Задача 27. Найти область сходимости степенного ряда

.

Решение. Данный степенной ряд можно записать так:

(33)

Применяем признак Даламбера:

Итак, ряд сходится для тех значений х, для которых

или или

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При ряд (33) принимает вид

(34)

Ряд (34) является знакочередующимся; его общий член по абсолютному значению стремится к нулю при . По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд (34) сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.

Подставив в (33) , получим

(35)

Ряд (35) расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.