Совпадения биографические.

В этом примере встретились парадокс и “монстр” – “монстр” оказался иллюстрацией парадоксального понятия мощности множества, воплощением непонятной бесконечности. Кантор пытается понять бесконечность и  строит концепцию для ее описания.

Рис.1.3.10 Георг Фердинанд Кантор (1845-1918)

По выражению Гильберта, развив теорию множеств, Кантор построил рай для математиков. Первым ввел в математику понятие актуальной бесконечности, сопоставив ей математические объекты – трансфинитные  числа. Построил теорию трансфинитных чисел, связав ее с теорией множеств. Ввел понятия мощности множества и подобия множеств.

Рис. 1.3.11 Построение канторовой пыли

Рис 1.3.12 Первая страница работы Кантора “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten” (1883)

Не случайным, с точки зрения изучения биографических совпадений, оказывается увлечение логикой Бернарда Больцано.

Попытки поиска оснований логики предпринимал и Джузеппе Пеано – автор кривой Пеано, исследовавший  в 80-90 годах XIX  века понятия числа. Пеано интересовался рекурсивными схемами – процедурами, с помощью которых можно определить понятие числа.

Работы Пеано оказали влияние на Бертрана Рассела, его взгляды периода "Принципов математики".

Совпадения социальные.

И “монстры” и парадоксы – это контрпримеры, противоречащие существующим на данный момент парадигмам в сообществе ученых, частные случаи, разрушающие хорошо выстроенные научные  представления.

Есть совпадения в отношении научного сообщества к “монстрам” и парадоксам. Удивление, испуг, растерянность, заменялись запретами на их применение и попытками создать новую теорию, свободную от “монстров” и парадоксов – описать логически корректные и непротиворечивые основания математики.

Этот процесс был проанализирован  Имре Лакатосом в его книге «Доказательства и опровержения». Лакатос назвал его “monster barring” - процессом “исключения монстров” - как некоторой позитивистской программы ухода от парадоксальности при исследовании геометрических и логико-математических объектов, построенных путем бесконечных рекуррентных процедур.

Книга «Принципы математики» Б. Рассела и А. Уайтхеда с этой точки зрения предстает как попытка исключения монстров, попытка найти непротиворечивые первые принципы, основания математики, свободные от рекурсий и бесконечных кругов, заселяющих логику "монстрами". Попытка, на взгляд Лакатоса, неудачная[3].

Совпадения операциональные: дискретность процедур.

Построение “монстров” и парадоксов можно представить как набор дискретных операций-алгоритмов, напоминающих рецепт. Сначала договариваются о каких-то правилах игры, а потом описываются конечные мыслительные или геометрические операции, исполнение которых приводит к тому, что появляется “монстр” или парадокс.

Совпадения самодостраивания и цикличности.

И “монстры” и парадоксы есть результат применения процедур к одному и тому же объекту и изменений этого объекта, исходя из состояния этого объекта. Парадокс – это самореферентное суждение, суждение о суждении. «Монстр» - самореферентная рекуррентная процедура.

В случае с парадоксами суждение  начинает бегать по кругу  – от “Высказывание истинно, значит оно ложно” к “Высказывание ложно, значит, оно истинно”. Мысль зацикливается и не может остановиться. При этом, суждение пытается обосновать себя самого – объектом анализа суждения становится само суждение, рождается новое значение, разрушающее присутствие старого значения. Это и есть “самодостраивание”: зацикливаясь, мыслительная процедура, выстраивает сама себя и рождает парадокс.

Аналогичный процесс запускается и при построении “монстров”. Фигуры Коха, Пеано или Серпинского не есть выстроенные объекты, а есть процессы самодостраивания – процессы бесконечных изменений одного и того же объекта.

“Монстр” есть выстраивание - циклический, постоянно возвращающийся  процесс изменения. Если процесс итераций остановить, то “монстр” тут же превратится в обычную ломаную линию с конечным количеством особых точек.

Совпадения  бесконечности.

Суждение, попав в логический круг, начинает вертеться в нем – значения не фиксируется, и меняется бесконечное число раз по циклу: “Суждение истинно значит ложно, суждение ложно значит истинно”.

Так же, до бесконечности, продолжается построение “монстра”.

Бесконечность присутствует как в изменении значений парадоксального высказывания, так и в итерациях “монстров”.

Бесконечность сводит с ума борцов с монстрами, являясь символом нелогичности и иррациональности.

Концептуальные совпадения

Есть несколько научных и философских концепций, обращающихся одновременно и к математическим монстрам, и к логическим парадоксам.

Во-первых, это теория хаоса и концепция сложности (complexity), синергетическая парадигма, которые приводят парадоксы в качестве результата "линейного" мышления. «Монстры» в этих концепциях -  формы нового, "нелинейного" мира.

Во-вторых, это концепция автопоэзиса, бурно развиваемая сейчас философами, биологами и социологами, основателями которой считаются чилийские биологи и эпистемологи Умберто Матурана и Франциско Варела[4]. Франциско Варела в своих работах приводил монстры и парадоксы в качестве моделей саморазвивающихся, самодостраивающихся автопоэтических систем[5].

Многие статьи У. Матураны и Ф. Варелы присутствуют в ИНТЕРНЕТ. В качестве отправной точки можно сходить на сервер www.synergetic.ru, где присутствуют обзоры и библиография работ.

Наша задача состоит в том, чтобы выстроить совпадения математических "монстров" и логических парадоксов на концептуальном поле фрактальной геометрии.

Рис 1.3.15 Иллюстрация бесконечного самодостраивания и цикличности: метафора автопоэзиса. М. Эшер. Руки.