Лекції № 1, 2 Елементи теорії похибок

Теоретичні відомості

Нехай ‑ деяке наближене значення точного числа .

Якщо , то наближає з недостачею.

Якщо , то наближає з надлишком.

Під абсолютною похибкою наближеного числа розуміють абсолютне значення різниці точного і наближеного значень

(1.1)

Під відносною похибкою наближеного числа розуміють відношення абсолютної похибки до модуля точного значення числа. Часто відносна похибка вимірюється відсотками точного значення

(1.2)

Відомо, що будь-яке число може бути подане у вигляді десяткового дробу, кінцевого або нескінченого.

Наближені десяткові числа виражаються лише кінцевими десятковими дробами.

Говорять, що перших значущих цифр десяткового числа є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половину одиниці розряду, вираженого -ю значущою цифрою, рахуючи зліва направо, тобто якщо

(1.3)

то цифр вірні.

При проведенні розрахунків з наближеними числами слід керуватися наступними правилами:

1. При додаванні і відніманні наближених чисел у результаті повинні зберігатися стільки вірних розрядів, скільки їх у найменш точного із доданків.

2. Правило 1 має місце у випадку операції множення і ділення.

3. У випадку операції піднесення до степеня слід зберігати стільки значущих цифр, скільки їх має основа степеня.

4. Правило 3 має місце для операції добування кореня.

5. В усіх проміжних результатах розрахунків слід брати на одну – дві цифри більше. В остаточних результатах вони відкидаються.

6. Якщо дані можна брати з довільною точністю, то для отримання результату з вірними цифрами вихідні дані слід брати з таким числом вірних цифр, щоб одержати вірну цифру в результаті.

Приклади

Приклад 1.1.

Число 402,35 має абсолютну похибку .

Очевидно, . Усі цифри цього числа вірні.

Приклад 1.2. Округлити наступні числа до чотирьох значущих цифр, визначити абсолютну і відносну похибки отриманих наближених чисел А1=625,51; А2=0,0039227.

Розв’язок

а1=625,5;

а2=0,003923;

Приклад 1.3. Визначити абсолютну похибку наближеного числа за його відносною похибкою а=20,725, .

Розв’язок

; ;

Приклад 1.4.

Розв’язок

а1 має три вірні значущі цифри

а2 має дві вірні значущі цифри, оскільки

Приклад 1.5. Визначити кількість вірних знаків числа а, якщо відома його відносна похибка :

Розв’язок

Знаходимо

Тому а має дві вірних цифри

.

Приклад 1.6. Дані числа і з абсолютними похибками . Оцінити відносну похибку їх різниці .

Розв’язок

а=1,137-1,073=0,064;

;

;

;

.

Таким чином, відносна похибка різниці в 35 разів більше відносних похибок вихідних даних. Результат не має жодної вірної цифри.

Приклад 1.7. Обчислити , вважаючи, що всі числа дані з вірними знаками:

а1=3,2; а2=356,7; а3=0,04811; а4=7,1948; а5=34,56.

Розв’язок

Найбільшу відносну похибку має число а1=3,2:

.

Тому відносна похибка результату складе також приблизно 1,6%, тобто результат буде містити дві вірні цифри.

Збережемо у вихідних даних по три вірні цифри (один запасний знак), одержимо

.

Абсолютну похибку результату обчислюємо за його відносною похибкою

.

Округляємо результат, відкидаючи запасний знак, одержуємо а=0,22 з абсолютною похибкою .

Приклад 1.8. Знайти суму наближених чисел :

а1=0,146; а2=321,5; а3=78,27; а4=39,1.

Усі дані знаки є вірними.

Розв’язок

Найбільшу абсолютну похибку мають числа а2=321,5 і а4=39,1. Тому можна вважати, що абсолютна похибка суми складає .

Округляємо доданки за зразком а2 і а4, збережемо один запасний розряд

а=0,15+321,5+78,27+39,1=439,02.

В остаточному результаті запасний знак відкидаємо, одержимо

а=439,0.

До абсолютної похибки додаємо похибку округлення . Тоді

.

Таким чином, .