>>

Лекції № 1, 2 Елементи теорії похибок

Теоретичні відомості

Нехай ‑ деяке наближене значення точного числа .

Якщо , то наближає з недостачею.

Якщо , то наближає з надлишком.

Під абсолютною похибкою наближеного числа розуміють абсолютне значення різниці точного і наближеного значень

(1.1)

Під відносною похибкою наближеного числа розуміють відношення абсолютної похибки до модуля точного значення числа. Часто відносна похибка вимірюється відсотками точного значення

(1.2)

Відомо, що будь-яке число може бути подане у вигляді десяткового дробу, кінцевого або нескінченого.

Наближені десяткові числа виражаються лише кінцевими десятковими дробами.

Говорять, що перших значущих цифр десяткового числа є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половину одиниці розряду, вираженого -ю значущою цифрою, рахуючи зліва направо, тобто якщо

(1.3)

то цифр вірні.

При проведенні розрахунків з наближеними числами слід керуватися наступними правилами:

1. При додаванні і відніманні наближених чисел у результаті повинні зберігатися стільки вірних розрядів, скільки їх у найменш точного із доданків.

2. Правило 1 має місце у випадку операції множення і ділення.

3. У випадку операції піднесення до степеня слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має основа степеня.

4. Правило 3 має місце для операції добування кореня.

5. В усіх проміжних результатах розрахунків слід брати на одну – дві цифри більше. В остаточних результатах вони відкидаються.

6. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то для отримання результату з вірними цифрами вихідні дані слід брати з таким числом вірних цифр, щоб одержати вірну цифру в результаті.

Приклади

Приклад 1.1.

Число 402,35 має абсолютну похибку .

Очевидно, . Усі цифри цього числа вірні.

Приклад 1.2. Округлити наступні числа до чотирьох значущих цифр, визначити абсолютну і відносну похибки отриманих наближених чисел А1=625,51; А2=0,0039227.

Розв’язок

а1=625,5;

а2=0,003923;

Приклад 1.3. Визначити абсолютну похибку наближеного числа за його відносною похибкою а=20,725, .

Розв’язок

; ;

Приклад 1.4. Визначити кількість вірних знаків чисел а1 і а2, якщо відомі їхні абсолютні похибки і :

Розв’язок

а1 має три вірні значущі цифри

а2 має дві вірні значущі цифри, оскільки

Приклад 1.5. Визначити кількість вірних знаків числа а, якщо відома його відносна похибка :

Розв’язок

Знаходимо

Тому а має дві вірних цифри

.

Приклад 1.6. Дані числа і з абсолютними похибками . Оцінити відносну похибку їх різниці .

Розв’язок

а=1,137-1,073=0,064;

;

;

;

.

Таким чином, відносна похибка різниці в 35 разів більше відносних похибок вихідних даних. Результат не має жодної вірної цифри.

Приклад 1.7. Обчислити , вважаючи, що всі числа дані з вірними знаками:

а1=3,2; а2=356,7; а3=0,04811; а4=7,1948; а5=34,56.

Розв’язок

Найбільшу відносну похибку має число а1=3,2:

.

Тому відносна похибка результату складе також приблизно 1,6%, тобто результат буде містити дві вірні цифри.

Збережемо у вихідних даних по три вірні цифри (один запасний знак), одержимо

.

Абсолютну похибку результату обчислюємо за його відносною похибкою

.

Округляємо результат, відкидаючи запасний знак, одержуємо а=0,22 з абсолютною похибкою .

Приклад 1.8. Знайти суму наближених чисел :

а1=0,146; а2=321,5; а3=78,27; а4=39,1.

Усі дані знаки є вірними.

Розв’язок

Найбільшу абсолютну похибку мають числа а2=321,5 і а4=39,1. Тому можна вважати, що абсолютна похибка суми складає .

Округляємо доданки за зразком а2 і а4, збережемо один запасний розряд

а=0,15+321,5+78,27+39,1=439,02.

В остаточному результаті запасний знак відкидаємо, одержимо

а=439,0.

До абсолютної похибки додаємо похибку округлення . Тоді

.

Таким чином, .

| >>
Источник: Конспек лекцій з курсу «Чисельні методи». 2016

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

Лекції № 1, 2 Елементи теорії похибок

релевантные научные источники:
  • Теорія Держави та Права
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Украина | docx | 0.04 Мб
    Поняття та класифікація юридичних наук. В системі суспільних наук розрізняють: 3. Предмет теорії держави та права і його особливості. 4. Методи пізнання держави і права: поняття та різновиди. 5.
  • Відповіді на іспит з економічної теорії
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Украина | docx | 0.1 Мб
    1) Предмет та функції економічної теорії. Еволюція поглядів на предмет економічної теорії. 2) Методи та засоби економічного дослідження. 3) Економічні закони та категорії. 4) Економічна теорія та
  • Відповіді на іспит Основи економічної теорії
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Украина | docx | 0.2 Мб
    1.Зародження, основні етапи і напрямки розвитку економічної теорії. 2.Предмет і функції економічної теорії. 3. Методи дослідження економічних явищ і процесів. 4. Економічні закони і категорії, їх
  • Комплиментарные высказывания с позиции теории речевых актов (на материале французского, русского и английского языков)
    Мосолова Ирина Юрьевна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата наук. Москва - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 5.39 Мб
    Специальность 10.02.19 - Теория языка. Филологические науки. Художественная литература — Языкознание — Индоевропейские языки — Романские языки — Галло-романские языки — Французский язык —
  • Економічна теорія. Конспект лекцій
    | Лекция | 2006 | Украина | docx | 0.27 Мб
    Конспект лекцій з дисципліни “Економічна теорія” (адаптивний курс) висвітлює значення економіки, її рівні існування, розкриває погляди як давньогрецьких мислителів, так і погляди сучасних творців
  • Проблемы правогенеза и онтологии права в психологической теории Л.И. Петражицкого
    Овчинникова Анастасия Валентиновна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата юридических наук. Санкт-Петербург - 2006 | Диссертация | 2006 | Россия | docx/pdf | 3.9 Мб
    Специальность 12.00.01.- теория и история права и государства; история учений о праве и государстве. Актуальность темы диссертационного исследования. В течение двух последних десятилетий
  • Шпаргалка по Теории государства и права России
    | Шпаргалка | 2016 | Россия | doc | 0.11 Мб
    1. Понятие, признаки и функции государства. 2. Теории происхождения государства — теории, объясняющие смысл и характер изменений, условия и причины возникновения государства. Входят в предмет
  • Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля
    Алтайский Михаил Викторович | Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук | Диссертация | 2007 | pdf | 7.04 Мб
    Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Москва 2006 Введение 9 1 Основные сведения о непрерывном
  • Теория, история и практика прав и свобод человека
    | Ответы к зачету/экзамену | 2016 | Россия | docx | 0.17 Мб
    1. Проблемы прав личности в эпоху Древнего мира и Средневековья 2. Эпоха Реформации и Возрождения и ее значение для формирования гуманистических идей о достоинстве и правах человека 3. Концепции прав
  • Ответы к государственному экзамену по Теории государства и права
    | Ответы к госэкзамену | 2016 | Россия | docx | 0.15 Мб
    Предмет и метод теории государства и права Основные теории происхождения государств Государственная власть. Понятие и характерные черты. Принцип разделения властей. Органы государственной власти