§ 49. Необходимость и четырехзначная система модальной логики

В конце главы VI были отмечены две значительные трудности: первая связана с допущением Аристотелем принимаемых аподиктических предложений, вторая — с допущением им принимаемых случайных предложений.

Если рассматривать все аналитические предложения как необходимо истинные, то тогда наиболее типичное аналитическое предложение — принцип тождества Jxx— также должно рассматриваться как необходимо истинное. Это ведет, как мы видели, к ложному заключению о том, что два любых индивидуума необходимо тождественны, если они вообще тождественны.

Это заключение не может быть получено из нашей системы модальной логики, так как может быть доказано, что в этой системе ни одно аподиктическое предложение не истинно. Поскольку это доказательство основывается на законе экстенсиональности CCpqCLpLq, мы должны сначала показать, что этот закон следует из нашей системы.

Следствие аксиомы 51 гласит:

CbCpqCbpbq.

Из 66 с помощью подстановки Ъ/М’ следует формула

CMCpqCMpMq,

а из 67 мы получаем с помощью CCpqMCpq, подстановки аксиомы 4 и посредством гипотетического силлогизма сильный М-закон экстенсиональности:

19. CCpqCMpMq.

Сильный L-закон экстенсиональности CCpqCLpLqвыводим из 19 посредством транспозиций. Проблема, оставшаяся неразрешенной в параграфе 42: какую следует принять, сильную или слабую интерпретацию ари-стотелевских законов экстенсиональности, разрешается в пользу сильной интерпретации. Доказательство того, что ни одно аподиктическое предложение не истинно, теперь будет дано с полной четкостью.

Посылки:

*6. CpLp

18. CCpqCLpLq

33. CCpCqrCqCpr

CCCpqrCqr

Вывод:

r/CLpLq X C18—69

CqCLpLq

33. pjq, q/Lp, r/Lq X C69—70

CLpCqLq

70. p/a, q/pXC*71 — *6

*71. La

Употребление греческой переменной а требует пояснения.

Этот результат, *La, подтверждается матрицей для L, которая строится из матриц для Nи М, согласно

Определению L.Каждый может обнаружить, взглянув на М9, что Lв качестве своих значений истинности имеет лишь 2 и 0, но никогда не имеет 1.

Проблема ложных следствий, получающихся при применении модальной логики к теории тождества, теперь легко решается. Так как LJxx, будучи аподиктическим предложением, не может быть принято, то невозможно получить с помощью отделения из посылок

(t) CJxyCLJxxLJxyили CLJxxCJxyLJxy

следствие: (u) CJxyLJxy.Действительно, матричным

способом можно доказать, что (I) должно быть принято, поскольку оно всегда дает 1, а (и) должно быть от-брошено. Поскольку принцип тождества /хх истинен, то есть / хх = У, то мы получаем LJxx = 2 и CJxyCLJxxLJxy — CJxyC2LJxy.Выражение Jxyможет иметь одно из четырех значений: У, 2, 3 или 0.

Если Jxy— У, то CJxyC2LJxy=

— C1C2L1 = С1С22 = С11 = 1,

» Jxy= 2, » CJxyC2LJxy =

= C2C2L2 = С2С22 = С21 = У,

» Jxy = 3, » CJxyC2LJxy =

= C3C2L3 = СЗС20 = С 33 = У,

» Jxy = 0Г » CJxyC2LJxy =

= C0C2L0 = C0C20 = C03=L

Следовательно, (t)доказано, поскольку конечный ре-зультат его матричной редукции всегда равен У.

Хороший и поучительный пример вышеупомянутой трудности был дан Куайном, который спрашивает, в чем ошибка следующего умозаключения *:

Утренняя звезда необходимо тождественна утренней звезде.

Но Вечерняя звезда не необходимо тождественна Утренней звезде (будучи просто тождественна ей в действительности).

1 Я нашел этот пример в гектографированных «Logic Notes» (параграф 160), изданных факультетом философии Кентерберийского университетского колледжа (Christchurch, N. Z.) и присланных мне проф. Приором (А. N. Prior).

Но один и тот же объект не может обладать противоречащими свойствами (не может быть и А и не быть А).

Следовательно, Утренняя звезда и Вечерняя звезда — различные предметы.

Разрешить это затруднение очень просто, приняв мою систему. Умозаключение ошибочно, потому что посылки (а) и (6) не истинны и не могут быть приняты, так что заключение (d)не может быть выведено из (а) и (6), несмотря на тот факт, что импликация C(a)C(b)(d)правильна (третья посылка может быть опущена, поскольку она истинна). Вышеупомянутая импликация может быть доказана следующим путем.

Обозначим через х Утреннюю звезду, а через J— Вечернюю звезду, тогда (а) есть L/xx, (6) есть NLJyx, которое эквивалентно NLJxyyтак как тождество является симметричным отношением, a (d)есть NJxy. Мы получаем, таким образом, формулу CLJxxCNL JxyNJxy,которая является правильным преобразованием истинного положения (/).

Пример, приведенный Куайном, может теперь быть верифицирован с помощью нашей четырехзначной матрицы следующим образом: если «х» и «у» имеют то же самое значение, как и прежде, то тогда Jxx = Jxy = 1\ отсюда L/xx = LJxy= LI = 2, NLJxy = N2 = 3и NJxy = N1 = 0,так что мы имеем, согласно CLJxxCNL JxyNJxy у С2С30 = С22 = 1. Импликация истинна, но так как ни один из ее двух антецедентов не истинен, то заключение может быть ложным.

Мы увидим в следующей главе, что подобная же трудность была причиной полемики между Аристотелем и его друзьями Теофрастом и Евдемом. Философские выводы из этого важного открытия, что ни одно аподиктическое предложение не истинно, будут изложены в параграфе 62.