маркс под-робно прослеживает, как исторически возникают исходные симво-лы и понятия этого исчисления. Без такого анализа невозможно объяснить не только рациональное содержание самого дифферен-циального исчисления, но и обосновать объективное содержание его понятий.

Исторический очерк развития дифференциального исчисления, о котором вкратце говорилось вначале, может служить образцом применения материалистической диалектики к исследованию истории математики, ее концепций и теорий. Тщательно проанализировав происхождение и реальный смысл исходных понятий и символов дифференциального исчисления, Маркс затем показывает, как впоследствии эти понятия и символы после соответствующего «оборачивания» их роли становятся самостоятельным исходным пунктом для разработки специфического исчисления. В более широком смысле гносеологическое «оборачивание» имеет место в истории математики вообще, например в случае перехода от эмпирически-индуктивной геометрии древних египтян к аксио-матическому ее построению у Евклида и других дедуктивистов.

Рассматривая математические понятия в отрыве от их исто-рической почвы, игнорируя чрезвычайно сложный, опосредован-ный характер связи математических теорий с действительностью, идеалисты склоняются к тому, чтобы считать их чистыми созда-ниями нашей мысли — врожденными, априорными идеями или комбинациями их или же простыми условными соглашениями (конвенциями). Конечно, в процессе исследований ученый иногда строит такие абстракции, вводит такие идеальные объекты и создает такие исчисления, которые являются собственно продук-том его творчества. Без такой активной субъективной деятельно-сти теоретическое познание невозможно, но эта деятельность опирается на объективные законы реального мира. Создание но-вых абстрактных понятий и теорий стимулируется мыслительным материалом, так или иначе опосредованным внешним опытом, а разработка исчислений проводится в соответствии с законами логики, онтологическая база которых также вовсе не произвольна и не априорна. Именно поэтому получаемые результаты находят практическое подтверждение. В тех же случаях, когда эти резуль-таты не подтверждаются, они подлежат отбрасыванию как не оп-равдавшая себя часть теоретического «задела».

Марксова концепция обоснования математики дает возможность преодолевать также ограниченность метафизических и наивно-материалистических взглядов на развитие математики. Сто-ронники этих взглядов, правильно подчеркивая зависимость развития математики от потребностей практики, не видят относи-тельной самостоятельности процесса этого развития. В «Матема-тических рукописях» Маркс со всей силой подчеркивает важность и необходимость чисто логического развития теории в результате «оборачивания метода».

Положительное значение принципа «оборачивания метода» не ограничивается одной лишь математикой, но в ней он выступает особенно рельефно и притом в разных аспектах. С исследованием все более глубоких количественных отношений реального мира математики создают все более абстрактные системы понятий, которые ныне находят свое воплощение в очень разнообразных аксиоматических системах или исчислениях. Эти исчисления, хотя и отображают опосредованно некоторые стороны действительности, строятся, однако, по своим специфическим законам. При этом исходные термины и предложения исчисления на стадии синтаксического анализа рассматриваются как лишенные предметного значения символы и формулы. Только впоследствии, при семантическом анализе, для них подыскивается соответствующая интерпретация, и исчисление, которое прежде было лишь знаковой структурой как таковой, приобретает характер содержательной теории. Этот широко применяемый в современной математике метод исследования представляет типичный случай дейт ствия принципа «оборачивания метода». При создании первых аксиоматических систем и исчислений математики то и дело воз-вращались к анализу реальной действительности и постоянно опирались на содержательные предпосылки. Однако после того как аксиоматическая система построена, ее дальнейшее развер-тывание происходит чисто логическим путем. Именно так строи-лась аксиоматика геометрии Евклидом.

Но со временем математики осознали, что наряду с содержательными аксиоматическими системами (системами с заранее заданной интерпретацией) вполне допустимы и даже желательны также и формальные системы, для которых такая интерпретация будет подыскиваться только впоследствии. Иначе говоря, наряду с движением мысли от реальных объектов к системам понятий и исчислений целесообразно и обратное движение от абстрактных понятий и исчислений к их реальным и на этот раз уже при-близительным прообразам. Поэтому Маркс допускает наличие Только приблизительных прообразов дифференциала, на каковые Энгельс и указал в «Диалектике природы». И такой метод «обо-рачивания» исследования оказывается весьма эффективным, он значительно расширяет возможности математического творчества и применения создаваемых исчислений к самым разнообразным областям знания.

Рассматривая аксиомы теории как некоторые гипотезы, можно получить из них эмпирически проверяемые следствия и таким образом уже судить об ЙСТЙНПиСТЙ или ложности самой теорий. Плодотворность указанного метода математической гипотезы была; убедительно продемонстрирована в современной физике, нат пример при построении квантовой механики. Этот и другие примеры свидетельствуют о том, что принцип «оборачивания метода» представляет собой ныне все более широко практикуемый в математике способ исследования, при котором некоторые неопределяемые вначале термины и предложения исчисления становятся, по выражению Маркса, «самостоятельным исходным пунктом», реальный эквивалент которого должен быть найден только впоследствии.

«Оборачивание метода» в математике и в гносеологическом исследовании ее понятий есть частный случай широкой диалек-тической закономерности, на которую Маркс указывает в методо-логическом «Введении» из «Экономических рукописей 1857— 1859 годов». «Оборачиваются» не только абстракции и их ин-терпретации, но и целые методы познавательной деятельности, и притом не только частный метод идеальных конструктов. Так, движение от чувственно-предметной практики к абстрактно-pa^ циональной теории сменяется движением от теории к практике, движение от конкретного к абстрактному «снимается» последую-щим , восхождением от абстрактного к конкретному, индукция «снимается» дедукцией, анализ — синтезом и т. д.

Наконец, следует подчеркнуть важность Марксова анализа роли символов в математике и науке вообще в плане семиотики, а именно структуры значения знака. В математических исчислениях^ в частности дифференциальном, исходные термины становятся . оперативными символами, которые, по словам Маркса, выражают будущую «стратагему действий». В этой идее о роли оперативных символов нельзя не заметить глубокой внутренней связи с современным понятием алгоритма, играющим фундаментальную роль не только в математике, но и во многих других науках. Значение символов (знаков) оказывается функциональным, оно состоит в рабочей функции знака, т. е. в его роли в рамках данного теоретического построения как своего рода указателя операций, которые производятся посредством этого знака. Эти операции знак за собою влечет и в них активно участвует [см. 8, с. 157—160]. Здесь обнаруживается своеобразная диалектика: значение знака присуще ему, а в то же время оно — «вне» его самого.

«Математические рукописи» Маркса, создававшиеся парал-лельно с работой над «Капиталом», помогают более глубоко по-нять и вскрыть колоссальное богатство методологических идей, к которым пришел и которым он следовал в ходе своих экономи-ческих исследований. Огромное; значение этих идей для теории познания и методологии диалектического материализма особенно: ярко выступает в наши дни, в условиях научно-технической ре-волюции.

Анализ научно-теоретического и философского наследия К. Маркса и Ф. Энгельса показывает, что они рассматривали диалектический материализм как единственно научную универсальную методологию, применимую для изучения явлений природы, общественного развития и познания. Они убедительно доказали, что принцип материалистического монизма при изучении процессов общественной жизни людей может быть последовательно проведен только тогда, когда признается диалектический характер природы и учитывается единство природы и общества. Именно такой подход к философским проблемам развивающегося научного знания позволил Марксу и Энгельсу сделать и в отношении общества и в отношении природы важные теоретические предсказания, которые подтверждаются современной наукой и практикой.

Среди работ Маркса и Энгельса, посвященных методологиче-ским проблемам естественнонаучного знания, «Диалектика при-роды» занимает особое место. Это первое целостное, хотя, к со-жалению, и незаконченное философское исследование, полностью посвященное анализу данных наук о природе с позиций диалек-тического материализма. «Диалектика природы» имеет огромное методологическое значение прежде всего потому, что она убеди-тельно показывает действенность материалистической диалекти-ки, ее неисчерпаемые творческие возможности при решении ак-туальных философских проблем естествознания, имеющих кон-кретно-научные последствия. В этом труде намечена далеко идущая методологическая перспектива развития наук о природе, которая внутренне связана с философско-мировоззренческой по-зицией марксизма. Здесь получил существенное развитие катего-риальный базис материалистической диалектики. Труд Энгельса приобретает тем большее значение, что Маркс не смог осуществить свой замысел — исследовать проблемы диалектики в специальной работе.

Одна из основных идей «Диалектики природы» — необходимость адекватного отражения объективного мира в системе понятий — остается актуальной и сегодня. «Природа является пробным камнем для диалектики,— писал Энгельс,— и надо сказать, что современное естествознание доставило для такой пробы чрезвычайно богатый, с каждым днем увеличивающийся материал и этим материалом доказало, что в природе все совершается в конечном счете диалектически, а не метафизически» [1, т. 20, с. 22].

Успехи естествознания за время, прошедшее с тех пор, как были написаны эти строки, убедительно показывают, что слова Энгельса —- «в природе все совершается... диалектически» — блестяще подтвердились. В то же время на каждом новом этапе развития знания это положение приобретает форму новых проблем, требующих своего разрешения и дальнейшей разработки материалистической диалектики. В. И. Ленин не был знаком с «Диалектикой природы», но, работая над трудами «Материализм и эмпириокритицизм», «Философские тетради», «О значении воинствующего материализма» и другими, он всегда имел в виду принципиальное решение Энгельсом философских проблем естествознания в известных ему сочинениях и письмах Энгельса. Развивая принципиальные положения диалектико-материалистической философии в новых условиях, Ленин при решении важнейших философских проблем, поставленных развивающимся естествознанием и общественно-исторической практикой начала XX в., неоднократно ссылается на труды Энгельса, в частности на «Анти-Дюринг».

В условиях научно-технической революции XX в. выявилась исключительная новаторская глубина «Математических рукописей» Маркса. Его идеи о специфических путях образования идеальных конструктов в науках высокой степени абстрагирования и формализации, в сочетании с соответствующими положениями «Диалектики природы», существенно стимулируют современные нам исследования в области теории познания и логики науки.

Естественно, что отдельные конкретные данные, которыми оперировал Энгельс в «Диалектике природы», могли за прошед-шие десятилетия устареть и действительно устарели, но все ос-новные его гносеологические идеи и сегодня обладают непрехо-дящей ценностью и являются надежным методологическим руко-водством для естествоиспытателей и философов. Это тем более знаменательно, что за это время естественные науки пережили коренную ломку представлений, понятий и законов, в естество-знании произошли глубокие изменения, затрагивающие концепту-альные основы науки, в результате чего многие классические по-ложения, господствовавшие в период создания трудов Энгельса, стали достоянием истории или сохранились в современном есте-ствознании лишь как частный случай. Философский анализ ре-волюционных изменений в науке показывает, что в методологи-ческом отношении Энгельс значительно опередил уровень разви-тия естествознания своего времени, и наука XX в. доказала истинность и плодотворность его идей.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. Изд. 2-е.

Ленин В. И. Полное собрание сочинений.

Маркс К. Математические рукописи. М., 1968.

Актуальные проблемы марксистской философии. М., 1974.

Амбарцумян В. А. Философские вопросы науки о Вселенной. Ереван, 1973.

Кедров Б. М. Предмет и взаимосвязь естественных наук. М., 1968.

Лафарг П. Воспоминания о Марксе. М., 1967.

Нарский И. С. Диалектическое противоречие и логика познания. М., 1969.

. У. Парский И. С. Истолкование категорий «случайность».— Научные доклады высшей школы. Философские науки, 1970, № 1.

10. Царский И. С. Западноевропейская философия XVIII века. М., 1973.

И. Семенов Ы Н. Наука и общество. М., 1973.

Ф. Энгельс и современные проблемы философии марксизма. М., 1971.

Eddington A. The Philosophy of Physical Science. Cambridge, 1939.

Jeans J. The Mysterious Universe.— In: Physics and Philosophy. Cambridge, 1948.

Krajewski W. Engels о ruchu materii і jego prawidlowosci. Glowne idee «Dialektyki przyrody» z perspektywy stu lat. Warszawa, 1973.

Lukacs G. Geschichte und Klassenhewufitsein. Berlin, 1923.

Schmidt A. Der Begriff der Natur in der Lehre von Marx. Frankfurt a. М., 1971.

Zanstra II. Is Religion Refuted by Physics or Astronomy? Thermodynamics, Statistical Mechanics and the Universe.— «Vistas of Astronomy». Oxford — London, 1968, vol. 10. 1.