Пример решения расчетного задания

Задание 1. Найти общее решение уравнения u``xx - 2u``xy + u``yy + 2u`x - 2u`y = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = -2, a22 = 1 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид ( - 1)2 = 0 , т.е.

Переход к новой системе координат: p = y +x = y + x, вторую переменную выберем в виде q = ay + bx , где числа a, b произвольны. Обратное преобразование

y = (q -bp)/(a -b), x =(q –ap)/(b -a) и (b -a)0. Имеем p`x =1, p`y =1, q`x =b, q`y =a.

Вычислим производные

2u`x = 2(u`pp`x + u`qq`x) = 2(u`p + bu`q)

-2u`y = -2(u`pp`y + u`qq`y) = -2(u`p + au`q)

u``xx = u``ppp`x + bu``qqq`x + u``pq( q`x + bp`x) = u``pp + b2u``qq + 2b u``pq

-2 u``xy = -2[u``ppp`y + bu``qqq`y + u``pq( q`y + bp`y)] = -2[u``pp + abu``qq + (b+a) u``pq ]

u``yy = u``ppp`y + au``qqq`y + u``pq( q`y + ap`y) = u``pp + a2u``qq + 2a u``pq

сложим их и получим уравнение в новых координатах (a – b)2 uqq = 2(b – a) uq .

Пусть b – a = 2. Решение уравнения с разделяющимися переменными u``pp = u`p.

, ln(up) = p + f(q) up = ep g(q) du = g(q) ep dp

u(p,q) = g(q) ep dp = g(q) ep + h(q)

Общее решение уравнения имеет вид u(x,y) = g(ay + bx) e(y + x) + h(ay + bx) и содержит две произвольные функции g(q) , h(q) .

Задание 2. Найти общее решение уравнения u``xx + 4u``xy + 3u``yy = 0, приведя его к каноническому виду (Метод Даламбера).

Решение. Имеем a11 = 1, 2a12 = 4, a22 = 3 и характеристическое уравнение

a11 + 2a12 + a22 = 0 принимает вид 2 + 4 + 3 = 0 , где D = 4 гиперболический тип уравнения, 1 = -1 , 2 = -3 ..

Переход к новой системе координат: p = y +1x = y - x, q = y + 2x = y – 3x .

Обратное преобразование x = ½(p –q), y = ½ (3p –q). Имеем p`x = -1, p`y =1, q`x =-3, q`y = 1

Вычислим производные

u`x = u`pp`x + u`qq`x = -u`p - 3u`q

u`y = u`pp`y + u`qq`y = u`p + u`q

u``xx = -u``ppp`x - 3u``qqq`x + u``pq( -q`x - 3p`x) = u``pp + 9u``qq + 6u``pq

4 u``xy = 4[-u``ppp`y - 3u``qqq`y + u``pq( -q`y - 3p`y)] = 4[ -u``pp - 3u``qq - 4u``pq ]

3 u``yy = 3[u``ppp`y + u``qqq`y + u``pq( q`y + p`y)] = 3[ u``pp + u``qq + 2u``pq ]

сложим их и получим уравнение в новых координатах 4u``pq = 0.

Общее решение уравнения хорошо известно u(x,y) = F1(p) + F2(q) = F1(y – x) + F2(y – 3x) и содержит две произвольные функции.

Задание 3. Решить смешанную задачу для волнового уравнения u``tt = u``xx на отрезке 0