§ 50. Парные возможности

Я упоминал в параграфе 49, что имеется два функтора, любой из которых может представлять возможность. Один из них я обозначил через М и определил посредством равенства

(а) М(а, b) = (Sa, Vb) = (a9 Cbb), другой я определяю посредством равенства (Р) W(a, b) = (Va, Sb)— (Саа, ?), обозначая его через W7, которое выглядит как перевернутое М.

В дальнейшем может быть показано, что различие между М и Wне является реальным различием, а просто получается из различия обозначения. Было бы желательно вспомнить, что я получил М3 из М2 посредством обозначения пары значений (1,0) через 2, а (0,1)—через 3.Так как это обозначение было совершенно произвольным, то я мог с таким же правом обозначить (1,0) через 3, а (0,1)—через 2, или же выбрать любые другие цифры или знаки. Давайте поменяем значения 2и 3в М9, всюду записывая 3вместо 2 и 2вместо 3.Мы получаем из М9 матрицу М12, а посредством перераспределения в М12 средних строк и колонок — матрицу М13: С 1 2 3 0 N М L 1 1 2 3 0 0 1 2 2 1 1 3 3 3 1 2 3 1 2 1 2 2 3 0 0 1 1 7

л 1 1 3 0 МО

с 1 3 2 0 N — — С 1 2 3 0 N — — 1 1 3 2 0 0 1 3 1 1 2 3 0 0 1 3 3 1 1 2 2 2 1 3 = 2 1 1 3 3 3 2 0 2 1 3 1 3 3 2 0 3 1 2 1 2 2 1 3 0 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 2 0 М12 М13

Если мы сравним М9 с М13, то увидим, что матрицы для С и Nостались без изменений, а матрицы, соответствующие М и L, стали различными, так что я не могу обозначить их через М и L.Матрица в М13, соответствующая М в М9, и есть как раз матрица W.Тем не менее М13 есть та же самая матрица, что и М9, просто записанная в другой системе обозначения. Wпредставляет тот же функтор, что и М и должно иметь те же, что и М, свойства.

Несмотря на их тождество, М и Wведут себя различно, когда они встречаются в одной и той же формуле. Они подобны одинаковым близнецам, которых нельзя различить, когда встречаешь их порознь, но которых тотчас же признают двумя людьми, когда видят их вместе. Чтобы понять это, рассмотрим выражения MWp, WMp, ММр и WWp.Если М тождественно с W, то эти четыре выражения также должны быть между собой тождественны. Однако они не тождественны. С помощью наших матриц может быть доказано, что следующие формулы принимаются:

72. MWpи 73. WMp,

ибо Wpимеет в качестве своих значений истинности только 1или 2, a Mlтак же, как и М2 = 1\аналогично Мр имеет в качестве своих значений истинности только 1 или 5, а оба W1 = 1 и W3= 1.С другой стороны, может быть доказано, что формулы

74. СММрМр и 75. CWWpWp принимаю і ся, а так как и Мр її Wpотбрасываются, то АІМри WWpтакже должны быть отброшены, так что мы имеем

*76. ММр и *77. WWp,

поэтому мы не можем в 72 или 73 заменить М на W или W— на М, потому что мы должны тогда получить отбрасываемые формулы из принятых.

Любопытный логический факт существования парных возможностей (и связанных с ними парных необходимостей), до сих пор никем не замеченный, яв-ляется другим важным открытием, которым я обязан моей четырехзначной модальной системе. Он слишком тонок и требует весьма высокого развития формальной логики, чтобы мог быть известен античным логикам. Существование этих близнецов объяснит как ошибки Аристотеля, так и трудности в теории проблематических силлогизмов и оправдывает его интуитивные представления о случайности.