Деформация решетчатой пластинки

В процессе формирования представлений о развитии глаукоматозной экскавации диска зрительного нерва значительное место принадлежит механической концепции. Основная идея этой кон- цепциии состоит в том, что повышение ВГД оказывает прямое действие на ткань зрительного нерва.

Многочисленные экспериментальные данные [15,26,41,42] говорят о том, что при повышеннии ВГД такие явления, как отечность зрительно-нервных аксонов, их дезорганизация, остановка аксоплазматического тока и др., ведущие за собой атрофию зрительного нерва, происходят именно в области решетчатой пластинки.

В связи с этим интерес представляет изучение напряженно-деформированного состояния решетчатой пластинки глаза при изменении внутриглазного давления.

При расчетах напряженно-деформированного состояния перфорированных пластин обычно последние заменяют некоторыми сплошными пластинами с приведенными параметрами [23], определяющимися из условия, что средние перемещения ’’приведенной” пластины и перфорированной пластины при одинаковых нагрузках являются одинаковыми.

Основной проблемой на пути аналитического исследования деформирования решетчатой пластины является отсутствие точных данных о ее механических характеристиках. Однако имеющиеся в литературе данные о средней глубине экскавации диска зрительного нерва при фиксированных значениях ВГД [15,26,39,41,42,74], а также данные специальных экспериментальных исследований [71,75—78,80] позволяют оценить приведенный модуль упругости решетчатой пластины.

В работе канадских ученых [80] деформация решетчатой пластины изучалась на основе экспериментальных данных и на основе клинических наблюдений. Отмечается, что увеличение внутриглазного давления практически не меняет размеры склерального канала, через который проходит оптический нерв (т. е. не увеличивается диаметр склерального кольца). В работе [80] обсуждаются также индивидуальные особенности решетчатой пластинки, которые могут увеличивать чувствительность глаза к глаукоматозным повреждениям.

Рассмотрим задачу о прогибе решетчатой пластинки под действием нормального давления в рамках линейной и геометрически нелинейной общих уточненненных теорий С.А.Амбарцумяна [2].

Будем считать, что решетчатая пластинка является трансверсально изотропной круглой пластинкой радиусом R с отверстием в центре радиусом J. Нижняя и верхняя поверхности пластины нагружены равномерно распределенными давлениями р~ ( внутриглазным ) и р+ (давлением жидкости в межоболочечных пространствах зрительного нерва):

Материал пластины подчиняется обобщенному закону Гука:

Здесь за координатную плоскость принята срединная поверхность пластины: г, Ѳ — полярные координаты, z — расстояние по нормали до срединной поверхности, Еі,Е2 — модули Юнга для направлений в плоскости пластины и перпендикулярных к ней соответственно, ѵ — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в той же плоскости, ѵ' — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в направлении, перпендикулярном этой плоскости, а ѵ" — коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в направлении, перпендикулярном к плоскости изотропии, при растяжении в плоскости изотропии, G, G''— модули сдвига для плоскости изотропии и плоскостей, нормальных к плоскости изотропии соответственно.

В основу общей уточненной теории С.А. Амбарцумяна положены следующие гипотезы:

нормальное к срединной поверхности перемещение не изменяется по толщине;

касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной поверхности пластины, изменяются по квадратичному закону.

Первое предположение совпадает с соответствующим предположением классической теории.

Считаем, что в силу симметрии распределение напряжений не зависит от угла Ѳ. Составляющие деформации связаны с функциями перемещений соотношениями

Подставляя эти выражения в соотношения закона Гука (1.1), получаем

Подставив выражения (1.2) в уравнения (1.3), получим основную систему трех дифференциальных уравнений относительно искомых функциий и, іи,