ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО.

Множество элементов линейного пространства называют гильбертовым пространством Н, если:

1) любым элементам поставлено в соответствие число (вещественное или комплексное), называемое скалярным произведением и удовлетворяющее аксиомам:

а) = , причем - всегда вещественное число;

б);

в) для комплексного числа ;

г) и ==;

2) Н - полное пространство в смысле сходимости по норме;

3) Н - бесконечномерное пространство, то есть в Н для существует линейно-независимых элементов.

По определению любое гильбертово пространство является пространством типа В.

16.1. Рассмотрим простейшие свойства гильбертовых пространств:

Из аксиом (а) - (г) скалярного произведения следует:

(1)

(2)

- 41 -

(3)

Докажем неравенство Буняковского - Шварца для скалярного произведения:

(4)

Действительно, для любых и любого комплексного числа

.

Отсюда

Пусть , тогда

Очевидно, что для неравенство также справедливо.

Далее == =

= (5)

Аксиома (2г) и формулы (3) и (5) показывают, что норма, порожденная скалярным произведением удовлетворяет всем аксиомам нормы. А это значит, что расстояние , выраженное через норму, удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Следовательно, - метрическое пространство.

- 42 -