Определение.

Пусть дана гладкая двухсторонняя поверхность G - z = z(x,y) . Её проекция на плоскость xOy занимает область D и ограничена замкнутым контуром L .

Выберем сторону поверхности G с нормальным вектором n и проведем на ней произвольный замкнутый контур.

1) Сеткой линий разделим G на m участков G1, G2, . . . ,Gm , которые имеют на плоскости хОу проекции D1, D2, . . . Dm. Нормальным вектором плоскости хОу служит ось Оz.

2) В каждом Gi выберем точку Mi , определим в ней значение функции f(Mi) и нормальный вектор ni = {} , который пересекается с ось Oz под углом .

3)Составим интегральную сумму П(m) = ( 10 )

Множитель означает, что вклады от разных участков берутся с разными знаками. Если при положительном обходе контура элемента Gi обход его проекции Di также положителен, то знак (+), иначе (-). Совпадение направлений обхода означает, что угол между Oz и n острый и cos > 0 и выбранная поверхность является верхней. Из несовпадения следует - угол тупой, cos< 0. Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей. Считаем, что проекции Gi имеют форму прямоугольника Di = .

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их на координатные плоскости.

J = = ( 11 )

Символ dxdy показывает, что суммирование проводится по площади проекции элемента поверхности G на плоскость xOy. При замене выбранной стороны G на противоположную интеграл ( 11 ) меняет знак. Если проектировать элементы поверхности G на плоскости xOz, yOz , то получим аналогичные интегралы , и построим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

, ( 12 )

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.