8.3. Метод Эйлера
Дано дифференциальное уравнение 
с начальным условием 
.
на отрезке 
методом Эйлера. 
Рассмотрим графическую интерпретацию метода. Разобьем отрезок 
на n частей с шагом 
, причем шаг h должен быть достаточно малым, построим систему равноотстоящих точек 
. 
– искомая интегральная кривая. Так как уравнение представляет собой выражение производной , а геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной, то вместо искомой интегральной кривой рассмотрим касательную к ней в точке 
. Видно, что значение y1 можно найти, добавив к y0 приращение ∆y=LP. LP – катет в прямоугольном треугольнике KLP, его длину можно найти по формуле 
. Тогда формула для нахождения y1 примет вид: 
.
Пользуясь теми же рассуждениями, зная значение y1, можно найти значения y2, а затем и все последующие значения функции.
В общем виде формула Эйлера имеет вид:
 | (5) |
Метод Эйлера обладает малой точностью, к тому же погрешность каждого нового шага возрастает. Наиболее удобным на практике является модификация метода Эйлера, в данном случае способ двойного счета с шагом h и с шагом . Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг для данного этапа выбран правильно, в противном случае шаг уменьшается в два раза.
Совпадение десятичных знаков в полученных двумя способами результатах дает естественные основания считать их верными.
