17. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ.

Пусть - линейное многообразие линейного нормированного пространства Е. Если - замкнуто, то его называют подпространством.

Теорема. Если - подпространство гильбертова пространства , то

, где . (1)

Такое разложение единственно.

Доказательство:

Если и требуемое разложение (1) выполнено.

Пусть Определим элемент таким образом, чтобы расстояние между х и у было минимальным.

Пусть .

Выберем так, что .

И пусть - любой элемент из . Тогда элемент для любого комплексного числа .

Очевидно, .

Далее получим

. Положим . Проведя соответствующие преобразования, получаем:

- 43 -

Или (2).

При неравенство (2) также справедливо.

Тогда для получим из (2):

. Так как - любой элемент из то положим . ,

. То есть, последовательность - фундаментальная.

Так как - полное пространство, то существует .

Поскольку - подпространство, то .

Переходя в формуле (2) к пределу, получим: .

Т.к. - любой элемент из , то .

Пусть , где а . Требуемое разложение получено.

Докажем единственность такого разложения от противного:

пусть , где и . Отсюда и, значит, . ч.т.д.

Элемент называют проекцией элемента на подпространство .

Множество элементов образуют некоторое множество . Совокупность всех (включая 0 - вектор), ортогональных к подпространству , также образует подпространство , которое называют ортогональным дополнением и обозначают .

- 44 -