Теорема о вычетах.
Теорема. Пусть функция f(z) – аналитическая на всей плоскости z, за исключением конечного числа точек z1, z2, …, zN. Тогда верно равенство:
А интеграл от функции по контуру L, содержащему внутри себя эти точки, равен
Эти свойства применяются для вычисления интегралов.
Если функция f(z) аналитическая в верхней полуплоскости, включая действительную ось, за исключением N точек, то справедлива формула
Пример. Вычислить определенный интеграл 
.
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки 2i. Эта точка является полюсом второго порядка.
Найдем вычет функции 
Получаем 
Пример. Вычислить определенный интеграл 
Подынтегральная функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением точки i. Эта точка является полюсом второго порядка.
Найдем вычет функции
Получаем 
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая находит вычеты задаваемой функции.
 |
Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (O Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.