5.7. Решение типовых примеров

Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что большая его ось 2а=10 и эксцентриситет .

Решение: По формуле (5.2.4) с= аe =5Ч0.8 = 4, а b находим из равенства b2 = а2 - с2 = 25 - 16 = 9b =3.

Пример 2. Написать уравнение гиперболы по данной полуоси а = 1 и полуфокусному расстоянию с = 2.

Решение: Из равенства а2 + b2 = с2 найдем полуось b: 1 + b2 = 4 b =.

Искомое уравнение гиперболы будет иметь вид

Пример 3. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы х = -5у2

Решение: Перепишем уравнение так: и, сравнивая его с уравнением у2 = -2рх, получим . Координаты фокуса и уравнение директрисы

Пример 4. Найти координаты вершины параболы, заданной уравнением х=у2+4у+1. Написать уравнение оси симметрии.

Решение: Найдем координаты вершины параболы: х = (у2 + 4у + 4) - 4 + 1 х+3=(у+2)2. Следовательно вершина параболы лежит в точке (-3,-2).

Уравнение оси параболы у = -2.

Пример 5. Найдите координаты точки М до поворота осей, если после поворота их на 1350 точка М имеет координаты (2,-3).

Решение: По формулам (4.2.1) преобразования координат получим:

х= 2 cos1350 - (-3) sin1350

y= 2 sin1350 +(-3) cos1350 ,

отсюда , , следовательно, координаты до поворота осей .