Лекції № 3, 4 Обчислення оберненої матриці

Теоретичні відомості

Нехай задано матрицю

.

(4.24)

Матриця називається оберненою за відношенням до заданої матриці А, якщо її множення як зліва, так і справа на задану матрицю дає одиничну матрицю, тобто

.

(4.25)

Одинична матриця має вигляд

.

(4.26)

Необхідною і достатньою умовою існування оберненої матриці є неособливість вихідної матриці.

Обернена матриця обчислюється так:

1. Знаходиться визначник (детермінант) заданої матриці А

;

(4.27)

2. Обчислюються алгебраїчні доповнення до елементів матриці (4.24) за формулою

,

(4.28)

де – мінор елемента , тобто визначник матриці, що залишилася після викреслювання з даної матриці А i-го рядка та j-го стовпця;

3. Складається матриця , елементами якої є алгебраїчні доповнення

;

(4.29)

4. Транспонується матриця

(матриця, у якої рядки помінялися місцями зі стовпцями, називається транспонованою)

;

(4.30)

5.

(4.31)

У правильності обчислення оберненої матриці переконуються, виконуючи перевірку за формулою (4.25).

Приклад 4.1. Знайти матрицю , обернену до заданої

.

Розв’язок

1. Обчислимо визначник матриці А

2. Знайдемо алгебраїчні доповнення .

;

;

;

3. Складемо матрицю з алгебраїчних доповнень

.

4. Транспонуємо матрицю

.

5. Запишемо обернену матрицю

.

Виконаємо перевірку обчислень

.