1. Содержательность. Каждое первоначальное утверждение должно иметь содержание, т.е. оно должно представлять собой
1. Содержательность.
Каждое первоначальное утверждение должно иметь содержание, т.е. оно должно представлять собой осмысленное предложение, о котором можно было бы сказать, что оно ложно или оно истинно (в логическом смысле).
Соблюдение этого требования обязательно, хотя бы исходя из логического закона исключенного третьего, который говорит о том, что А (утверждение) может быть либо истинным, либо ложным. Третьего не дано. Это лежит в основе логического отрицания: если А -истинно, то (не А) - ложно.Если среди первоначальных утверждений, составляющих аксиоматическую систему, у нас окажется такое, об истинности которого мы не можем судить по причине невозможности осмыслить его содержание, такое утверждение в лучшем случае бесполезно и должно быть отрезано "бритвой Оккама", а в худшем случае оно, не подчиняясь логическим законам, может разрушить нашу теорию.
2. Формальная непротиворечивость.
Если среди первоначальных имеются утверждения, противоречащие друг другу, то это разрушает теорию как систему. Закономерно связать противоречивые утверждения невозможно. Согласно логическому закону непротиворечивости оба противоречивых утверждения одновременно не могут быть истинными, значит, хотя бы одно из них ложно.
Для того, чтобы аксиоматическая система стала действительно системой, первоначальные утверждения должны быть между собой связаны. В качестве способов связи утверждений между собой логика предлагает нам конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквивалентность. Не все из них годятся для объединения утверждений именно в аксиоматическую систему. Так, дизъюнкция не подходит для этой цели из-за того, что заставляет нас выбирать какое-либо одно из связанных дизъюнкцией утверждений, говоря: либо А, либо В. Но поскольку нам необходимо сохранить обе наши аксиомы, от дизъюнкции мы вынуждены отказаться.
Эквивалентность говорит: А тогда и только тогда, если В. Но это означает, что А не является самостоятельной аксиомой, а является следствием В и, следовательно, от эквивалентности мы тоже вынуждены отказаться (см. правило 4).
Самым удобнымспособом связи является конъюнкция, которая говорит: и А, и В, т.