ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА

Определение 1. Тензором типа на , -раз контравариантным, и – раз ковариантным называется полилинейное отображение прямого произведения ( берется раз, – раз) в .

Теорема 1. Множество тензоров типа образует векторное пространство размерности , где .

Определение 2. Координатами тензора называются числа где – базис , – базис .

1. Преобразование базиса. – -мерное векторное пространство, – базис, – новый базис.

Формулы перехода от базиса к :

Обратный переход

Матрицы взаимообратные, т.е. ,

где – символ Кронекера.

Теорема 2. При изменении базиса координаты тензора преобразуются по закону

,

где

Имеет место разложение по базису:

,

где – базис

Примеры:

1. Определить координаты линейной формы

, , , , , .

2. Доказать, что где функция на , образует тензор валентности .

Решение:

, , , .

2. Сумма тензоров тогда определится так:

где

Полагая , получим в координатах

.

3. Произведение тензора на скаляр

где , .

4. Тензорное произведение. , тогда и определяется формулой

В координатах

Пример. Определить , где .

, , , , .

Ответ: .

Свойства тензорного произведения:

1)

2)

3)

4)

В общем случае . Привести пример.

Тензорное произведение образует базис .

5. Свертка тензоров – это получение из тензора следующим образом.

Пусть

Свертка произошла по индексам и . В координатах:

Примеры:

1) .

2) .

6. Симметрирование. – подстановка, – знак подстановки.

Определение 3. Тензор получен из путем подстановки .

Определение 4. Тензор называется симметричным, если , антисимметричным, если , .

Теорема 3. симметричен (антисимметричен) , если , .

Определение 5. Симметрированием тензора называется операция

Определение 6. Альтернированием тензора называется операция .

Теорема. – симметричный, – антисимметричный тензоры.

Замечание 1. Симметрировать, альтернировать можно тензоры .

Замечание 2. Симметрирование (альтернирование) можно производить не по всем индексам. Участвующие в симметрировании (альтернировании) индексы берутся в круглые (квадратные) скобки.

Примеры:

1.

2. .

,

.

3. .

4. .

5. .

6. Дискриминантный тензор равен +1, если подстановка – четная, –1, если – нечетная и равен 0, если, по крайней мере, два индекса одинаковы.